DeepSeek做组合数学题：求只由数字1、2、3组成且同时包含数字1、2、3的5位数有多少个？

1. 题意理解

题目要求：

1. 是一个 5 位数（万位不能是 0）。
2. 只由数字1、2、3组成，不能出现其他数字（0、4、5…等都不允许）。
3. 必须同时包含数字 1、2、3（即：不能只用两个数字或一个数字）。

5 位数的每一位从 {1, 2, 3} 中选取，但是“必须同时包含 1、2、3”意味着三个数字都要出现至少一次。

2. 不考虑“必须包含 1,2,3”时

如果只由 {1,2,3} 组成的 5 位数：
万位可以从 {1,2,3} 中选（3 种选择），其它四位也是各 3 种选择。
总数=35=243\text{总数} = 3^5 = 243总数=35=243

3. 用容斥原理去掉缺少某个数字的情况

设
B1B_1B1​：不含数字 1（只由 {2,3} 组成）
B2B_2B2​：不含数字 2（只由 {1,3} 组成）
B3B_3B3​：不含数字 3（只由 {1,2} 组成）

计算∣B1∣|B_1|∣B1​∣
只由 {2,3} 组成 5 位数，万位可以是 2 或 3（2 种），其它位也是各 2 种选择。
∣B1∣=25=32|B_1| = 2^5 = 32∣B1​∣=25=32

同理∣B2∣=32|B_2| = 32∣B2​∣=32，∣B3∣=32|B_3| = 32∣B3​∣=32。

计算∣B1∩B2∣|B_1 \cap B_2|∣B1​∩B2​∣
不含 1 且不含 2 → 只能由 {3} 组成。
万位只能是 3，其它位也只能是 3。只有 1 种情况：33333。
∣B1∩B2∣=1|B_1 \cap B_2| = 1∣B1​∩B2​∣=1

同理∣B1∩B3∣=1|B_1 \cap B_3| = 1∣B1​∩B3​∣=1（只能由 {2} 组成：22222）
∣B2∩B3∣=1|B_2 \cap B_3| = 1∣B2​∩B3​∣=1（只能由 {1} 组成：11111）

计算∣B1∩B2∩B3∣|B_1 \cap B_2 \cap B_3|∣B1​∩B2​∩B3​∣
不含 1、2、3 → 没有可用数字，所以为 0。

4. 容斥原理求至少缺少 1,2,3 之一的个数

∣B1∪B2∪B3∣=32+32+32−(1+1+1)+0|B_1 \cup B_2 \cup B_3| = 32 + 32 + 32 - (1+1+1) + 0∣B1​∪B2​∪B3​∣=32+32+32−(1+1+1)+0

=96−3=93= 96 - 3 = 93=96−3=93

5. 求“三个数字都至少出现一次”的个数

答案=35−∣B1∪B2∪B3∣\text{答案} = 3^5 - |B_1 \cup B_2 \cup B_3|答案=35−∣B1​∪B2​∪B3​∣
=243−93=150= 243 - 93 = 150=243−93=150

最终答案为：
150\boxed{150}150​

验证：
也可以用直接分类（用 1,2,3 的数目分别为 ((3,1,1)) 型及其排列），以及 ((2,2,1)) 型分别计算，加起来应为 150。