这四个式子是在讲椭圆曲线的“加法”群规则（chord-and-tangent）。核心口诀是：
同一条直线与椭圆曲线的三个交点（按重数计算）相加等于 0（单位元）
也就是：若直线与曲线交于 A,B,C，则 A+B+C=0。
这里的 0（图里写 0）指的是无穷远点O，是加法单位元。
同时，点的相反数是关于x 轴镜像：
若，则
。
1) P+Q+R=0
第 1 幅里蓝线穿过曲线上的两点 P,Q，并与曲线再交于第三点 R。
因此按规则：
所以真正的“和”P+Q 不是图上的 R，而是把 R关于 x 轴翻过去得到的 −R。
2) P+Q+Q=0（切线导致“重交点”）
第 2 幅里蓝线过 P 并在 Q 处相切。
“相切”意味着这条线在 Q 处的交点重数为 2，所以这条线与曲线的三个交点（按重数）是：P,Q,Q。
因此：
它表达的是一种退化/特殊位置：存在某个 P，使得“过 P 且在 Q 相切”的直线成立，于是第三个交点“又是 Q”。
3) P+Q+0=0（竖直线：互为相反数）
第 3 幅里蓝线是竖直线，它与曲线交于 P 和 Q，而第三个交点是无穷远点 0(=O)（可以理解为“竖直方向的无穷远处”）。
因此：
几何上就是：P 与 Q x 坐标相同，y 互为相反数。
4) P+P+0=0（竖直切线：2 阶点）
第 4 幅里在 P 处的切线是竖直的，这通常发生在 P 的 y=0（点落在 x 轴上）。
此时 P=−P（因为关于 x 轴翻过去还是自己），所以 2P=0。图中写成：
这表示 P 是一个阶为 2 的点（加两次回到单位元）。
我把图里四种情况都对应到代数计算公式上（同一套规则，在实数域和有限域 里都成立；有限域里把除法换成“乘逆元”即可）。
下面用最常见的短 Weierstrass 形式举例：
并约定单位元（图里的 0）是无穷远点 O。
0. 两个最基本的代数规则
0.1 取相反数（对应“关于 x 轴镜像”）
在有限域中就是
。
0.2 直线交点求和规则
任意一条直线与曲线相交（按重数算）得到三点 A,B,C，则
A+B+C=O
所以如果直线过 P,Q，第三交点叫 R，那么
