精通样本大小计算

原文：towardsdatascience.com/mastering-sample-size-calculations-75afcddd2ff3?source=collection_archive---------6-----------------------#2024-10-09

A/B 测试、拒绝推断以及如何为实验获取正确的样本大小

https://medium.com/@lucasbraga461?source=post_page---byline--75afcddd2ff3--------------------------------https://towardsdatascience.com/?source=post_page---byline--75afcddd2ff3-------------------------------- Lucas Braga

·发表于 Towards Data Science ·阅读时间 17 分钟·2024 年 10 月 9 日

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针对不同的场景，有不同的统计公式。首先要问的问题是：你是在比较两组数据，比如在A/B 测试中，还是在从一个足够大的群体中选择样本，以使其能够代表该群体？

后者通常用于像交易中的保留组这样的场景。这些保留组对于评估欺诈预防规则的性能或拒绝推断非常关键，在这种情况下，欺诈检测的机器学习模型会重新训练。保留组的优势在于，它包含了没有被任何规则或模型阻止的交易，从而提供了一个不偏不倚的性能视角。然而，为了确保保留组具有代表性，你需要选择一个能准确反映群体的样本大小，这一点将在本文中与 A/B 测试的样本大小一起探讨。

在确定是否比较两组（如 A/B 测试）或选择一个代表性样本（如拒绝推断）之后，下一步是定义你的成功指标。**它是一个比例还是一个绝对数值？**例如，比较两个比例可能涉及转化率或违约率，其中违约交易的数量除以交易总数。另一方面，比较两个均值适用于处理绝对值的情况，比如总收入或 GMV（商品交易总值）。在这种情况下，你会比较每个客户的平均收入，假设你的实验中存在客户级别的随机化。

1. 比较两组（例如 A/B 测试）——样本大小

第 1.1 节是关于比较两个均值的，但这里提出的大多数原理在第 1.2 节中也适用。

1.1. 比较两个均值（度量绝对数值的平均值）

在这种情况下，我们比较两个组：一个控制组和一个处理组。控制组由通过借贷计划获得 100 欧元信用额度的客户组成，而处理组由通过同一计划获得 200 欧元信用额度的客户组成。

实验的目标是确定是否增加信用额度会导致客户支出增加。

我们的成功度量定义为每位客户每周的平均支出金额，以欧元为单位。

在确立目标和成功度量后，在典型的 A/B 测试中，我们还会定义假设、随机化单元（在本例中为客户）以及目标人群（获得信用的新客户）。然而，由于本文的重点是样本量，我们将在这里不讨论这些细节。

我们将比较控制组和处理组之间的每位客户每周的平均支出。接下来，我们将使用以下脚本来计算这个度量：

脚本 1：计算成功度量，分支：德国，周期：2024 年 5 月 1 日至 2024 年 7 月 31 日。

WITH customer_spending AS(SELECT branch_id,FORMAT_DATE('%G-%V',DATE(transaction_timestamp))AS week_of_year,customer_id,SUM(transaction_value)AS total_amount_spent_eur FROM `project.dataset.credit_transactions` WHERE1=1AND transaction_date BETWEEN'2024-05-01'AND'2024-07-31'AND branch_id LIKE'Germany'GROUP BY branch_id,week_of_year,customer_id),agg_per_week AS(SELECT branch_id,week_of_year,ROUND(AVG(total_amount_spent_eur),1)AS avg_amount_spent_eur_per_customer,FROM customer_spending GROUP BY branch_id,week_of_year)SELECT*FROM agg_per_week ORDER BY1,2;

在结果中，我们观察到每周的度量avg_amount_spent_eur_per_customer。在过去的四周里，数值保持相对稳定，介于 35 欧元和 54 欧元之间。然而，考虑到过去两个月的所有周，方差较大。（请参见图像 1 作为参考。）

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图像 1：脚本 1 的结果。

接下来，我们计算成功度量的方差。为此，我们将使用脚本 2来计算所有周的方差和平均值。

脚本 2：查询计算成功度量的方差，并计算所有周的平均值。

WITH customer_spending AS(SELECT branch_id,FORMAT_DATE('%G-%V',DATE(transaction_timestamp))AS week_of_year,customer_id,SUM(transaction_value)AS total_amount_spent_eur FROM `project.dataset.credit_transactions` WHERE1=1AND transaction_date BETWEEN'2024-05-01'AND'2024-07-31'AND branch_id LIKE'Germany'GROUP BY branch_id,week_of_year,customer_id),agg_per_week AS(SELECT branch_id,week_of_year,ROUND(AVG(total_amount_spent_eur),1)AS avg_amount_spent_eur_per_customer,FROM customer_spending GROUP BY branch_id,week_of_year)SELECT ROUND(AVG(avg_amount_spent_eur_per_customer),1)AS avg_amount_spent_eur_per_customer_per_week,ROUND(VAR_POP(avg_amount_spent_eur_per_customer),1)AS variance_avg_amount_spent_eur_per_customer FROM agg_per_week ORDER BY1,2;

脚本 2的结果显示方差约为 145.8（请参见图像 2）。此外，考虑到过去两个月的所有周，每位用户的平均消费金额为49.5 欧元。

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图像 2：脚本 2 的结果。

现在我们已经计算出度量并发现每位客户的平均每周支出约为49.5 欧元，我们可以定义最小可检测效应（MDE）。鉴于信用从 100 欧元增加到 200 欧元，我们旨在检测10%的支出增加，这相当于每位客户每周的新的平均值为54.5 欧元。

计算方差（145.8）并确定 MDE 后，我们可以将这些值代入公式中，计算所需的样本量。我们将使用默认值alpha（5%）和beta（20%）：

• 显著性水平（Alpha 的默认值为α = 5%）：Alpha 是一个预定的阈值，用作拒绝零假设的标准。Alpha 是 I 类错误（假阳性），p 值需要低于 Alpha，才能拒绝零假设。

• 统计功效（Beta 的默认值为β = 20%）：这是测试在替代假设为真时正确拒绝零假设的概率，即在效应存在时检测到效应。统计功效 = 1 — β，β是 II 类错误（假阴性）。

这是计算在典型的 A/B 测试场景中每组（对照组和治疗组）所需样本量的公式：

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图像 3：计算比较两个均值时样本量的公式。

• n是每组的样本量。

• σ²是正在测试的度量的方差（在本例中为145.8）。因子 2σ²被使用，因为我们计算的是合并方差，这样在比较两个样本时不会产生偏差。

• δ（德尔塔）表示最小可检测的均值差异（效应大小），即我们希望检测的变化。其计算公式为：δ² = (μ₁ — μ₂)²，其中μ₁是对照组的均值，μ₂是治疗组的均值。

• Zα/2是与相应置信水平对应的z 值（例如，1.96对应于95%置信水平）。

• Zβ是与所需测试功效相关的z 值（例如，0.84对应于80%功效）。

n=(2*145.8*(1.96+0.84)²)/(54.5-49.5)²->n=291.6*7.84/25->n=2286.1/25->n=~92

在我的网页应用程序计算器中尝试，样本量计算器，如应用截图 1所示：

• 置信水平：95%

• 统计功效：80%

• 方差：145.8

• 需要检测的差异（德尔塔）：5（因为预期的变化是从€49.50 到€54.50）

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应用截图 1：计算比较两个均值的样本量。

根据之前的计算，我们需要92 个用户在对照组中，92 个用户在治疗组中，总共需要184 个样本。

现在，让我们探讨一下改变最小可检测效应（MDE）如何影响样本量。较小的 MDE 需要更大的样本量。例如，如果我们希望检测每个用户平均€1 的增加，而不是之前使用的€5 的增加（10%），所需的样本量将显著增加。

MDE 越小，测试需要越敏感，这意味着我们需要更大的样本量才能可靠地检测到如此微小的效应。

n=(2*145.8*(1.96+0.84)²)/(50.5-49.5)²->n=291.6*7.84/1->n=2286.1/1->n=~2287

我们将以下参数输入到样本量计算器的网页应用程序计算器中，如应用截图 2所示：

• 置信水平：95%

• 统计功效：80%

• 方差：145.8

• 需要检测的差异（德尔塔）：1（因为预期的变化是从€49.50 到€50.50）

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应用截图 2：计算 Delta = 1 时比较两个均值的样本量。

为了检测更小的效应，例如每个用户增加 1 欧元，我们需要2,287 个用户在对照组，2,287 个用户在处理组，总共需要4,574 个样本。

接下来，我们将调整统计功效和显著性水平，重新计算所需的样本量。但首先，让我们看一下z 值表，以了解如何推导出z 值。

我们已经设置了β = 0.2，这意味着当前的统计功效为80%。参考 z 值表（见图像 4），这对应于z 值为 0.84，这是我们之前公式中使用的值。

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图像 4：在 z 值表中查找统计功效为 80% 时的 z 值。

如果我们现在将β值调整为 10%，即统计功效为 90%，我们将得到z 值为 1.28。该值可以在 z 值表中找到（见图像 5）。

n=(2*145.8*(1.96+1.28)²)/(50.5-49.5)²->n=291.6*10.49/1->n=3061.1/1->n=~3062

通过调整β值为 10%（统计功效为 90%）并使用z 值为 1.28，我们现在需要3,062 个用户在对照组和处理组中，每组总共6,124 个样本。

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图像 5：在 z 值表中查找统计功效为 90% 时的 z 值。

现在，让我们来确定6,124 个样本所代表的流量。我们可以通过计算每周不同客户的平均交易量来得出这个数据。脚本 3将帮助我们获取2024 年 5 月 1 日到 2024 年 7 月 31 日期间的信息。

脚本 3：计算不同客户每周平均交易量的查询。

WITH customer_volume AS(SELECT branch_id,FORMAT_DATE('%G-%V',DATE(transaction_timestamp))AS week_of_year,COUNT(DISTINCT customer_id)AS cntd_customers FROM `project.dataset.credit_transactions` WHERE1=1AND transaction_date BETWEEN'2024-05-01'AND'2024-07-31'AND branch_id LIKE'Germany'GROUP BY branch_id,week_of_year)SELECT ROUND(AVG(cntd_customers),1)AS avg_cntd_customers FROM customer_volume;

脚本 3的结果显示，平均每周有185,443 个不同客户（见图像 5）。因此，6,124 个样本大约占总每周客户基数的3.35%。

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图像 5：脚本 3 的结果。

1.2. 比较两个比例（例如转化率、违约率）

虽然前一节讨论的大多数原则保持不变，但比较两种比例的公式有所不同。这是因为，我们不再预先计算指标的方差，而是将重点放在每个组的预期成功比例上（见图像 6）。

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图像 6：计算比较两种比例的样本量的公式。

让我们回到相同的场景：我们正在比较两个组。对照组由可以获得100 欧元信贷的客户组成，信贷借款计划中的处理组由可以获得200 欧元信贷的客户组成。

这次，我们关注的成功指标是违约率。这可能是1.1 节中讨论的同一个实验的一部分，其中违约率作为护栏指标，也可能是完全独立的实验。无论是哪种情况，假设是给予客户更多信用可能会导致更高的违约率。

本次实验的目标是确定信用额度的增加是否会导致更高的违约率。

我们将成功指标定义为实验周内所有客户的平均违约率。理想情况下，实验应持续更长时间以收集更多数据，但如果无法实现这一点，选择一个没有偏差的星期就显得尤为重要。你可以通过分析过去12 到 16 周的违约率来验证这一点，从中找出与某些月份的特定星期相关的模式。

让我们来查看数据。脚本 4将显示每周违约率，结果可以在图像 7中看到。

脚本 4：查询以获取每周违约率。

SELECT branch_id,date_trunc(transaction_date,week)AS week_of_order,SUM(transaction_value)AS sum_disbursed_gmv,SUM(CASE WHEN is_completed THEN transaction_value ELSE0END)AS sum_collected_gmv,1-(SUM(CASE WHEN is_completed THEN transaction_value ELSE0END)/SUM(transaction_value))AS default_rate,FROM `project.dataset.credit_transactions` WHERE transaction_date BETWEEN'2024-02-01'AND'2024-04-30'AND branch_id='Germany'GROUP BY1,2ORDER BY1,2;

从违约率指标来看，我们注意到一些波动，尤其是在较早的几周，但过去 5 周的违约率相对稳定。过去 5 周的平均违约率为0.070。

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图像 7：每周违约率的结果。

现在，假设这个违约率代表了对照组。那么下一个问题是：在处理组中，什么样的违约率会被认为是不可接受的？我们可以设定一个阈值：如果处理组的违约率增加到0.075，就会被认为过高。然而，任何低于0.0749的违约率仍然是可以接受的。

违约率为0.075意味着相较于对照组的0.070，增加了大约7.2%。这个差异——7.2%——是我们的最小可检测效应 (MDE)。

有了这些数据点，我们现在可以计算所需的样本大小。

n=(((1.96+0.84)²)*((0.070*(1-0.070)+0.075*(1-0.075)))/((0.070-0.075)²)->n=7.84*0.134475/0.000025->n=1.054284/0.000025->n=~42,171

我们将以下参数输入到样本大小计算器的网页应用程序中，如应用截图 3所示：

• 置信水平：95%

• 统计功效：80%

• 第一次比例 (p1)：0.070

• 第二次比例 (p2)：0.075

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应用截图 3：计算比较两种比例的样本大小。

为了检测违约率的7.2%增长（从0.070到0.075），我们需要在对照组和处理组中各有42,171 个用户，因此总样本数为84,343 个。

样本大小为84,343相当大！我们可能甚至没有足够的客户来进行这个分析。但让我们探讨一下为什么会这样。我们没有改变alpha和beta的默认参数，这意味着我们将显著性水平保持在默认的5%，并将统计功效保持在默认的80%。正如我们之前讨论过的，我们本可以通过选择较低的显著性水平来减少假阳性的机会，或者我们可以提高统计功效来最小化假阴性的风险。

那么，是什么导致了如此大的样本量？是7.2%的 MDE吗？简短的回答是：不完全是。

考虑这种替代情境：我们保持相同的显著性水平（5%）、统计功效（80%）和MDE（7.2%），但假设默认比例（p₁）是0.23（23%）而不是0.070（7.0%）。在7.2%的 MDE下，治疗组的新的默认比例（p₂）将是0.2466（24.66%）。注意，这仍然是7.2%的 MDE，但比例明显高于0.070（7.0%）和0.075（7.5%）。

现在，当我们使用这些新的值p₁ = 0.23和p₂ = 0.2466进行样本量计算时，结果会有所不同。接下来，我们来计算一下。

n=(((1.96+0.84)²)*((0.23*(1-0.23)+0.2466*(1-0.2466)))/((0.2466-0.23)²)->n=7.84*0.3628/0.00027556->n=2.8450/0.00027556->n=~10,325

使用新的默认比例（p₁ = 0.23和p₂ = 0.2466），我们在对照组和治疗组中各需要10,325 个用户，总共需要20,649 个样本。与之前的 84,343 样本相比，这样的样本量更加可管理。然而，值得注意的是，这种情况下的默认比例处于完全不同的范围。

关键的结论是，较低的成功率（如接近7%的默认比例）需要更大的样本量。当比例较小的时候，检测到即使是适度的差异（比如 7.2%的增长）也变得更加困难，因此需要更多的数据才能实现相同的统计功效和显著性水平。

2. 抽样一个群体

这个案例与 A/B 测试场景有所不同，因为我们现在专注于从单一群体中确定样本量。目标是选取一个能够准确代表群体的样本，从而进行分析并推断结果，进而估算整个群体可能发生的情况。

即使我们不在比较两个群体，从群体中抽样（一个群体）仍然需要决定你是在估算均值还是比例。这两种情况的公式与 A/B 测试中使用的公式非常相似。

看一下图像 8和图像 9。当你将图像 8与图像 3（比较两个均值的样本量公式）进行对比，或者将图像 9与图像 6（比较两个比例的样本量公式）进行对比时，你是否注意到了相似之处？它们确实非常相似。

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图像 8：用于估算总体均值的样本量公式。

在估算均值的情况下：

• 从图像 8 中，抽样自单一组的公式则使用了E，表示误差。

• 从图像 3 中，比较两组的公式使用了delta (δ)来比较两者均值之间的差异。

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图像 9：用于估算总体比例的样本量公式。

在估算比例的情况下：

• 从图像 9 可以看出，单组抽样的比例公式也使用了E，代表误差。

• 从图像 6 中，比较两组的公式使用了MDE（最小可检测效应），类似于差值，用于比较两种比例之间的差异。

那么，我们什么时候使用这些公式呢？让我们探讨两个实际例子——一个用于估算均值，另一个用于估算比例。

2.1. 抽样总体 — 估算均值

假设你希望更好地评估欺诈风险，为此，你打算估算每个国家每周的欺诈交易平均订单值。这可能相当具有挑战性，因为理想情况下，大多数欺诈交易已经被阻止。为了获得更清晰的图像，你将采用一个保留组，它不受任何规则和模型的影响，作为计算欺诈交易的真实平均订单值的参考。

假设你选择了一个特定的国家，并在回顾历史数据后发现：

• 该指标的方差为€905。

• 欺诈交易的平均订单值为€100。

  （你可以参考脚本 1 和 2来计算成功指标和方差。）

由于方差为€905，标准差（方差的平方根）约为€30。现在，使用5%的显著性水平，对应的z-score 为 1.96，并假设你能接受10%的误差范围（代表€10的误差，或是€100 的 10%），那么在 95%的置信区间下，意味着在正确的样本量下，你可以95%的置信度断言平均值落在€90 到€110之间。

现在，将这些输入值代入样本量公式：

n=((1.96*30)/10)²->n=(58.8/10)²->n=35

我们将以下参数输入到网页应用计算器中，在样本量计算器中，如应用截图 4所示：

• 置信水平：95%

• 方差：905

• 误差：10

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应用截图 4：在抽样一个总体时，计算估算均值的样本量。

结果是，你需要35 个样本来估算每个国家每周的欺诈交易平均订单值。然而，这还不是最终的样本量。

由于欺诈交易相对较少，你需要调整欺诈交易的比例。如果欺诈交易的比例为1%，那么你需要收集的实际样本数量为：

n=35/0.01->n=3500

因此，你需要 3,500 个样本，以确保欺诈交易得到适当的代表。

2.2. 抽样总体——估计一个比例

在这种情况下，我们的欺诈规则和模型已经阻止了大量交易。为了评估我们的规则和模型的效果，我们需要让一部分流量绕过规则和模型，以便评估实际的假阳性率。这部分未经过滤的交易被称为留存组。这是欺诈数据科学团队中的常见做法，因为它既能评估规则和模型的表现，又能将留存组用于拒绝推断。

尽管我们在这里不会详细讨论拒绝推断，但值得简要总结一下。拒绝推断涉及使用未被阻止的交易的留存组数据，学习有助于改进交易阻止决策的模式。对此有多种方法，其中模糊增强是一种流行的方法。其基本思路是使用留存组的数据重新标记之前被拒绝的交易，并用这些数据训练新的模型。在欺诈建模中，这尤其重要，因为欺诈率通常较低（通常低于 1%，有时甚至低于 0.1%）。增加标记数据可以显著提升模型表现。

现在我们明白了估计比例的需求，接下来我们将深入探讨一个实际应用案例，看看需要多少样本。

对于某一分支，你分析历史数据发现该分支每月处理50,000,000 个订单，其中50,000 个订单是欺诈的，导致0.1%的欺诈率。使用5%的显著性水平（alpha）和25%的误差范围，我们旨在估计真实的欺诈比例，置信区间为95%。这意味着，如果真实的欺诈率为0.001（0.1%），我们估计的范围应在0.00075和0.00125之间，错误为0.00025。

请注意，误差范围（margin of error）和错误（Error）是两个不同的概念，误差范围是一个百分比值，而错误是一个绝对值。在欺诈率为 0.1%的情况下，如果我们的误差范围是 25%，那么它代表的错误为 0.00025。

让我们应用公式：

• Zα/2= 1.96（95%置信水平的 z 值）

• E= 0.00025（错误）

• p= 0.001（欺诈率）

Zalpha/2=1.96->(Zalpha/2)²=3.8416E=0.00025->E²=0.0000000625p=0.001n=(3.8416*0.001*(1-0.001))/0.0000000625->n=0.0038377584/0.0000000625->n=61,404

我们在样本大小计算器的网页应用程序中输入以下参数，如应用截图 5所示：

• Confidence Level: 95%

• Proportion: 0.001

• Error: 0.00025

https://github.com/OpenDocCN/towardsdatascience-blog-zh-2024/raw/master/docs/img/1b45a66985a09866e1bc154afe9004be.png

应用截图 5：计算估算比例的样本大小，当从一个总体中抽样时。

因此，共需 61,404 个样本。假设一个月内有50,000,000 笔交易，如果保留组代表100%的流量，收集这些样本将花费不到 1 小时。然而，这对于一个可靠的实验来说并不现实。

相反，你应该将流量分布到几天，以避免季节性问题。理想情况下，你应收集至少一周的数据，确保覆盖所有工作日，并避免假期或高峰季节。如果你需要在一周内收集61,404 个样本，那么你需要每天收集8,772 个样本。由于每日流量约为1,666,666 个订单，保留组每天需要代表0.53%的总交易量，并持续一周。

最后的备注

如果你想在 Python 中执行这些计算，以下是相关的函数：

importmathdefsample_size_comparing_two_means(variance,z_alpha,z_beta,delta):returnmath.ceil((2*variance*(z_alpha+z_beta)**2)/(delta**2))defsample_size_comparing_two_proportions(p1,p2,z_alpha,z_beta):numerator=(z_alpha+z_beta)**2*((p1*(1-p1))+(p2*(1-p2)))denominator=(p1-p2)**2returnmath.ceil(numerator/denominator)defsample_size_estimating_mean(variance,z_alpha,margin_of_error):sigma=variance**0.5returnmath.ceil((z_alpha*sigma/margin_of_error)**2)defsample_size_estimating_proportion(p,z_alpha,margin_of_error):returnmath.ceil((z_alpha**2*p*(1-p))/(margin_of_error**2))

下面是如何计算与第 1.1 节中应用截图 1 类似的两组均值比较的样本量：

variance=145.8z_alpha=1.96z_beta=0.84delta=5sample_size_comparing_two_means(variance=variance,z_alpha=z_alpha,z_beta=z_beta,delta=delta)# OUTPUT: 92

这些功能也可以在 GitHub 仓库中找到：GitHub 样本大小计算器，你还可以在那里找到交互式样本大小计算器的链接。

免责声明：与 Google BigQuery 作业结果相似的图像由作者创建。所示数字并非基于任何商业数据，而是为了说明目的手动生成的。SQL 脚本也是如此——它们并非来自任何企业，也都是手动生成的。然而，它们旨在与使用Google BigQuery作为框架的公司可能遇到的情况高度相似。

• 该计算器使用 Python 编写，并在 Google Cloud Run（无服务器环境）中通过 Docker 容器和 Streamlit 部署，参考请见GitHub 上的代码。