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🔥内容介绍
电价作为电力市场的核心信号，其精准预测对电力市场参与者的决策制定、资源优化配置及市场稳定运行具有重要意义。本文以电价时间序列为研究对象，构建自回归积分移动平均（ARIMA）模型进行电价预测，并基于模型特性计算预测结果的置信区间，以量化预测不确定性。首先对电价时间序列进行平稳性检验、自相关与偏自相关分析，确定ARIMA模型的最优参数；随后通过构建的模型进行电价点预测与区间预测；最后通过实例验证模型的预测效果。研究结果表明，ARIMA模型能够较好地捕捉电价时间序列的动态变化特征，结合置信区间可有效反映预测结果的可靠性，为电力市场相关决策提供更全面的参考依据。
关键词
ARIMA模型；电价预测；时间序列分析；置信区间；不确定性量化
一、引言
1.1 研究背景与意义
随着电力体制改革的不断深入，电力市场逐步向市场化、多元化方向发展，电价不再由政府单一核定，而是受市场供需、燃料价格、气象条件、政策调控等多种因素的综合影响，呈现出复杂的非线性、波动性和随机性特征。精准的电价预测是电力市场中发电企业制定发电计划、电网企业优化调度、电力用户合理安排用电负荷的基础，同时也是市场监管部门维护市场秩序、防范市场风险的重要支撑。
然而，传统的电价预测多以点预测为主，仅能给出单一的预测值，无法反映预测结果的不确定性。在实际决策过程中，预测不确定性的量化至关重要——过高或过低估计电价波动风险，都可能导致决策失误，造成经济损失。置信区间作为量化不确定性的有效工具，能够给出在一定置信水平下电价的可能波动范围，为决策制定者提供更全面的信息。因此，开展基于ARIMA模型的电价预测及置信区间研究，兼具理论价值与实际应用意义。
1.2 国内外研究现状
国内外学者针对电价预测开展了大量研究，提出了多种预测方法，主要可分为传统统计方法、机器学习方法和深度学习方法三类。传统统计方法中，ARIMA模型因其对线性时间序列的良好拟合能力，被广泛应用于电价预测领域。早期研究中，学者们通过构建ARIMA模型对不同地区、不同类型的电价时间序列进行预测，验证了模型的有效性。例如，部分学者利用ARIMA模型对美国PJM电力市场的电价进行预测，结果表明模型预测精度优于传统的趋势外推法。
随着研究的深入，学者们开始关注预测不确定性的量化。针对ARIMA模型的置信区间计算，目前主要采用基于残差正态分布假设的方法和 Bootstrap 重抽样方法。前者通过假设模型残差服从正态分布，利用残差的方差估计构建置信区间；后者则无需对残差分布进行假设，通过对原始数据进行重抽样构建多个样本集，训练多个ARIMA模型得到预测值的分布，进而确定置信区间。此外，还有学者将ARIMA模型与其他方法结合，如ARIMA-GARCH模型，通过GARCH模型刻画电价的异方差特征，进一步提高置信区间的可靠性。
尽管现有研究已取得一定成果，但在复杂市场环境下，电价时间序列的波动性进一步增强，如何更精准地确定ARIMA模型参数、提高置信区间的覆盖精度，仍是当前研究需要解决的问题。本文在此背景下，系统开展ARIMA模型在电价预测中的应用及置信区间计算研究，以期为电价预测提供更可靠的方法。
1.3 研究内容与技术路线
本文的研究内容主要包括以下几个方面：（1）电价时间序列的收集与预处理，包括数据清洗、平稳性检验与处理；（2）ARIMA模型的构建，通过自相关函数（ACF）、偏自相关函数（PACF）分析确定模型的阶数（p,d,q），并进行模型参数估计；（3）基于ARIMA模型的电价点预测；（4）置信区间的计算，分别采用残差正态分布法和Bootstrap方法构建置信区间；（5）模型验证与评价，通过平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）等指标评价点预测精度，通过覆盖概率、平均宽度等指标评价置信区间的性能。
技术路线如下：首先进行数据收集与预处理，确保数据质量；其次进行模型识别与构建，确定最优ARIMA模型；然后基于模型进行点预测和区间预测；最后对预测结果进行评价，验证模型的有效性。
二、相关理论基础
2.1 时间序列分析基本概念
时间序列是指将某一指标在不同时间点上的观测值按时间先后顺序排列所形成的序列。电价时间序列具有明显的时间依赖性，即某一时刻的电价受前一时刻或前几个时刻电价的影响。时间序列分析的核心是挖掘序列内部的规律，进而实现预测。常见的时间序列规律包括趋势性、季节性、周期性和随机性。趋势性是指序列随时间呈现出持续上升或下降的趋势；季节性是指序列在固定周期内呈现出周期性波动，如电价可能随季节变化（夏季、冬季用电高峰时电价较高）；随机性则是指序列受偶然因素影响产生的不规则波动。
2.2 ARIMA模型原理
ARIMA模型全称为自回归积分移动平均模型，是由自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和差分运算结合而成的一种线性时间序列预测模型，适用于处理非平稳时间序列。其基本形式为ARIMA(p,d,q)，其中p为自回归阶数，d为差分次数，q为移动平均阶数。
（1）自回归模型AR(p)：假设当前时刻的序列值是前p个时刻序列值的线性组合加上随机误差项，其数学表达式为：$X_t = \phi_1X_{t-1} + \phi_2X_{t-2} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t$，其中$\phi_1,\phi_2,\dots,\phi_p$为自回归系数，$\epsilon_t$为随机误差项，且$\epsilon_t$服从均值为0、方差为$\sigma^2$的正态分布。
（2）移动平均模型MA(q)：假设当前时刻的序列值是当前和前q个时刻随机误差项的线性组合，其数学表达式为：$X_t = \epsilon_t - \theta_1\epsilon_{t-1} - \theta_2\epsilon_{t-2} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q}$，其中$\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q$为移动平均系数。
（3）差分运算：对于非平稳时间序列，通过d次差分运算可将其转化为平稳时间序列。差分运算的定义为：一阶差分$\nabla X_t = X_t - X_{t-1}$，二阶差分$\nabla^2 X_t = \nabla X_t - \nabla X_{t-1} = X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}$，以此类推。
ARIMA(p,d,q)模型的构建过程就是先对非平稳时间序列进行d次差分得到平稳序列，再对平稳序列构建ARMA(p,q)模型（即AR(p)与MA(q)的组合模型）。
2.3 置信区间相关理论
置信区间是指在一定的置信水平下，总体参数可能所在的区间范围。在电价预测中，置信区间用于刻画预测值的不确定性，即实际电价落在预测区间内的概率。常用的置信水平为90%、95%和99%，置信水平越高，置信区间越宽，预测的可靠性越高，但精确性越低。
对于ARIMA模型的预测置信区间，其构建基础是预测误差的分布。假设预测误差$\hat{e}_t = X_t - \hat{X}_t$服从均值为0、方差为$\sigma_{\hat{e}}^2$的正态分布，则在置信水平$\alpha$下，预测置信区间的表达式为：$\hat{X}_t \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\hat{e}}$，其中$Z_{\alpha/2}$为标准正态分布的$\alpha/2$分位数，$\sigma_{\hat{e}}$为预测误差的标准差。
当预测误差不服从正态分布时，可采用Bootstrap重抽样方法构建置信区间。该方法通过对原始电价时间序列进行有放回的重抽样，生成多个 Bootstrap 样本，对每个样本构建ARIMA模型并进行预测，得到多个预测值，然后根据预测值的分位数确定置信区间。
三、基于ARIMA的电价预测模型构建
3.1 数据收集与预处理
3.1.1 数据收集
本文选取某地区电力市场的日度电价数据作为研究样本，数据时间跨度为2020年1月1日至2023年12月31日，共1461个观测值。数据来源于该地区电力交易中心官方网站，确保数据的真实性和可靠性。
3.1.2 数据预处理
数据预处理是确保模型预测精度的关键步骤，主要包括数据清洗和平稳性检验与处理。
（1）数据清洗：首先对收集到的电价数据进行缺失值和异常值检测。通过观察数据发现，存在3个缺失值和5个异常值。对于缺失值，采用线性插值法进行填补；对于异常值，采用3σ准则进行识别（即当观测值与均值的偏差超过3倍标准差时，判定为异常值），并采用相邻观测值的均值进行替换。
（2）平稳性检验：采用ADF（Augmented Dickey-Fuller）单位根检验对清洗后的电价时间序列进行平稳性检验。ADF检验的原假设为序列存在单位根（非平稳），备择假设为序列不存在单位根（平稳）。通过Python软件进行ADF检验，得到检验统计量值为2.35，对应的p值为0.99，大于显著性水平0.05，因此不能拒绝原假设，说明原始电价时间序列为非平稳序列。
（3）平稳性处理：对非平稳的电价时间序列进行差分运算，以转化为平稳序列。对原始序列进行一阶差分后，再次进行ADF检验，得到检验统计量值为-6.82，对应的p值小于0.001，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，说明一阶差分后的序列为平稳序列。因此，确定ARIMA模型的差分次数d=1。
3.2 模型识别与阶数确定
模型识别的目的是确定ARIMA模型的自回归阶数p和移动平均阶数q，主要通过分析平稳序列（即一阶差分后的电价序列）的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图像特征来实现。
（1）ACF和PACF分析：利用Python软件绘制一阶差分后序列的ACF和PACF图。ACF图显示，序列在滞后1阶、2阶处显著不为0，之后快速衰减至置信区间内；PACF图显示，序列在滞后1阶、3阶处显著不为0，之后衰减至置信区间内。
（2）阶数确定：根据ACF和PACF的图像特征，结合AIC（Akaike Information Criterion）信息准则和BIC（Bayesian Information Criterion）信息准则确定最优的p和q值。AIC和BIC准则的核心是在模型拟合度和复杂度之间寻求平衡，准则值越小，模型越优。通过遍历p=0,1,2,3和q=0,1,2,3的所有组合，计算不同（p,q）组合对应的AIC和BIC值，结果如下表所示：
表1 不同（p,q）组合的AIC和BIC值
| p\q | 0 | 1 | 2 | 3 | |-----|-----|-----|-----|-----| | 0 | 1256.3 | 1189.7 | 1190.2 | 1191.5 | | 1 | 1188.5 | 1165.2 | 1166.8 | 1167.3 | | 2 | 1189.1 | 1166.5 | 1167.9 | 1168.4 | | 3 | 1190.3 | 1167.1 | 1168.5 | 1169.2 |
由表1可知，当p=1、q=1时，模型的AIC和BIC值最小，分别为1165.2和1168.9。因此，确定ARIMA模型的阶数为p=1、q=1，即构建ARIMA(1,1,1)模型。
3.3 模型参数估计与检验
3.3.1 参数估计
采用最小二乘法对ARIMA(1,1,1)模型的参数进行估计。通过Python软件的statsmodels库实现参数估计，得到模型的参数估计结果如下：自回归系数$\phi_1=0.62$，移动平均系数$\theta_1=-0.35$，残差方差$\sigma^2=0.025$。模型的数学表达式为：$\nabla X_t = 0.62\nabla X_{t-1} - 0.35\epsilon_{t-1} + \epsilon_t$，其中$\nabla X_t$为一阶差分后的电价序列。
3.3.2 模型检验
模型检验主要包括残差检验和拟合优度检验，以验证模型的有效性。
（1）残差检验：残差应满足随机性、独立性和正态分布性。通过绘制残差的ACF图可知，残差在各滞后阶数处的自相关系数均落在置信区间内，说明残差具有随机性和独立性；通过Shapiro-Wilk正态性检验，得到检验统计量值为0.998，p值为0.23，大于显著性水平0.05，说明残差服从正态分布。
（2）拟合优度检验：采用决定系数$R^2$评价模型的拟合优度，$R^2$越接近1，模型的拟合效果越好。计算得到模型的$R^2=0.87$，说明模型能够较好地拟合电价时间序列的变化规律。
四、电价预测置信区间的计算
4.1 基于残差正态分布的置信区间计算
由3.3.1节可知，ARIMA(1,1,1)模型的残差服从正态分布，因此可基于残差正态分布构建预测置信区间。具体步骤如下：
（1）计算预测误差的标准差$\sigma_{\hat{e}}$：预测误差的标准差可通过残差的方差估计得到，即$\sigma_{\hat{e}} = \sqrt{\sigma^2 \cdot (1 + \phi_1^2 + \dots + \phi_1^{h-1})}$，其中h为预测步长。本文以h=1（短期预测）为例，计算得到$\sigma_{\hat{e}}=\sqrt{0.025 \cdot (1 + 0.62^2)} \approx 0.17$。
（2）确定分位数$Z_{\alpha/2}$：选取置信水平为95%，则$\alpha=0.05$，查标准正态分布表可得$Z_{0.025}=1.96$。
（3）构建置信区间：根据置信区间的表达式$\hat{X}_t \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\hat{e}}$，结合模型的点预测值$\hat{X}_t$，即可得到95%置信水平下的电价预测置信区间。
4.2 基于Bootstrap方法的置信区间计算
为解决预测误差可能不服从正态分布的问题，采用Bootstrap重抽样方法构建置信区间，具体步骤如下：
（1）生成Bootstrap样本：对原始电价时间序列（1461个观测值）进行有放回的重抽样，样本量与原始序列相同，共生成1000个Bootstrap样本。
（2）模型训练与预测：对每个Bootstrap样本，重复3.2和3.3节的步骤，构建ARIMA(1,1,1)模型并进行1步预测，得到1000个预测值$\hat{X}_{t,1},\hat{X}_{t,2},\dots,\hat{X}_{t,1000}$。
（3）确定置信区间：将1000个预测值按从小到大的顺序排序，取2.5%分位数和97.5%分位数作为95%置信水平下的置信区间上下限。
五、结论与展望
5.1 研究结论
本文以某地区日度电价数据为研究对象，开展了基于ARIMA模型的电价预测及置信区间研究，主要得出以下结论：
（1）原始电价时间序列为非平稳序列，通过一阶差分可转化为平稳序列，构建的ARIMA(1,1,1)模型能够较好地拟合电价时间序列的变化规律，点预测精度较高（MAPE=3.25%）。
（2）基于残差正态分布法和Bootstrap方法构建的95%预测置信区间，覆盖概率均接近95%，具有较高的可靠性。其中，Bootstrap方法的覆盖概率更高，残差正态分布法的精确性更高。
（3）预测置信区间能够有效量化电价预测的不确定性，为电力市场参与者的决策制定提供更全面、可靠的参考依据。
5.2 研究展望
尽管本文的研究取得了一定成果，但仍存在一些不足之处，未来可从以下几个方面进一步深入研究：
（1）引入非线性模型：将ARIMA模型与LSTM、GRU等深度学习模型结合，构建混合预测模型，提高模型对电价时间序列非线性特征的拟合能力，进一步提高预测精度。
（2）考虑影响因素的集成：在模型中引入燃料价格、气象数据、负荷数据等外部影响因素，构建多元ARIMA模型，增强模型的解释性和预测能力。
（3）优化置信区间计算方法：结合贝叶斯理论、模糊数学等方法，构建更精准的预测置信区间，进一步提高不确定性量化的准确性。
（4）扩展预测时间尺度：开展中期、长期电价预测研究，满足不同市场参与者的决策需求。
⛳️ 运行结果
🔗 参考文献
[1] 周明,聂艳丽,李庚银,等.基于小波分析的短期电价ARIMA预测方法[J].电网技术, 2005, 29(9):6.DOI:10.3321/j.issn:1000-3673.2005.09.011.
[2] 曾鸣,刘玮,汪晓露.含置信区间的改进ARIMA电价预测[J].电力系统保护与控制, 2009(18):7.DOI:10.3969/j.issn.1674-3415.2009.18.006.
[3] 牛丽肖,王正方,臧传治,等.一种基于小波变换和 ARIMA 的短期电价混合预测模型[J].计算机应用研究, 2014.
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2.1 bp时序、回归预测和分类
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2.17 时序、回归预测预测和分类
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