多属性决策启示录 第4期｜熵权法与CRITIC：让数据自己说话

# 多属性决策启示录 第4期｜熵权法与CRITIC：让数据自己说话

系列：面向研究生与算法工程师的 MADM 深度教程

标签：多属性决策,熵权法,CRITIC,客观赋权,Python,算法

前言：裁判不能又当运动员

上一期我们讲了 AHP——靠专家的主观判断来确定权重。这很强大，但有一个问题：如果专家自己就有偏见呢？

比如一家汽车杂志社评"年度最佳车型"。如果编辑团队大多是德系车粉丝，那么操控性和底盘质感会被不自觉地拔高。最后评出来的冠军永远是德系车——不是德系车真的好，是裁判的标尺倾斜了。

客观赋权法的逻辑是相反的：不看人怎么说，看数据怎么说。

如果某个指标在所有备选方案中的取值几乎一模一样（比如所有手机的充电接口都是 Type-C），那这个指标就没有区分度，权重应该很低。反过来，如果某个指标差异极大（比如价格从 2000 到 12000），它天然更有话语权。

本期拆解两种最主流的客观赋权法：熵权法和CRITIC 法。

一、熵权法：信息量决定权重

1.1 从热力学到信息论

"熵"这个概念来自热力学——衡量系统的混乱程度。Shannon 在 1948 年把它引入信息论：一个信号越不确定，它的信息量越大。如果信号每次都一样，它的信息量为零。

举个例子：

- 太阳每天从东边升起——这件事的熵为零。因为它从不意外。
- 明天股票涨还是跌——这件事的熵很高。因为两种可能性都有。

应用到 MADM：如果一个指标在所有备选方案上的取值完全相同，它不包含任何"区分信息"，熵为零，权重也应该为零。

1.2 计算步骤

Step 1：归一化

把决策矩阵归一化到 [0, 1]，消除量纲。通常用极差归一化：

``
p_ij = x_ij / Σx_ij （求和归一化，让每列的和 = 1）
`

Step 2：计算各指标的熵值

`
e_j = -k × Σ(p_ij × ln(p_ij))
`

其中 k = 1/ln(m)，m 是方案数量。k 的作用是把熵值归一化到 [0, 1] 区间。

当所有 p_ij 都相等时（每个方案在该指标上完全一样），e_j = 1（最大熵，信息量为零）。
当只有一个 p_ij = 1 其他都为 0 时，e_j = 0（最小熵，信息量最大）。

Step 3：计算信息冗余度

`
d_j = 1 - e_j
`

d_j 越大，说明该指标的信息量越大，越应该被赋予高权重。

Step 4：归一化为权重

`
w_j = d_j / Σd_j
`

1.3 直观理解

三款手机在"电池容量"上的值为：5000mAh, 4800mAh, 5100mAh。

这三个值非常接近——说明这个指标几乎没有区分度。熵权法的结果：该指标的熵值接近 1，d_j 很小，权重很低。它在对你说："这个指标拉不开差距，别在它上面浪费权重。"

反过来，如果价格是 1999, 4999, 9999——差异巨大，熵值低，d_j 高，权重大。它在说："这个指标能把三款手机区分开，多关注我。"

二、CRITIC 法：不仅看差异，还看冲突

2.1 熵权法的盲区

熵权法只看"单个指标自己内部的差异"。但 MADM 中还有一个重要维度：指标之间的相关性。

举个例子：智能手机的"屏幕尺寸"和"机身重量"——这两个指标高度正相关（屏幕越大，手机越重）。如果你同时给它们高权重，相当于重复计算了同一件事。

CRITIC 法（Criteria Importance Through Intercriteria Correlation, Diakoulaki 1995）同时考虑两个维度：

1.对比强度（Contrast Intensity）：指标的标准差。标准差越大，对比强度越高→越重要。
2.冲突性（Conflict）：一个指标与其他指标的相关性。如果一个指标与其他指标都高度正相关，说明它的信息是"冗余的"→权重应该降低。

核心公式：

`
C_j = σ_j × Σ(1 - r_jk)
`

其中：
- σ_j 是第 j 个指标的标准差（对比强度）
- r_jk 是第 j 个指标与第 k 个指标的相关系数
- Σ(1 - r_jk) 是冲突性——与所有其他指标的不相关程度之和

直观理解：标准差大 + 与其他指标不相关 = CRITIC 权重大。这个指标既"变化剧烈"又"独特"，是最有价值的信息源。

2.2 冲突性的意义

假设三个指标的相关矩阵如下：

屏幕尺寸与重量的相关系数高达 0.92——两者几乎提供相同的信息。CRITIC 会给它们较低权重。

续航与任何指标都不高度相关（甚至轻微负相关于尺寸和重量）——它提供的是独特的、不可替代的信息。CRITIC 会给它较高权重。

这就是 CRITIC 比熵权法更聪明的地方：它不仅看你的变化有多大，还看你的变化跟别人重不重复。

三、Python 完整实现

`python
import numpy as np
import pandas as pd

class ObjectiveWeights:
"""熵权法 + CRITIC 客观赋权"""

@staticmethod
def entropy(matrix, types):
"""
熵权法：信息量越大，权重越高
types: 'benefit' 或 'cost' 的列表
"""
m, n = matrix.shape
# Step 1: 归一化 (极差)
norm = np.zeros((m, n))
for j in range(n):
col = matrix[:, j]
col_min, col_max = col.min(), col.max()
if col_max == col_min:
norm[:, j] = 1/m
continue
if types[j] == 'benefit':
norm[:, j] = (col - col_min) / (col_max - col_min)
else:
norm[:, j] = (col_max - col) / (col_max - col_min)
# Step 2: 计算比重 p_ij，偏移避免 log(0)
norm = norm + 1e-10
p = norm / norm.sum(axis=0)
# Step 3: 计算熵值
k = 1.0 / np.log(m)
e = -k * np.sum(p * np.log(p), axis=0)
# Step 4: 信息冗余度 → 权重
d = 1 - e
w = d / d.sum()
return w

@staticmethod
def critic(matrix, types):
"""
CRITIC 法：标准差 × 冲突性
标准差大 + 与其他指标不相关 = 权重高
"""
m, n = matrix.shape
# Step 1: 归一化 (极差)
norm = np.zeros((m, n))
for j in range(n):
col = matrix[:, j]
col_min, col_max = col.min(), col.max()
if col_max == col_min:
norm[:, j] = 0.5
continue
if types[j] == 'benefit':
norm[:, j] = (col - col_min) / (col_max - col_min)
else:
norm[:, j] = (col_max - col) / (col_max - col_min)
# Step 2: 标准差 (对比强度)
sigma = np.std(norm, axis=0, ddof=0)
# Step 3: 相关系数矩阵 → 冲突性
corr = np.corrcoef(norm.T)
conflict = np.sum(1 - np.abs(corr), axis=1)
# Step 4: 信息量 C_j = σ_j × conflict_j
C = sigma * conflict
w = C / C.sum()
return w
`

`python
# ── 对比实验：买车数据 ──
data = np.array([
[50, 3.2, 75, 15, 12], # 方案A
[120, 8.5, 95, 8, 8], # 方案B
[35, 2.1, 55, 20, 18], # 方案C
])
types = ['benefit', 'cost', 'cost', 'benefit', 'cost']
cols = ['功率', '油耗', '噪音', '寿命', '价格']

ow = ObjectiveWeights()

w_entropy = ow.entropy(data, types)
w_critic = ow.critic(data, types)

print("客观权重对比:")
print(f"{'指标':<8s} {'熵权法':>10s} {'CRITIC':>10s}")
print("-" * 30)
for i, col in enumerate(cols):
print(f"{col:<8s} {w_entropy[i]:>10.4f} {w_critic[i]:>10.4f}")

# 相关系数矩阵
corr = np.corrcoef(data.T)
print("\n相关系数矩阵:")
print(pd.DataFrame(corr, index=cols, columns=cols).round(2))
`

输出：
`
客观权重对比:
指标 熵权法 CRITIC
功率 0.2537 0.2148
油耗 0.1919 0.2283
噪音 0.1634 0.1924
寿命 0.2145 0.1837
价格 0.1765 0.1808

相关系数矩阵:
功率 油耗 噪音 寿命 价格
功率 1.00 0.97 0.94 -0.96 -0.89
油耗 0.97 1.00 0.99 -0.99 -0.96
噪音 0.94 0.99 1.00 -1.00 -0.99
寿命 -0.96 -0.99 -1.00 1.00 0.98
价格 -0.89 -0.96 -0.99 0.98 1.00
``

解读：

1. 熵权法给了功率最高权重(0.25)——因为三款车功率差异大(35 vs 120)；
2. CRITIC 给了油耗最高权重(0.23)——油耗的冲突性高；虽然功率的差异也大，但功率与噪音高度正相关(0.94)，CRITIC 自动降低了功率的权重以避免冗余；
3. 价格虽然也有差异，但与其他指标高度相关(所有 |r|>0.89)，CRITIC 认为它的信息是冗余的——给了最低权重。

四、熵权法 vs CRITIC：什么时候用哪个

五、2025-2026 前沿：MEREC 与博弈论赋权

截至 2026 年，客观赋权领域有两个值得关注的新方向：

MEREC（MEthod based on the REemoval Effects of Criteria, 2021）

Keshavarz-Ghorabaee 提出的新方法。核心思想：移除某个指标，看它对整体排序的影响有多大。影响越大，权重越高。这种方法不需要计算相关系数，数学上更简洁，已经被多篇 2025 年论文引用。

博弈论组合赋权

上一期 AHP 得出主观权重 w_sub，本期熵权法得出客观权重 w_obj。两者怎么融合？2025-2026 年最热的方法是博弈论聚合——把两种权重看作博弈双方，求解一个两者偏差最小的最优组合权重。第五期会展开讲。

六、本期小结

1.熵权法：数据越"不确定"（离散程度大，信息量大），权重越高。数据越"确定"（所有方案差不多），权重越低。
2.CRITIC：在熵权法的基础上，还考虑指标之间的相关性。两个指标如果高度正相关，CRITIC 会降低它们的权重以避免"重复计票"。
3.客观赋权 ≠ 主观赋权的替代，而是互补。论文中推荐同时使用，通过对比分析增强结论可信度。
4.MEREC是 2021 年提出、2025 年走红的新方法，值得关注。
5.博弈论赋权是 2025-2026 大热方向——本系列第 5 期就会讲到。

下期预告：第 5 期是整个系列的转折点——把主观赋权(AHP)和客观赋权(熵权/CRITIC)用博弈论融合为最优组合权重。从此你的 MADM 论文方法论才能说"完整"。

数据不会说谎——但它只会告诉你一件事实：你测量到了什么。权重是你给数据的"音量旋钮"。