本文分享的必刷题目是从蓝桥云课、洛谷、AcWing等知名刷题平台精心挑选而来，并结合各平台提供的算法标签和难度等级进行了系统分类。题目涵盖了从基础到进阶的多种算法和数据结构，旨在为不同阶段的编程学习者提供一条清晰、平稳的学习提升路径。
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附上汇总贴：算法竞赛备考冲刺必刷题（C++） | 汇总
【题目来源】
洛谷：P17014 [GESP202606 七级] 染色 - 洛谷
【题目描述】
小杨同学有一张包含n nn个结点的无向图G GG,G GG中的结点依次以1 , 2 , … , n 1, 2, \dots, n1,2,…,n编号。
小杨同学发现G GG中每个结点的度数都是2 22。显然G GG中恰好有n nn条边。
小杨同学想为G GG中的结点染色，使得任意一条边两端的结点都有不同的颜色。
小杨同学想知道最少需要多少种颜色才能在满足条件的前提下为G GG染色。
【输入】
本题包含多组数据。
第一行，一个正整数t tt，表示数据组数。
对于每组数据：
第一行，一个正整数n nn，表示无向图G GG中的结点数。
接下来n nn行，每行两个正整数u i , v i u_i, v_iui,vi，表示一条连接结点u i u_iui与v i v_ivi的无向边，整数之间以空格分隔。
保证G GG中没有重边与自环。
【输出】
对于每组数据：输出一行，一个整数，表示在满足条件的前提下为G GG染色需要的最少颜色数。
【输入样例】
4 6 1 6 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 6 1 3 3 5 5 1 2 4 4 6 6 2 3 1 2 2 3 3 1 5 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3【输出样例】
2 3 3 3【核心思想】
问题分析：给定一个每个结点度数均为2 22的无向图G GG，即G GG由若干个不相交的环组成（每个连通块是一个简单环）。要求为结点染色使得相邻结点颜色不同，求最少颜色数。这是一个图论性质分析 + 连通块分类问题，核心在于利用"每个结点度数为2 22"的条件推导出图的结构特征，进而确定每个连通块的色数。
算法选择：
- 图结构分析：度数为2 22的无向图必然由若干个简单环构成（无重边、无自环保证）
- 环的色数判定：偶环是二分图，色数为2 22；奇环不是二分图，色数为3 33
- 深度优先搜索（DFS）：统计每个连通块的结点数，判断奇偶性
关键步骤：
- 建图：读入n nn条边，建立无向图的邻接表
- 连通块遍历（对每个未访问的结点i ii）：
- c n t ← 0 cnt \leftarrow 0cnt←0，启动d f s ( i ) dfs(i)dfs(i)统计连通块大小
- 若c n t m o d 2 = 0 cnt \bmod 2 = 0cntmod2=0：r e s ← 2 res \leftarrow 2res←2（偶环，二分图，2 22色可染）
- 若c n t m o d 2 = 1 cnt \bmod 2 = 1cntmod2=1：r e s ← 3 res \leftarrow 3res←3（奇环，非二分图，需3 33色）
- a n s ← max ( a n s , r e s ) ans \leftarrow \max(ans, res)ans←max(ans,res)
- 输出结果：a n s ansans
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：O ( t ⋅ ( n + m ) ) = O ( t ⋅ n ) O(t \cdot (n + m)) = O(t \cdot n)O(t⋅(n+m))=O(t⋅n)，其中m = n m = nm=n（每个结点度数为2 22），DFS 遍历每个连通块一次
- 空间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)，邻接表和访问标记数组
图论性质分析的核心思想：
- 度数约束推导结构：无向图中所有结点度数为2 22且无重边、无自环，则图必然由若干个不相交的简单环组成。每个连通块是一个环，结点数等于边数
- 二分图与色数：偶环是二分图，可以用2 22种颜色交替染色；奇环包含奇数长度的回路，不是二分图，根据 Brooks 定理和具体结构分析，需要3 33种颜色
- 全局最优取最大：整个图的最少颜色数等于所有连通块色数的最大值（各连通块独立染色，颜色可复用）
- DFS 统计连通块：利用访问标记数组和 DFS 遍历，高效统计每个连通块的结点数，无需显式找环
- 适用于具有特殊度数约束的图结构分析、连通块分类判定类问题
【算法标签】
#普及 #DFS-图
【代码详解】
#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintN=100005;// 常量：最大结点数intt;// t: 数据组数intn;// n: 当前数据的结点数vector<int>g[N];// g[x]: 结点 x 的邻接结点列表boolvis[N];// vis[x]: 标记结点 x 是否已被访问intcnt;// cnt: 当前连通块的结点数voiddfs(intx)// 深度优先搜索，统计连通块大小{vis[x]=true;// 标记当前结点已访问cnt++;// 连通块结点数加一for(inti=0;i<g[x].size();i++)// 遍历所有邻接结点{inty=g[x][i];// y: 邻接结点if(vis[y])// 如果已访问，跳过continue;dfs(y);// 递归搜索}}intmain(){cin>>t;// 读入数据组数while(t--)// 循环处理每组数据{cin>>n;// 读入结点数for(inti=1;i<=n;i++)// 清空邻接表g[i].clear();for(inti=1;i<=n;i++)// 读入 n 条边{intu,v;// u, v: 边的两个端点cin>>u>>v;g[u].push_back(v);// 建立无向图g[v].push_back(u);}memset(vis,0,sizeof(vis));// 清空访问标记intans=-1;// ans: 最少需要的颜色数intres;// res: 当前连通块需要的颜色数for(inti=1;i<=n;i++)// 枚举每个结点，处理所有连通块{cnt=0;// 重置连通块计数器if(!vis[i])// 如果结点 i 未被访问（新的连通块）dfs(i);if(cnt%2==1)// 如果连通块结点数为奇数res=3;// 奇环需要 3 种颜色else// 如果连通块结点数为偶数res=2;// 偶环只需要 2 种颜色ans=max(ans,res);// 取所有连通块颜色数的最大值}cout<<ans<<endl;// 输出最少需要的颜色数}return0;}【运行结果】
4 6 1 6 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 2 6 1 3 3 5 5 1 2 4 4 6 6 2 3 3 1 2 2 3 3 1 3 5 1 4 2 5 3 1 4 2 5 3 3
