游戏中的线性插值

线性插值

线性插值是指找到两个给定值之间的某个百分比值。

L e r p = a + ( b − a ) ∗ t ， t ∈ [ 0 , 1 ] Lerp = a + (b - a) * t，t∈[0,1]Lerp=a+(b−a)∗t，t∈[0,1]

例如，我们可以在数字3和5之间线性插值50%，得到数字4。这是因为4在3和5之间占了50%。

Unity中通过Lerp的函数实现。包括Mathf.Lerp、Color.Lerp和Vector3.Lerp。

Mathf.Lerp

Mathf.Lerp会自动将插值因子 t 限制在 [0, 1] 区间内。而Mathf.LerpUnclamped则允许 t 超出范围。

float result = Mathf.Lerp (3f, 5f, 0.5f); // result = 4

设a = 3 a = 3a=3，b = 4 b = 4b=4，插值因子t = 0.5 t = 0.5t=0.5，则插值结果为：4

f ( t ) = a + ( b − a ) ∗ t = 3 + ( 4 − 3 ) ∗ 0.5 = 4 \begin{aligned} f(t) &= a+(b-a)*t\\&= 3+(4-3)*0.5\\&= 4 \end{aligned}f(t)​=a+(b−a)∗t=3+(4−3)∗0.5=4​

控制灯光强度

在某些情况下，Lerp函数可以用来随时间平滑一个值。

void Update () { light.intensity = Mathf.Lerp(light.intensity, 8f, 0.5f); }

如果灯光强度是0，那么第一次更新后会被设置为4。
下一帧会先是6，然后7，再7.5，依此类推。
因此，在多个帧内，光的强度会趋近8，但随着接近目标，变化速度会减慢。

注意，这种情况发生在多个帧内。

如果我们希望这不依赖帧率，务必使用Time.deltaTime来缩放插值速度。

void Update () { light.intensity = Mathf.Lerp(light.intensity, 8f, 0.5f * Time.deltaTime); }

这意味着强度的变化将是每秒发生，而不是每帧。

平滑值时通常最好使用SmoothDamp函数。只有确定想要的效果时才用Lerp平滑。

Vector3.Lerp

Vector3 from = new Vector3(1f, 2f, 3f); Vector3 to = new Vector3(5f, 6f, 7f); Vector3 result = Vector3.Lerp(from, to, 0.75f); // result = (4, 5, 6)

在线性变换中，a ⃗ = [ 1 2 3 ] , b ⃗ = [ 5 6 7 ] , t = 0.75 \vec{a} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}, \vec{b} = \begin{bmatrix}5 \\ 6 \\ 7\end{bmatrix}, t = 0.75a=​123​​,b=​567​​,t=0.75，则插值结果为：[ 4 5 6 ] \begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}​456​​

向量插值的计算：
u ⃗ = a ⃗ + ( b ⃗ − a ⃗ ) ∗ t = [ 1 2 3 ] + ( [ 5 6 7 ] − [ 1 2 3 ] ) ∗ 0.75 = [ 1 2 3 ] + [ 4 4 4 ] ∗ 0.75 = [ 1 2 3 ] + [ 3 3 3 ] = [ 4 5 6 ] \begin{aligned}\vec{u} &= \vec{a} + (\vec{b} - \vec{a}) * t\\&= \begin{bmatrix}1 \\2 \\ 3\end{bmatrix} + (\begin{bmatrix}5 \\ 6 \\ 7\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}) * 0.75\\&= \begin{bmatrix}1 \\2 \\ 3\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}4 \\ 4 \\ 4\end{bmatrix} * 0.75\\&= \begin{bmatrix}1 \\2 \\ 3\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}4 \\5 \\ 6\end{bmatrix}\end{aligned}u​=a+(b−a)∗t=​123​​+(​567​​−​123​​)∗0.75=​123​​+​444​​∗0.75=​123​​+​333​​=​456​​​

插值因子的变化：

物体的空间运动

控制移动开关

private float t = 1.1f; public void BeginLerp() { t = 0f; }

固定时长平滑移动

public float lerpTime = 1f; private void FixedUpdate() { if (t < 1f) { t += Mathf.Clamp01(1f / lerpTime * Time.fixedDeltaTime); objectToLerp.transform.position = Vector3.Lerp(objectToLerp.transform.position, destinationTransform.position, t); } }

移动到目的地

Color.Lerp

在颜色结构中，颜色由4个浮点表示，分别代表红、蓝、绿和阿尔法。使用 Lerp 时，每个浮点数会像对Mathf.Lerp一样进行插值。

颜色渐变

public Image background; public List<Color> socials = new List<Color>(); public float frequency = 3f; private float t = 1.1f; public void BeginLerp() { t = 0f; } private void Update() { if (t < 1) { t = Mathf.Sin(Time.time * frequency); background.color = Color.Lerp(socials[0], socials[1], t); } }

自定义要渐变的颜色