一、简答（6小题，共32分）
1.（4'）动画制作分为哪三个阶段？每个阶段的主要任务是什么？
2.（4'）试解释空间分区表示中八叉树方法。
3.（6'）在关键帧动画中，为了控制物体沿曲线匀速运动，常采用向前差分法估算曲线弧长。请回答：
（1）前向差分法估算弧长的基本步骤？
（2）该方法有哪些优/缺点？
（3）如何在一定程度上减小其误差？
4.（6'）在关节动画中，正向运动学和逆向运动学是两种基本的运动控制方法。请分别解释正向运动学和逆向运动学的定义。与正向运动学相比，逆向运动学解决了什么问题？其优势是什么？
5.（6'）在物理动画中，常用的时间积分方法有：显式欧拉、辛欧拉、隐式欧拉三种。请：
（1）分别写出三种方法的位置和速度更新公式。
（2）从稳定性、能量行为、计算复杂度三个方面对比这三种方法。
（3）针对以下场景，分别推荐使用哪种方法，并说明理由：实时游戏中的刚体运动模拟（如角色跳跃）、布料模拟（要求大时间步长且稳定）、天体轨道长期模拟（要求能量守恒）。
6.（6'）光滑粒子流体动力学（SPH）是一种基于粒子的无网络方法，广泛用于流体模拟。请回答：
（1）SPH方法的核心思想是什么？与传统网络方法（如欧拉网络法）有何不同？
（2）什么是光滑核函数（smoothing kennel）？它在SPH中起什么作用？
（3）列出SPH方法相对于欧拉网格法的主要优点。
二、计算题（共8分）
在光线追踪中，已知一个球体的中心为C=(2,0,0)。半径R=1，一条光线的起点为O=(0,1,0)，方向向量为D=(1,0,0)，光线参数方程：P(t)=O+tD，t≥0。
（1）判断该光线与球体是否存在有效交点。
（2）如果有交点，求出交点坐标。
三、计算题（共8分）
一个小球在竖直平面内运动，质量为m=1kg，仅受重力g=-9.8m/s²竖直向下。初始时刻t=0时，小球位置x0=0，速度v0=10m/s竖直向上，使用辛欧拉模拟小球的运动，时间步长△t=0.1s。
（1）写出辛欧拉积分在该问题中的具体更新公式。
（2）计算t=0.1s和t=0.2s时的速度和位置（保留2位小数）。
（3）已知自由落体运动的解析式为x(t)=x0+v0t+gt²，计算t=0.2s的解析位置并与辛欧拉结果比较绝对误差。
四、推导题（共12分）
在关键帧动画中，为实现易入/易出（ease-in/ease-out）速度控制，可采用均匀加速度模型。设总运动时间为归-化时间t∈[0,1]，总路程为1，加速度阶段[0,t1]内加速度恒定，匀速阶段[t1,t2]速度最大为v0，减速阶段[t2,1]内减速度恒定，已知t1和t2由用户指定。
（1）根据总路程为1的条件，推导最大速度v0的表达式。
（2）推导出距离函数s(t)在三个阶段的显式表达式。
（3）说明该模型与正弦差值模型相比，在灵活性上有何优势。
五、推导题（共10分）
在Verlet积分中，通过泰勒展开导出位置更新公式x(t+△t)=2x(t)-x(t-△t)+a(t)△t²+O(△)
（1）写出x(t+△t)和x(t-△t)关于t的泰勒展开式（展开到△项）。
（2）推导出Verlet位置更新公式。
（3）证明Verlet积分的局部截断误差为O(△)，并解释为什么Verlet积分比显式欧拉方法更稳定。
提示：证明Verlet积分的局部截断误差为O(△)，而显式欧拉方法的局部截断误差为O(△t²)。
六、推导题（共10分）
在流体模拟欧拉网格法中，在实现投影运算时需要将不满足不可压缩性的中间速度场w分解为无散度速度场u和压力梯度▽p：w=u+▽p , ▽·u=0。
（1）请推导出压力p的方程（用w表示）。提示：对等式两边取散度，利用▽·u=0。
（2）一旦求出压力p，如何得到修正后的速度场u？写出表达式。
七、证明题（共10分）
在凹凸映射（Bump Mapping）中，设原始曲面为P(u,v)，其单位法向量n=，引入微小的凹凸函数b(u,v)，定义扰动后的曲面为P'(u,v)=P(u,v)+b(u,v)n。扰动后的法向量为N'=Pu'×Pv'。
在假设b很小且忽略高阶小量（如忽略含bubv项和bnu项）的情况下证明：
N'≈Pu×Pv+bv(Pu×n)+bu(n×Pv)
八、证明题(共10分）
Gerstner波的位置函数为
其中wi=-,
，Qi:陡峭度参数 ，Di=(Dix,Diy)为波阵面法线方向且
=Dix²+Diy²=1.
（1）证明：当所有Qi=0时，Gerstner波退化为正弦波模型。
（2）定义标量坐标：s'=Dx x'+Dy y'，波面曲线的切线斜率，它反应实际波面轮廓的陡峭程度。
以单个Gerstner波（i=1）证明: Q=时，此时波峰变得异常尖锐。
（提示：考虑波峰位置满足sin(·）=1时，分析斜率=
，s=Dx x+Dy y。此时波峰处水平位移x'达到极值，且波峰处切线趋于均值，波面曲线的斜率
无穷大）
