主从博弈框架下的售电商零售套餐与多级市场购电策略Matlab实现

去年有段时间，后台一直有人问这个题目——基于主从博弈的售电商多元零售套餐设计与多级市场购电策略。说实话，这类电力市场方向的题目在EI期刊里不算新鲜，但它的框架特别完整：上层是售电商定价和买电，下层是用户响应，中间还夹着多级市场的购电时序问题，非常适合用来练手博弈论建模和Matlab求解。我前前后后复现了两版，第一版用交替迭代，第二版直接写成单层MILP，感触挺多。这篇就把完整的建模思路、求解细节、Matlab实现要点和踩过的坑全部梳理一遍，适合准备做电力市场方向毕设、或者想用主从博弈框架写论文的同学参考。

先交代一下这个项目到底做了什么。它本质上解决的是售电商的“双重身份”问题：对外要在中长期市场、日前市场、实时平衡市场里分批次买电，对内要设计出用户愿意接受、公司又能赚钱的零售套餐。套餐定贵了用户不买，定便宜了自己亏本；购电买多了有偏差惩罚，买少了实时电价又可能把人亏穿。所以套餐定价和购电计划必须放在同一个模型里联动求解，而不是先定价格再猜电量。下面我从模型设计、数学变换、代码实现、常见问题四个维度展开。

1. 核心问题拆解：售电商的困境和主从博弈的天然适用性

1.1 售电商到底难在哪：价格信号与电量响应的死循环

很多初学者一上来就写优化模型，目标函数是利润最大化，约束条件一列，丢给求解器就完事。这样做出来的结果往往不可用，原因在于忽略了用户会对电价产生反应。比如你把零售电价从0.6元/kWh提到0.8元/kWh，用户的用电量一定会下降，尤其是工商业用户，他们可能调整生产班次，甚至自建光伏来替代网购电。如果模型里把用户用电量当成固定参数，那么算出来的最优电价一定会偏高，实际执行时利润会大打折扣甚至为负。

这就是售电商困境的本质：电价影响电量，电量又反过来决定购电需求，购电需求影响成本，成本又约束了电价的下限。四个变量环环相扣，割裂开就没法算。

解决这种联动问题，最经典的工具就是主从博弈（Stackelberg Game）。它的思路是：设一个先行动者（Leader），一个后行动者（Follower）。Leader先公布自己的决策，Follower看到之后做出最优响应，Leader再根据Follower的响应调整自己的策略。在售电场景里，售电商就是Leader，它先发布各套餐的电价；用户是Follower，他们在给定电价下选择让自己用电效用最大的电量。最终达到的均衡状态，就是售电商在“考虑到用户会最优响应”的前提下能获得的最大利润。

1.2 主从博弈模型和普通双层优化的关系

这里要澄清一个容易混淆的点：主从博弈的数学形式就是双层优化（Bilevel Optimization）。你可能会在一些论文里看到“基于Stackelberg博弈”或者“基于双层规划”，它们说的是同一类模型，只是描述角度不同。博弈论强调的是决策顺序和理性假设，优化视角则更关注数学结构——上层问题带约束，下层问题是上层问题的参数化优化问题。

我比较喜欢用一个类比来解释主从博弈：房东定租金，租客决定租多大面积。房东不能直接命令租客必须租100平米，他只能通过调整租金来间接影响租客的选择。如果租金太高，租客直接搬走，房东一分钱收不到；租金太低，虽然房子租出去了但收益不划算。所以房东的最优策略，必然是“给定任何租金水平，我都知道租客会选多大面积”，然后在这个认知基础上选择租金。这就是Stackelberg均衡的核心思想。

在售电套餐设计里，角色完全对应：套餐价格就是租金，用户的购电量就是租住的面积，用户在不同套餐间选择甚至放弃购电，就是“搬走”。多级市场购电策略则相当于房东自己也要考虑不同时间节点去融资的成本。

2. 数学模型拆解：从双层到单层的完整推导

2.1 上层问题：售电商利润最大化的数学表达

先定义基本变量。假设售电商服务一组用户，需要设计多种零售套餐，比如固定电价套餐、分时电价套餐、阶梯电价套餐等。为简化表达，假设共有 (K) 类套餐、(T) 个时段（通常是24小时）、(N) 类用户群体。

上层决策变量包括：

• 套餐价格向量 (\lambda_{k,t})，表示第 (k) 类套餐在时段 (t) 的单位电价；
• 各市场购电量 (Q_m^{mid})、(Q_t^{da})、(Q_t^{rt})，分别表示中长期市场、日前市场、实时市场的购电量；
• 每个用户在每种套餐下的分配电量 (q_{n,k,t})（但这个变量其实由下层用户决定，在上层作为响应变量出现）。

上层目标函数是：

[ \max \quad \sum_{t=1}^{T} \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \lambda_{k,t} \cdot q_{n,k,t} - \sum_{m} C_m(Q_m) - \sum_{t} C_t^{penalty}(\Delta Q_t) ]

其中，第一项是售电收入，第二项是各市场购电成本，第三项是偏差惩罚。购电成本函数通常是分段线性的，因为不同市场、不同时段价格不同；偏差惩罚则用来刻画实际用电量和日前申报量不一致时产生的平衡费用。

上层约束包括：

• 购售电平衡约束：任何时段所有套餐下的用户总用电量，必须等于三个市场的购电量之和；
• 零售电价上下限约束：电价不能过高触及监管上限，也不能过低导致亏本；
• 套餐结构约束：比如分时电价套餐中峰时电价要高于谷时电价，阶梯电价套餐中各档价格要满足递增关系。

这些约束相对直观，难点在于 (q_{n,k,t}) 并不是上层直接控制的变量，而是下层用户优化问题的解。这就把上层问题变成了带均衡约束的数学规划问题。

2.2 下层问题：用户效用最大化与套餐选择逻辑

下层用户的决策是：在给定各套餐价格的情况下，选择购买多少电量、选择哪种套餐，从而最大化自己的净效用。净效用等于用电带来的满意度减去电费支出。

一个常用的效用函数是二次形式：

[ U_{n}(q) = a_n q - \frac{b_n}{2} q^2 ]

其中 (a_n) 和 (b_n) 是用户偏好参数，(a_n > 0)，(b_n > 0)。这个函数的边际效用是 (a_n - b_n q)，随着用电量增加而递减，符合经济学里的边际效用递减规律。用户的净效用为：

[ \max_{q} \quad a_n q - \frac{b_n}{2} q^2 - \lambda q ]

一阶条件直接得到：

[ q = \frac{a_n - \lambda}{b_n} ]

也就是说，用户的用电量是电价的线性减函数。电价越高，用电越少，这正好描述了需求弹性。

当存在多种套餐时，用户会比较每种套餐带给自己的净效用，选择净效用最大的那种。因此下层问题还要加入“激励相容约束”：对于任意两类套餐 (k_1, k_2)，用户选择 (k_1) 的净效用不能低于选择 (k_2) 的净效用。否则用户会流向更有吸引力的套餐，导致套餐设计失去意义。

2.3 把双层问题转换为单层MILP的关键步骤

双层问题不能直接用常规求解器求解，需要转成单层。最常用的方法是把下层问题用其最优性条件代替。由于下层用户问题是凸优化问题（二次目标、线性约束），可以用KKT条件精确刻画。

具体来说，下层问题的KKT条件包括：

1. 用户问题目标函数对 (q) 求导等于零（驻点条件）；
2. 互补松弛条件：拉格朗日乘子乘以约束函数等于零；
3. 原始可行和对偶可行条件。

把这些KKT条件作为上层问题的约束，再加上原有的上层目标函数和约束，就得到单层的数学规划问题。其中互补松弛条件是非线性的，需要引入二进制变量和大M法线性化。这是整个复现过程最繁琐的地方，也是区分代码水平的分水岭。

线性化互补松弛条件的一般形式：

比如一个不等式约束 (g(x) \le 0) 和对应的拉格朗日乘子 (\mu \ge 0)，互补松弛条件是 (\mu g(x) = 0)。引入二进制变量 (z)，令：

[ g(x) \le M_1 z ] [ \mu \le M_2 (1 - z) ]

其中 (M_1, M_2) 是足够大的正常数。这样当 (z = 0) 时强制 (g(x) = 0)，当 (z = 1) 时强制 (\mu = 0)，两者不会同时非零，严格等价于互补松弛条件。(M) 值的大小直接影响求解稳定性，取太大会导致数值病态，取太小又会错误截断可行域。

3. 多级市场购电策略的建模要点

3.1 中长期、日前、实时三级市场的时序逻辑

国内电力市场目前普遍采用“中长期+现货”的衔接模式。中长期市场（年度、月度）在实物交割前较长时间开展，价格相对稳定，作用是锁定大部分电量和价格，对冲现货市场价格波动风险；日前市场在运行日前一天开展，售电商根据负荷预测和新能源出力预测调整购电计划；实时平衡市场在运行当天按需出清，价格波动最大，通常只用于处理偏差电量。

售电商的购电策略就是要决定：总购电量中，多大比例放在中长期锁定，多大比例放在日前调整，多大比例留给实时兜底。从成本角度看，中长期价格一般最低但缺乏灵活性；日前价格中等，可以针对预测误差进行修正；实时价格最高，除非万不得已，应该尽量少买。

我在模型里的处理方式是，把三个市场分开建模，但通过购售电平衡约束耦合在一起：

[ Q_t^{mid} + Q_t^{da} + Q_t^{rt} = Q_t^{user}, \quad \forall t ]

其中 (Q_t^{user}) 是所有用户在时段 (t) 的总用电量，由下层用户的响应决定。另外，中长期购电量通常是在月前统一决策的，所有时段共享一个决策变量，而日前和实时购电是逐时段的决策变量。这种时序差异在代码实现里要区分清楚，否则容易把决策变量的维度搞错。

3.2 考虑风险约束的购电组合优化

只盯着期望利润最大化的购电策略，在极端价格场景下可能产生巨额亏损。比如实时市场价格尖峰时，如果日前购电不足，就需要在实时市场高价买电，这就是所谓的“价格风险”。

为了具象化这个风险，可以在模型里加条件风险价值（CVaR）约束，限制最坏情况下的购电成本。CVaR的含义是：在给定的置信水平下，超过某阈值的平均损失是多少。比如95%置信水平下CVaR等于所有5%最坏场景的平均购电成本。约束可以写成：

[ \text{CVaR}_{\alpha} \le C^{risk} ]

意思是，最坏5%场景里的平均购电成本不能超过某个上限 (C^{risk})。引入CVaR后，模型需要多个电价场景代入，目标函数变成期望利润最大化，同时每个场景下的购电成本都要参与CVaR计算。

代价是模型规模成倍增加——每个场景都要复制一套决策变量和约束。我在复现时用了24个典型日场景来刻画电价不确定性，求解时间从几秒钟涨到了几分钟，这对Matlab代码的可读性和求解器选型都提出了要求。

3.3 套餐设计与购电策略的耦合机制

很多人看到题目里“多元零售套餐”和“多级市场购电”是并列的两个词，以为它们是两个独立模块，其实它们是强耦合的。耦合点在于：套餐价格结构决定了用户的用电量曲线，用户的用电量曲线通过平衡约束决定售电商的总购电量，而各市场购电比例又决定了平均购电成本，购电成本反过来约束套餐的最低定价空间。

用公式表达这条传导链路：

[ \lambda \rightarrow q(\lambda) \rightarrow Q^{mid} + Q^{da} + Q^{rt} = q(\lambda) \rightarrow \text{购电成本} \rightarrow \text{利润} \rightarrow \lambda ]

这是一个闭环。如果把套餐设计和购电策略分开求解，先定套餐再算购电，得到的结果大概率是次优的。这也是为什么必须用主从博弈框架把它们放进同一个数学模型里联立求解——主从博弈的价值就在于此，不是炫技，而是问题结构决定了解法。

4. Matlab代码实现：框架设计、核心函数与求解器选择

4.1 环境准备：Yalmip与Gurobi/Cplex的搭配

复现这个项目，纯用Matlab自带的优化工具箱（Optimization Toolbox）会很吃力，因为模型里涉及整数变量和大规模的线性约束。我的建议是直接用Yalmip建模，再搭配Gurobi或Cplex求解。

Yalmip是Matlab下的一个建模语言工具箱，最大的优势是可以用接近数学表达式的语法写优化模型，不用手动把约束逐个拆成矩阵形式。它支持的求解器包括Gurobi、Cplex、Mosek、fmincon等。安装过程很简单，去GitHub下载yalmip的压缩包，解压后添加到Matlab路径即可。Cplex需要单独安装，Gurobi同样，两者都有学术授权可以免费申请。

先说结论：这个项目用Gurobi求解器效果最稳。Yalmip负责把模型转换成标准形式，Gurobi负责实际求解MILP。如果你没有Gurobi授权，Cplex是第二选择；实在不行也可以用内嵌的intlinprog，但求解速度会明显变慢，算大场景时耐心会受到考验。

4.2 代码架构：分模块设计的五个部分

我把整个项目代码拆成了五个模块：

模块化设计的最大好处是调试方便。模型求解无解时，可以先用注释掉部分约束的方式，逐个排查是哪组约束导致的问题。参数调整也很方便，换了新的用户数据或市场数据，只改参数模块就行，不需要动模型主体。

4.3 核心代码：Yalmip建模的关键代码段

下面这段是我模型构建模块中最核心的部分，展示了如何定义决策变量、目标函数和关键约束。以24时段、3类用户、2种套餐为例。

%% 决策变量定义 lambda = sdpvar(2, 24); % 两种套餐在24个时段的零售电价 q_user = sdpvar(3, 2, 24); % 3类用户在2种套餐下各时段的用电量 Q_mid = sdpvar(24, 1); % 中长期购电量 Q_da = sdpvar(24, 1); % 日前购电量 Q_rt = sdpvar(24, 1); % 实时购电量 %% 目标函数：售电收入 - 购电成本 revenue = 0; for t = 1:24 for k = 1:2 for n = 1:3 revenue = revenue + lambda(k, t) * q_user(n, k, t); end end end purchase_cost = sum(price_mid' * Q_mid) + sum(price_da' * Q_da) + sum(price_rt' * Q_rt); profit = revenue - purchase_cost; %% 约束条件：购售电平衡 Constraints = []; for t = 1:24 Constraints = [Constraints, sum(sum(q_user(:, :, t))) == Q_mid(t) + Q_da(t) + Q_rt(t)]; end %% 约束条件：用户响应一阶条件（KKT驻点条件） % 用户效用函数 U = a*q - 0.5*b*q^2，净效用最大化的一阶条件是 a - b*q = lambda for n = 1:3 for k = 1:2 for t = 1:24 Constraints = [Constraints, user_a(n) - user_b(n) * q_user(n, k, t) == lambda(k, t)]; end end end %% 求解 options = sdpsettings('solver', 'gurobi', 'verbose', 1); optimize(Constraints, -profit, options);

这段代码能跑通，但离完整可复现还有相当距离。真实场景里还需要处理套餐选择变量（离散变量）、激励相容约束、互补松弛线性化等内容。上面的代码只是让大家直观感受一下Yalmip的建模方式——变量定义用sdpvar，约束用等号直接拼接，目标函数写成表达式，最后丢给optimize求解。整体思路和写数学公式几乎一样，这也是Yalmip最吸引人的地方。

4.4 算例设计参考一个可以复现的数值场景

为了让模型跑出有意义的结果，参数设置要合理。我用的参考算例是这样的：

• 时段数：24小时，以1小时为间隔；
• 用户类型：3类，分别是居民用户、商业用户、小型工业用户；
• 用户数量：居民1000户、商业50户、工业10户，聚合后每类用户作为一个整体参与优化；
• 套餐类型：2种，分别是固定电价套餐和分时电价套餐；
• 用户效用参数：居民 (a=1.2, b=0.002)；商业 (a=1.5, b=0.001)；工业 (a=1.8, b=0.0008)；
• 中长期市场电价：0.42元/kWh（全时段固定）；
• 日前市场电价：峰时(10:00-15:00, 18:00-21:00) 0.55元/kWh，谷时(23:00-6:00) 0.35元/kWh，平时段0.45元/kWh；
• 实时市场电价：峰时0.8元/kWh，谷时0.3元/kWh，平时段0.5元/kWh；
• 零售电价上下限：0.4~1.0元/kWh；
• 中长期购电量占比约束：不低于总购电量的50%，不高于80%。

这些参数跑出来的结果比较符合直觉：分时电价套餐的峰谷价差大约在0.2~0.3元/kWh，高价时段用户用电量明显下降，工业用户对价格最敏感，腾挪空间最大；售电商利润主要来自分时套餐用户在峰时段的价差收益。

5. 复现过程中常见的坑与排查思路

5.1 求解器报“无解”怎么办

这是我被问得最多的问题，也是复现这个项目时最容易让人崩溃的环节。无解的原因通常有三类：

第一类是约束相互矛盾。最常见的是购售电平衡约束和用户响应表达式冲突。比如用户一阶条件是 (q = (a - \lambda)/b)，如果 (\lambda) 的取值上限设置得太低，导致即使按上限定价得到的用户用电量仍然高于总购电量上限，平衡约束就永远无法满足。排查方法是先把约束分组，注释掉平衡约束试求一次，再注释掉用户响应约束试一次，看问题出在哪一组。

第二类是大M参数设置不当。大M取值太小会切断可行域，导致模型求不出解；取值太大则可能引起数值问题，Gurobi报“Numerical trouble”。我的经验是，大M的取值要结合具体约束的量级来定。比如互补松弛条件涉及电价乘以电量，量级大约是元/kWh乘以kWh，我一般取 (10^5) 到 (10^6)，这样既不会截断可行域，也不会造成严重的数值病态。

第三类是KKT条件的互补松弛处理遗漏。双层转换过程中，每个不等式约束都要对应一个拉格朗日乘子和一个互补松弛条件，漏掉任何一个都会导致结果不满足最优性。初学者经常只写了驻点条件和原约束，忘记互补松弛，导致求出来的解不是下层问题的最优解。

5.2 交替迭代法不收敛怎么处理

有些论文里用的是交替迭代法：先固定电价，求解用户用电量；再固定用电量，求解最优电价；反复迭代直到收敛。这个方法实现简单，但收敛性没有保障。我在第一版代码里试过，存在电价在两个值之间来回震荡的情况，始终到不了均衡点。

后来改成单层MILP，用KKT条件把双层问题转成单层，加了二进制变量，问题就顺畅多了。如果你的场景规模不大（比如用户类型少、时段少），建议直接用单层MILP；如果问题规模大导致二进制变量爆炸，再考虑用启发式算法或者迭代法加阻尼因子。迭代法加阻尼因子的具体做法是：每次电价更新后，不直接用新电价，而是用新电价和旧电价的加权平均，权重大约取0.3~0.5，能有效抑制震荡。

5.3 结果不符合经济学直觉的常见原因

有时求解结果跑出来，明明设置了分时电价套餐，结果峰谷价差却为0；或者用户全部涌向固定电价套餐，分时套餐无人问津。出现这些现象，先别急着怀疑代码，大概率是约束或参数设置的问题。

峰谷价差为0，通常是零售电价上限和下限绑得太紧，或者用户的价格弹性太低，导致售电商没有意愿拉开峰谷价差。用户全选固定套餐，说明固定套餐的参数相对于分时套餐在用户效用层面占绝对优势，需要检查一下两类套餐的约束条件是否对齐——比如分时套餐中某些时段的电价被上限卡住，导致整体效用低于固定套餐。

我还遇到过一种情况：结果里某些用户用电量为负。这通常是因为效用函数参数设置不合理，比如 (a_n) 过小、(b_n) 过大，导致用户的最优用电量在某个高电价下变成了负数。处理方法是给用电量加非负约束，或者调整用户效用参数让最优用电量始终为正。

5.4 求解慢到无法忍受时的优化技巧

模型规模一大，Gurobi求解MILP可能需要几分钟甚至几小时。这时候有几个降维手段：

• 用户聚类：把几十上百个用户聚成3~5类，每类用聚合参数表示。收益函数和约束条件在做聚合时需要用加权平均或求和的方式重新算一遍，尤其是用户弹性参数不能简单地取平均，要按用电量加权。
• 时段聚合：24小时聚合成峰、平、谷三类时段，等模型调通后再细化回24小时。这样能大幅减少变量数，快速验证模型逻辑是否通顺。
• 减少二进制变量：互补松弛条件中的二进制变量是求解时间的大头，可以尝试用强对偶条件代替KKT条件中的部分互补松弛，但要注意推导过程的严谨性。

5.5 求解器许可证或Matlab环境问题

每次我发这类电力市场项目，评论区总有人问“Gurobi license怎么申请”“Yalmip装不上怎么办”。Gurobi对学术用户免费，用学校邮箱注册就可以拿到一年期的license；Cplex也提供类似的学术授权。如果这两个都不行，可以用SCIP——它是开源求解器，Yalmip也支持调用，算中小规模问题没问题，但速度确实比Gurobi慢不少。

还有个小坑：Matlab版本太老（比如R2016a以前）可能和最新版Yalmip有兼容问题。建议直接用R2020b以上的版本。另外，Yalmip的安装路径不要有中文和空格，否则加载时容易报错，这是个冷门但真实存在的问题。

6. 复现之外的思考：这套框架还能怎么扩展

代码跑通之后，建议不要急着写论文，先把模型吃透。我个人的体会是，这类项目最难的不是调通代码，而是理解“谁是leader谁是follower”“哪些约束是耦合上下层的”这些建模思路。一旦想通了，后续换应用场景只是改参数和约束的事。

这套主从博弈框架可以进行不少扩展。比如把单时段决策扩展成多时段联合决策，考虑储能设备的充放电策略，售电商就不只是被动买电，还能通过储能套利进一步降低成本；或者把零售套餐从两类扩展成可定制的连续套餐集合，引入消费者的异质性选择模型；再或者把多个售电商之间的竞争考虑进来，从单个leader变成多个leader，模型复杂度会显著上升，但写出来的故事也更完整。

我在实际复现中还发现一个值得注意的细节：单靠24小时一个典型日的静态模型，很难体现多级市场购电的时序价值。建议至少跑两个典型日对比，一个夏季高峰日、一个春秋平段日，这样既能验证模型的鲁棒性，也能让结果分析更有说服力。如果你打算把这套代码作为毕业论文的核心模型，这个对比实验基本是必做的。

最后分享一个小技巧：画结果图时，把用户用电量按套餐类型堆叠成面积图，再把零售电价和购电成本画成双轴折线图，一眼就能看出套餐定价与用户响应之间的规律。我第一次把这张图放进论文里，审稿人就没有再问“用户对价格是否有响应”这类问题——图像本身就是最好的证明。