目录：
1、矢量的正交分解
2、信号的正交分解
3、傅里叶级数推导★
本篇摘录“信号与系统3-傅里叶变换与频域分析”的小部分内容。
1、矢量的正交分解
▼两矢量V1与V2正交，夹角为90°，那么两正交矢量的内积为零，如下图所示。
图4.2.1 内积为零的原因
正交矢量集：由两两正交的矢量组成的矢量集合。
非正交矢量的近似表示及误差：
用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量：
显然，当两矢量V1与V2正交时，c12 = 0，即。
矢量正交分解：任意N维矢量可由N维正交坐标系表示。
推广到n维空间：n维空间的任一矢量V，可以精确地示为n个正交矢量的线性组合，即：
式中，Vi*Vj = 0(i ≠ j)，第r个分量的系数。
思路：将矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间中找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
2、信号的正交分解
【定义】在(t1,t2)区间的两个函数φ1(t)和φ2(t)，若满足(两函数的内积为0)
则称φ1(t)和φ2(t)在区间(t1,t2)内正交。
说明：实函数正交(内积为0)
正交函数集：若n个函数φ1(t),φ2(t),…φn(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1,t2)内满足
则称此函数集为在区间(t1,t2)上的正交函数集。
说明：如果Ki = 1，称为标准正交函数集。
例：两组典型的在区间上的完备正交函数集。
| 三角函数集 | |
| 虚指数函数集 |
对于两个连续函数来说，应该如何表示正交呢？
▼函数在某个区间内部有无穷多个点，无法直接套用内积公式。但可以借鉴积分思想，将函数在一段连续区间分割成一份一份，这样每一份的取值合起来就可以组成一个向量。于是可用向量的内积表示两个函数是否正交，如图4.2.2所示。
图4.2.2 两个函数正交
当分割的区间无限小时，向量变成无限维，于是向量的内积就可以用积分来替代了，所以两个函数的正交其实可以用积分表示。
对于 sin4x 和 sin2x 求不定积分：∫sin(4x)*sin(2x)dx = 1/4*sin(2x)−1/12*sin(6x)+C，再在一个周期(-π,π)区间做定积分，很显然积分值 = 0。▼如图4.2.3所示，一个周期内其图形处于 X轴上下方的面积相等，也可得出这两个函数的积分为0，也就是互相正交。
图4.2.3 积分值为零(m ≠ n)
对于 sin4x 和 sin4x 求不定积分：∫sin(4x)*sin(4x)dx = 1/2*x−1/16*sin(8x)+C，再在在一个周期(-π,π)区间做定积分，很显然积分值 = π。▼如图4.2.4所示，一个周期内其图形均在 X 轴上方，积分大于0，也就是不正交。
图4.2.4 积分值非零(m = n)
▼如图4.2.5的∫cos(mx)*sin(nx)*dx、∫cos(mx)*cos(mx)*dx、∫sin(mx)*sin(nx)*dx的任意两个一个周期内做定积分在m ≠ n时值为零，即互相正交。
图4.2.5 完备的正交函数集(上海交大-乐经良《高等数学》)
图4.2.3与图4.2.4的积分需要用到三角函数及其图像之八、积化和差与和差化积，图4.2.5用到三角函数及其图像之1、通过和差角公式推导。
3、傅里叶级数推导★
考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和(比如泰勒展开之8、泰勒Taylor公式及其应用)，可惜多项式并不能直观的表示周期函数。由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数表示成为一系列正余弦函数之和。
将上面的(1)式进行变换：
教课书中的表示如(3)式：
当前可以看到(2)式和(3)式的第一项任然不同。
①首先确定的表达形式，对函数f(x)积分：
上式利用三角函数的正交性，得到了的表达式：
当写成时，
，此时(2)式和(3)式便可以表示成一样了。接下来的推导中，沿用教科书上的(3)式。
②其次确定的表达形式，将(3)式两边乘以cos(mx)，再进行如下积分：
依据三角函数的正交性，可以得到上式的形式。当m = n时：
其三角函数仍然属于不同的，根据三角函数的正交性可知结果为0。 对于(5)式，当m = n时，
则可以表示为：
③类似地，可以得到的表达式：
对于(7)式，当m = n时，
则的表达式如(8)式：
④至此，可以对一个周期为 2π 的函数进行傅里叶展开，其形式为：
其中：
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