跟踪微分器TD详解：从PID误解到自抗扰仿真调参

简介：面向自动控制领域学生与工程师，这份资料聚焦跟踪微分器在自抗扰控制中的仿真实现，解决建模、参数调整及干扰估计等实际应用问题。跟踪微分器可平滑提取微分信号、抑制高频噪声，是自抗扰控制器设计中的关键前置环节。包内共五十八个文件，以数据文件、C语言源码、Simulink模型和动态库文件为主，同时包含编译中间文件，覆盖算法设计、S函数编写到仿真验证的完整流程，压缩包约五百四十一KB。已有一千四百零三人学习下载。借助其中的模型与源码，可直观理解跟踪微分器如何提取快速信号并配合自抗扰控制器工作，也可参考C语言实现迁移到嵌入式场景。通过模型仿真与代码注释，读者能快速掌握参数调节技巧，缩短自抗扰控制的学习曲线。适合正在学习韩京清自抗扰理论、需要动手仿真验证或进行控制器调试的读者。

1. 跟踪微分器TD是自抗扰仿真里最先要装上的那个模块

做电机转速闭环时，PID里的微分项一加，示波器上全是毛刺；把微分增益调小，相位又不够，系统像在跟你较劲。问题不在PID参数，而在“从信号里取导数”这件事本身。TD跟踪微分器（Tracking Differentiator）正是为这个动作设计的动态系统：它输出一路v1紧紧跟上输入信号，再输出另一路v2作为导数估计，既不放大高频噪声，也不产生超调，断了工程师硬扛噪声的念想。在自抗扰控制ADRC里，TD通常装在参考输入前面，负责安排过渡过程并生成参考速度，是TD、ESO、控制律三大件中的第一环。标题里的TD不是PID整定单上的微分时间，而是一个算法模块。下面把它的离散递推式、仿真实现、参数规律和排错一次讲透，顺手把“pid中pb ti td”和“安路td”这两类同名不同义的名词也做个了断。

2. TD到底是不是微分时间？先和PID里的TD撇清关系

2.1 从PID参数单上的TD，说到跟踪微分器TD

看PID整定表格时常看到PB、TI、TD三项。PB是比例带，TI是积分时间，TD是微分时间，单位秒。经典PID输出式写为u=Kp(e+1/TI·∫e dt+TD·de/dt)，这里的TD是个标量系数，乘的是误差的导数。很多工程师第一次看自抗扰仿真文章里的“TD”，直接套PID思路，认为TD是个微分增益，这是最大的误解来源。

跟踪微分器TD它是一个动态系统，不是一个参数。它的输入是参考信号v，输出两个状态：v1跟踪v，v2跟踪v的导数。结构写作：

x1'=x2 x2'=fhan(x1-v, x2, r, h)

fhan是最速综合函数，r是速度因子，h是滤波因子。x1对信号v的跟踪是渐近的、无超调的，x2则给出x1变化率的估计。内部没有独立的高通微分通道，而是靠两个积分器把导数“逼”出来，所以高频噪声不会被像差分那样直接放大。理解了这一层，再回头看“pid中pb ti td”，就知道两者只是缩写撞车，算法上没有任何继承关系。

2.2 为什么理想微分在自抗扰仿真里撑不住

理想微分器传递函数D(s)=s，幅频特性随频率线性增长，测量噪声在高频段被成倍放大。仿真里一旦给信号加上白噪声，微分输出几乎全是噪声。工程上常搭s/(Ts+1)做近似微分，但这又引入相位滞后，滞后量与噪声抑制直接冲突。

TD不走这个路线。它从轨迹规划的角度求最速跟踪，每步都在算一条受加速度上限约束的跟踪轨迹。由于加速度上限r的存在，TD对高频分量天然不响应，v2携带的是跟踪轨迹中的低频导数。换句话说，滤波能力不是附加的，而是来自加速度限制本身。仿真里这点很直观：输入带噪方波时，差分输出在跳变沿打出一串尖刺，TD输出是一个有界脉冲，高度和宽度随r变化。

TD在自抗扰控制里还有一个绑定任务：对参考输入安排过渡过程。参考输入若是阶跃，直接送进控制器会让初始控制量过大、对象受冲击；经过TD后，v1变成平滑轨迹，v2变成轨迹速度，控制器面对连续给定，执行器不再撞限。三种取导数的方式放一起对比：

2.3 顺带清理重名：安路td和TD有什么关系

搜索“跟踪微分器”时，偶尔会在结果里混进“安路td”。安路TD是FPGA厂商安路科技的一个产品系列代号，和本标题里的跟踪微分器TD没有算法关系。真正把两者联系起来的场景是：把自抗扰控制器部署到FPGA平台时，许多团队会把fhan函数做定点化，放到安路TD系列或同类FPGA芯片上。检索时看到“TD”字样，先看上下文是参数表还是算法图，别把器件选型和控制模块搞混。下面进入仿真实现。

3. 用Python跑通TD的最小离散递推式，先看到第一张曲线

3.1 fhan函数的离散表达式与逐行实现

韩京清提出的二阶最速跟踪微分器，每一步只需要一次fhan计算加两个积分累加。给定采样周期dt和滤波因子h0，离散递推式写为：

x1(k+1)=x1(k)+dt·x2(k) x2(k+1)=x2(k)+dt·fhan(x1(k)-v(k), x2(k), r, h0)

fhan内部按最速控制规律计算加速度，关键是把线性段和最速段拼成连续表达式，避免符号切换引起震荡。完整Python实现如下：

import math def _sign(x): return 1.0 if x > 0 else (-1.0 if x < 0 else 0.0) def fhan(y, x2, r, h0): # y = x1 - v，误差信号；h0 是滤波因子 d = r * h0 * h0 y0 = y + h0 * x2 # 由最速控制终点条件求出的根 a0 = math.sqrt(d * (d + 8.0 * abs(y0))) # 未限幅的目标加速度 a1 = h0 * x2 + (a0 - d) * 0.5 * _sign(y0) # 用 sy 判断 y0 是否落在线性段内 sy = (_sign(y0 + d) - _sign(y0 - d)) / 2.0 a = (h0 * x2 + y0 - a1) * sy + a1 # 用 sa 判断 a 是否进入饱和段 sa = (_sign(a + d) - _sign(a - d)) / 2.0 return -r * (a / d - _sign(a)) * sa - r * _sign(a) class TrackingDifferentiator: def __init__(self, r, h0, x1_0=0.0, x2_0=0.0): self.r = r self.h0 = h0 self.x1 = x1_0 self.x2 = x2_0 def step(self, v, dt): # 先算最速控制量，再做两次积分更新状态 u = fhan(self.x1 - v, self.x2, self.r, self.h0) self.x1 += dt * self.x2 self.x2 += dt * u return self.x1, self.x2

代码说明：d=r·h0²决定最速切换边界；|y0|≤d时，先生成一个线性控制量，避免符号函数在原点抖动；a0来自最优控制终点条件，其开方运算在FPGA定点化时通常换成CORDIC或查表。调用step时，先算fhan再积分，顺序不能颠倒，否则x2会用更新后的值，离散模型变成隐式更新。

3.2 给TD一个阶跃输入，跑出跟踪和微分曲线

仿真脚本如下，输入在0.2s处从0跳到1：

fs = 1000 # 仿真频率 Hz dt = 1.0 / fs T = 1.0 n = int(T * fs) td = TrackingDifferentiator(r=20.0, h0=10.0 * dt, x1_0=0.0, x2_0=0.0) t_list, v_list, x1_list, x2_list = [], [], [], [] for k in range(n): t = k * dt v = 1.0 if t >= 0.2 else 0.0 x1, x2 = td.step(v, dt) t_list.append(t) v_list.append(v) x1_list.append(x1) x2_list.append(x2) print(f"x1_end={x1_list[-1]:.4f}") print(f"x2_max={max(x2_list):.4f}") print(f"x2_min={min(x2_list):.4f}")

运行结果里x1最终停在1.0附近，不超调，上升时间约0.4s量级；x2是一段正脉冲，峰值约20，这就是阶跃输入对应的等效导数。脉冲越窄，r越大，跟踪越快。这里h0取10倍dt：如果h0=dt，滤波几乎等于没有，x2会明显抖动；如果h0=20倍dt，曲线平滑但滞后又偏大。用这个脚本改不同的r和h0，能比空看公式更快建立手感。

3.3 从曲线形状判断实现是否正确

拿到波形先看三点。第一，x1单调上升，不超调，最终停留在输入值上；第二，x2是单脉冲，正峰值不超过r，脉冲宽度随r增大而变窄；第三，输入是方波时x2在每个跳变沿各出一个正负脉冲，不会像差分那样在跳变后留下持续抖动。若看到x1振荡或x2持续高频抖动，先从h0取太小、r取太大查起。h0过小，fhan进入饱和段过于频繁，离散步长下等效为一个高增益开关，噪声全被激发；r过大则v2峰值超过执行器能力，闭环后表现为控制量频繁撞限。把这些现象和参数对应起来，调参时就不会盲目。

4. 自抗扰仿真里TD的4个必调参数与3个坑

4.1 先记住这张参数表，调参顺序就出来了

调参顺序固定：先定dt，再按执行器允许的最大控制量估算r，然后按噪声水平选h0，最后检查x1是否超调。若闭环后系统振荡，多数情况不是TD的问题，而是后面的ESO带宽或控制器增益有问题。TD只负责提供干净的参考轨迹和参考导数，背不了整条回路的锅。

4.2 坑1：把h0当成仿真步长用

很多实现把fhan里的h0直接传成dt，然后抱怨噪声滤不掉。原因在于h0同时出现在d=r·h0²和线性区判断里，当h0=dt时，算法只是普通离散欧拉逼近，对噪声完全开放。我一般让h0取10倍左右采样周期起步：h0越大x2越平滑，但x1的相位滞后按约h0/2的时间量级增加。在采样周期有抖动的系统中，必须保证dt固定，否则h0与dt不一致会引入额外离散误差。仿真里先把求解器设成固定步长，再谈滤波效果，顺序不能反。

4.3 坑2：初值不同步带来的第一拍尖峰

TD是带初值的动态系统。输入v从0开始，TD的x1(0)默认也是0，没问题。但工程场景常是：给定从当前转速2000rpm开始，TD初值却是0，第一拍误差为2000，fhan直接输出满幅加速度r，x2瞬间冲到很大的值。这个尖峰进入ESO后，总扰动估计会饱和，控制器输出撞限，实际系统表现为起动瞬间明显前冲。

解决方法是每次启动或参考值切换时，把TD的x1重置为当前输入信号，x2重置为当前速度估计。若输入本身是阶跃，则保留x1重启前的值，再让TD自然过渡。代码里就是在初始化时传x1_0=v(0)，而不是默认0。

4.4 坑3：Simulink代数环与求解器不匹配的异常自激

Simulink里若把TD用连续传递函数形式搭，再把输出反馈回去，可能连成代数环，仿真步长会自动切小，出现低频自激。更常见的是用变步长求解器跑离散TD，状态在不同步长下被重复计算，曲线像随机扰动。规范做法是：

Solver: Fixed-step Fixed-step size: 0.001

在Simulink中把TD写成MATLAB Function，状态用Unit Delay保存，按离散顺序逐拍更新。MATLAB Function核心代码如下：

function [x1_next, x2_next] = td_step(x1, x2, v, r, h0, dt) %#codegen u = fhan(x1 - v, x2, r, h0); x1_next = x1 + dt * x2; x2_next = x2 + dt * u; end function u = fhan(y, x2, r, h0) d = r * h0 * h0; y0 = y + h0 * x2; a0 = sqrt(d * (d + 8 * abs(y0))); a1 = h0 * x2 + (a0 - d) * 0.5 * sign(y0); sy = (sign(y0 + d) - sign(y0 - d)) / 2; a = (h0 * x2 + y0 - a1) * sy + a1; sa = (sign(a + d) - sign(a - d)) / 2; u = -r * (a / d - sign(a)) * sa - r * sign(a); end

MATLAB的sign(0)返回0，和Python里的处理一致。使用S-Function时，若把状态当作连续状态输出，又把输出即连回输入，也会触发代数环；正确做法是用DWork或Unit Delay保存离散状态，每个调用周期更新一次。做FPGA移植时同理，例如在安路TD系列芯片上定点化，h0用整数周期数表示，sqrt用CORDIC展开，避免浮点运算吃满DSP块。

另外，TD参数和“pid中pb ti td”里的微分时间没法换算，自抗扰里没有微分增益的概念，直接用误差做d控制，容易把TD的v2当成PID的D通道来加，结果系统抖得厉害。v2只作为参考速度前馈或状态反馈，不承担噪声抑制任务。

4.5 用三组输入验证TD是否调到可用状态

别只看阶跃曲线。有效的验证方式是同时跑三个输入：阶跃v=1验证无超调跟踪和x2峰值；斜坡v=t验证稳态误差，理想情况下x2稳态等于1；正弦v=sin(2πft)验证相移和幅值误差。上升时间可以由最速轨迹理论估算，理论值约为2/√r，实测值略大，参数扫描脚本如下：

for r in [10.0, 40.0, 160.0]: td = TrackingDifferentiator(r, h0=0.01) # 重复3.2的阶跃循环，记录上升时间、x2峰值、相位滞后 print(r, rise_time, peak, phase_deg)

不同r的趋势如下：

r增大，x2峰值同步增大，相位滞后减少。但这个趋势只在h0不变时成立，若同步加大h0，相位损失会重新变大。TD调好的标准不是“最快”，而是让整个自抗扰回路的控制量不撞限、噪声不放大、相位损失能被ESO补偿。

5. 自抗扰控制里把TD和ESO串起来的最小实现

5.1 ADRC三部件里TD的位置和连接关系

二阶自抗扰控制器回路中，TD放在给定端，ESO放在被控对象测量端，两者一起提供完整的系统状态。连接顺序：

参考输入r→TD(r)→v1,v2 对象输出y←ESO(z1,z2,z3) 控制律 u0 = kp·(v1-z1)+kd·(v2-z2) u = u0 - z3/b0

TD负责过渡过程和干净的参考速度v2；ESO估计对象内部状态z1、z2以及总扰动z3。控制律用误差和误差导数，对应PID的P和D，但积分功能由总扰动补偿完成，不直接存在于误差通道。这个结构决定了TD快慢必须与ESO带宽匹配。

5.2 一个最小完整仿真循环，用Python一条龙跑下来

ESO类先写上，用线性扩张状态观测器：

class ESO: def __init__(self, w0=50.0, b0=1.0, dt=0.001): self.w0 = w0 # 观测器带宽 self.b0 = b0 # 对象控制增益估计 self.dt = dt self.z1, self.z2, self.z3 = 0.0, 0.0, 0.0 def update(self, y, u): # 增益按带宽配置：3w0, 3w0^2, w0^3 e = self.z1 - y self.z1 += self.dt * (self.z2 - 3.0 * self.w0 * e) self.z2 += self.dt * (self.z3 - 3.0 * self.w0**2 * e + self.b0 * u) self.z3 += self.dt * (-self.w0**3 * e) return self.z1, self.z2, self.z3

ESO带宽w0越大，估计越快但噪声越高。b0是控制增益的粗略估计，误差会被z3吸收，不需要精确标定。TD与ESO带宽匹配原则：TD的跟踪带宽一般取ESO带宽的1/3到1/2。若TD太快，过渡过程形同虚设且微分噪声进来；若ESO比TD快太多，参考跟踪能力受限。

把TD、ESO、控制律、被控对象放进一个循环：

kp = wc * wc kd = 2.0 * wc wc = 20.0 # 控制器带宽 td = TrackingDifferentiator(r=50.0, h0=10.0*dt, x1_0=0.0, x2_0=0.0) eso = ESO(w0=80.0, b0=2.0, dt=dt) y = 0.0 yd = 0.0 for k in range(n): t = k * dt ref = 1.0 if t > 0.5 else 0.0 # TD生成参考状态 v1, v2 = td.step(ref, dt) # 控制器与扰动补偿 u0 = kp * (v1 - eso.z1) + kd * (v2 - eso.z2) u = u0 - eso.z3 / eso.b0 # 简单被控对象：二阶积分加未知摩擦力 ydd = 0.5 * yd + 2.0 * u yd += dt * ydd y += dt * yd # ESO根据测量y和实际输入u更新 z1, z2, z3 = eso.update(y, u)

这个循环把TD和ESO完整串起来。TD的输出v1、v2给参考通道，ESO的z1、z2给反馈通道，z3作为总扰动补偿实时抵消模型不确定性。观察y曲线，应无超调、稳态无静差。

5.3 串起来后的第1个坑：v2直接往后接的限幅问题

TD的v2在阶跃输入时会出现高度接近r的脉冲，这个脉冲若直接作为速度前馈叠加，启动瞬间控制量远大于稳态。仿真里表现为起动冲击，实际系统里可能触发过流保护。常见处理是在v2后面加一阶滤波或限幅，但更推荐限制r本身。r应小于执行器峰值加速度的80%，而不是越大越好。调参时先看x2曲线峰值，再看对象输出曲线是否过冲。自抗扰仿真有个好处：TD和ESO参数可以分开调试。先关掉ESO，令z1=y、z2取差分、z3=0，单独看TD响应；再关掉TD，检查ESO跟踪效果。分开调通再合并，定位问题会快得多。

6. 验证TD实现正确与否的干净技巧：斜坡测精度，正弦测相位

长期困扰自抗扰仿真调试的问题，是TD在跑但不知道是“真跟踪”还是“滤波后的巧合”，单看阶跃曲线不够。我用斜坡-正弦联合检验法，两次运行就能把动态响应和稳态误差分开。

第一次运行斜坡输入v=t。若TD实现正确，x1最终以斜率1跟踪输入，稳态滞后约为h0/2，x2收敛到1.0附近。检查x2最后500点的统计量：均值与1的误差大于0.01，说明r偏小或h0偏大；均值为1但方差大，说明h0偏小噪声未压住。统计代码片段如下：

import numpy as np # 假设最后一次斜坡运行已得到 x2 列表 tail tail = x2_list[-500:] err = np.mean(tail) - 1.0 print(f"err_mean={err:.4f}, x2_std={np.std(tail):.4f}")

第二次运行正弦v=sin(2πft)，记录v2与理论导数信号的相位差和幅值。命令行写法：

python td_validation.py --input ramp python td_validation.py --input sine --freq 5 --r 50

输出示例：

ramp : err_mean=0.0062, x2_std=0.0210 sine : phase_deg=-8.5, amp_ratio=0.94

快速判定不等式：相位损失超过20度或幅值比例低于0.9时，直接提高r而不是盲目增加h0；相反，相位满足但x2高频抖动明显，再单独加大h0。另外注意fhan里的符号边界，sign(0)必须返回0，不能把它改写成sign(x)/|x|，那样会把原点附近的导数全打乱。接入完整ADRC系统后，再做一次初值对齐测试：把v(0)设为100，确认第一个控制周期内控制量不出现幅值脉冲。通过这两次验证和一次对齐测试，就能确认TD实现正确、参数在可用范围，后续问题不会甩锅给跟踪微分器。

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