CuPy 信号处理模块 cupyx.scipy.signal 完全指南：卷积、滤波、滤波器设计与频谱分析的 GPU 加速 API 全景

CuPy 信号处理模块 cupyx.scipy.signal 完全指南：卷积、滤波、滤波器设计与频谱分析的 GPU 加速 API 全景

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本篇技术指南以 CuPy 仓库中cupyx.scipy.signal模块为核心，系统梳理其在 GPU 上实现的 SciPy 信号处理 API 全集，覆盖卷积与相关、B 样条、滤波、FIR/IIR 滤波器设计、LTI 系统、波形与窗函数、峰值检测、频谱分析以及 Chirp Z 变换等十四大功能类别。读完本文，你将掌握cupyx.scipy.signal各子模块的职责划分、核心函数的参数语义与底层实现原理，能够直接在 GPU 上完成从信号滤波、频谱估计到峰值定位的完整数据处理流水线，并与 SciPy 代码做到近乎无痛的迁移。

模块概览：与 scipy.signal 对齐的 GPU 实现

cupyx.scipy.signal是 CuPy 对 SciPy 信号处理模块scipy.signal的 GPU 移植，目标是与 SciPy API 保持一致的函数签名与语义，从而让既有的信号处理代码只需把import scipy.signal换成import cupyx.scipy.signal即可跑在 CUDA GPU（以及 ROCm/HIP 平台）上。官方参考文档将其与SciPy API Reference: Signal processing (scipy.signal)对齐，所有公开函数均以cupy.ndarray作为输入输出。

该模块的公开导出定义在 cupyx/scipy/signal/init.py 中，共约 180 个符号，按功能拆分到十余个实现文件中：

说明：scipy.signal中与统计、插值无关的纯数学辅助函数（如多项式根处理unique_roots、部分分式展开residue等）在 CuPy 中同样有对应实现，下文按官方文档分类逐一展开。

卷积与相关（Convolution）

本类是信号处理中最常用的运算集合，包含 9 个函数，全部实现在 _signaltools.py 中：

• convolve(in1, in2, mode='full', method='auto')：N 维离散线性卷积；
• correlate(in1, in2, mode='full', method='auto')：N 维互相关；
• fftconvolve(in1, in2, mode='full', axes=None)：基于 FFT 的卷积；
• oaconvolve(in1, in2, mode='full', axes=None)：重叠相加（overlap-add）卷积；
• convolve2d(in1, in2, mode='full', boundary='fill', fillvalue=0)/correlate2d：二维卷积/相关，支持边界条件；
• sepfir2d(input, hrow, hcol)：可分离二维 FIR 滤波（在 _bsplines.py 中）；
• choose_conv_method(in1, in2, mode='full')：自动选择最快卷积方法；
• correlation_lags(in1_len, in2_len, mode='full')：计算卷积/相关结果的滞后（lag）索引。

mode 与 method 参数的语义

mode决定输出尺寸，与 SciPy 完全一致：

• 'full'（默认）：完整离散线性卷积，输出尺寸为in1.shape + in2.shape - 1；
• 'valid'：仅输出不依赖零填充的元素，要求in1与in2在每个维度上至少一方不小于另一方；
• 'same'：输出与in1同尺寸，相对'full'输出居中。

method决定计算路径（见 convolve 源码）：

• 'direct'：直接按卷积定义求和；
• 'fft'：调用fftconvolve走频域相乘；
• 'auto'（默认）：调用choose_conv_method估算更快者。

从 _correlate 源码 可以看到实现细节：auto模式下会委托cupy._math.misc._choose_conv_method决策；走 FFT 路径时，相关运算会把in2做翻转并取共轭（_reverse(in2).conj()）再执行fftconvolve；整数结果还会round()并还原类型。值得注意：choose_conv_method目前不支持 SciPy 的measure参数，也不保证与 SciPy 返回相同的选择结果——这是迁移时唯一需要留意的行为差异。

FFT 卷积与重叠相加

fftconvolve对大数组通常远快于直接法，但只能输出浮点结果（整型/对象输入会被转换为浮点）。其核心链路在 fftconvolve 源码：先校验输入，再在指定axes（默认全部维度）上构造x1 + x2 - 1的频域尺寸，调用_freq_domain_conv完成 FFT 相乘，最后按mode裁剪。

oaconvolve在一个输入远大于另一个时通常比fftconvolve更快，其实现（源码）把长输入切块做 FFT 卷积再重叠相加；若两输入形状相同则直接退化为fftconvolve，若切块后每个维度只有一个块同样回退到fftconvolve，避免无谓开销。

实战示例

import cupy as cp import cupyx.scipy.signal as signal x = cp.arange(1000, dtype=cp.float64) h = cp.array([0.25, 0.5, 0.25]) # 自动选择最快方法（direct / fft） y_full = signal.convolve(x, h, mode='full') # 长度 1002 y_same = signal.convolve(x, h, mode='same') # 长度 1000 y_valid = signal.convolve(x, h, mode='valid') # 长度 998 # 强制 FFT 路径，可指定参与卷积的轴 y_fft = signal.fftconvolve(x, h, mode='same') # 互相关滞后坐标 lags = signal.correlation_lags(x.size, h.size, mode='same') # 二维卷积，支持 boundary='fill' | 'wrap' | 'reflect' 等边界 img = cp.random.rand(64, 64) kernel = cp.ones((3, 3)) / 9.0 blurred = signal.convolve2d(img, kernel, mode='same', boundary='wrap')

B 样条（B-Splines）

B 样条用于构造平滑插值/滤波的样条系数，包含 9 个函数，全部位于 _bsplines.py：

• gauss_spline(x, n)：高斯样条近似；
• cspline1d(signal, lamb=0.0)：1D 三次样条系数（causal）；
• qspline1d(signal, lamb=0.0)：1D 二次样条系数；
• cspline2d/qspline2d：对应的 2D 版本；
• cspline1d_eval(csj, dx, x0=0.0, x1=None)/qspline1d_eval：在给定系数上求值；
• spline_filter(Iin, lmbda=5e-2)：样条平滑滤波。

cspline1d返回的系数配合cspline1d_eval可对一维信号做三次样条插值；cspline2d/spline_filter常用于图像缩放与平滑。lamb是样条正则化参数，0 表示纯插值样条。样条系数计算在 CuPy 中仍运行在设备端，适合对大规模波形/图像做 GPU 插值预处理。

滤波（Filtering）

滤波类是模块中函数最多的类别（23 个），主要分布在 _signaltools.py、_resample.py、_savitzky_golay.py、_splines.py 与 _upfirdn.py 中。

经典 IIR/FIR 滤波：lfilter 与 sosfilt 家族

• lfilter(b, a, x, axis=-1, zi=None)：沿指定轴用 IIR/FIR 数字滤波器滤波，直接 II 型转置结构；
• lfiltic(b, a, y, x=None)：由输入/输出初值构造lfilter的初始条件zi；
• lfilter_zi(b, a)：计算阶跃响应的稳态初始状态；
• sosfilt(sos, x, axis=-1, zi=None)：以级联二阶节（SOS）形式滤波，数值稳定性更好，官方推荐多数场景优先于lfilter；
• sosfilt_zi(sos)、sosfiltfilt(sos, x, axis=-1, padtype='odd', padlen=None)：SOS 版初始条件与零相位正反向滤波；
• filtfilt(b, a, x, axis=-1, padtype='odd', padlen=None, method='pad', irlen=None)：零相位正反向滤波。

lfilter的差分方程为a[0]*y[n] = b[0]*x[n] + b[1]*x[n-1] + ... + b[M]*x[n-M] - a[1]*y[n-1] - ... - a[N]*y[n-N]，若a[0] != 1会自动归一化。CuPy 的实现（lfilter 源码）与 SciPy 的串行递推不同：它先计算 FIR 部分，再把 IIR 递推分块并行化——把输入切成m大小的块g_i，各块并行递推后用基于 (1,2,…,N) 斐波那契序列的修正因子表合并块间依赖（apply_iir与compute_correction_factors，见 _iir_utils.py）。该算法源自 Maleki & Burtscher 2018 年关于线性递推自动分层并行化的论文。

重要兼容性提示：由于并行化实现，lfilter的zi维度与 SciPy不一致，但只要zi由同一库（CuPy）产生并链式传递，最终输出结果一致。切勿把 SciPy 的zi直接传给 CuPy（反之亦然）。sosfilt同样接受 SOS 形式的zi。

import cupyx.scipy.signal as signal b, a = signal.butter(4, 0.2) # 4 阶 Butterworth 低通 x = cp.random.randn(8192) y, zf = signal.lfilter(b, a, x) # 返回输出与最终状态 y0 = signal.filtfilt(b, a, x) # 零相位滤波 sos = signal.butter(4, 0.2, output='sos') y1 = signal.sosfilt(sos, x)

非线性与统计滤波

• order_filter(a, domain, rank)：顺序统计滤波（rank 阶域内值）；
• medfilt(volume, kernel_size=None)：中值滤波；
• medfilt2d(input, kernel_size=3)：2D 中值滤波；
• wiener(im, mysize=None, noise=None)：Wiener 去噪；
• savgol_filter(x, window_length, polyorder, deriv=0, delta=1.0, axis=-1, mode='interp', cval=0.0)：Savitzky-Golay 平滑/微分；
• deconvolve(signal, divisor)：反卷积（多项式除法）；
• detrend(data, axis=-1, type='linear', bp=0, overwrite_data=False)：去除线性/常数趋势；
• symiirorder1/symiirorder2：对称边界条件的 1/2 阶 IIR 平滑（_splines.py）。

Hilbert 变换与重采样

• hilbert(x, N=None, axis=-1)：解析信号（希尔伯特变换）；
• hilbert2(x, N=None)：二维解析信号；
• decimate(x, q, n=None, ftype='iir', axis=-1, zero_phase=True)：抗混叠滤波后抽取；
• resample(x, num, t=None, axis=0, window=None)：FFT 重采样到任意长度；
• resample_poly(x, up, down, axis=0, window=('kaiser', 5.0))：多相有理数倍重采样；
• upfirdn(h, x, up=1, down=1, axis=-1)：FIR 滤波 + 上采样 + 抽取一步完成。

decimate默认使用 8 阶 Chebyshev I 型低通滤波器，ftype='fir'时使用 30 点 Hamming 窗 FIR；文档建议 IIR 抽取因子超过 13 时分多次调用decimate。resample_poly内部先用firwin设计原型 FIR 低通（截止频率取1/max(up, down)，半长度10*max_rate，见 _resample.py），并先约去up/down的最大公约数以节省计算量。

滤波器设计（Filter design）

本类 26 个函数分布在 _filter_design.py、_fir_filter_design.py 与 _iir_filter_conversions.py 中，分为几组：

频率响应计算：freqz(b, a, worN=512, whole=False, plot=None, fs=6.283185307179586)、freqz_zpk、freqz_sos、sosfreqz计算数字滤波器频率响应；freqs、freqs_zpk计算模拟滤波器频率响应；findfreqs(num, den, N)生成等间隔频点；group_delay((b, a), w, whole=False, fs=6.283185307179586)计算群延迟。

FIR 设计：firwin(numtaps, cutoff, width=None, window='hamming', pass_zero=True, scale=True, nyq=None, fs=None)基于窗函数法设计 FIR；firwin2任意幅频响应 FIR；firls(numtaps, bands, desired, weight=None, nyq=None, fs=None)最小二乘 FIR；minimum_phase(h, method='homomorphic', n_fft=None)最小相位重构；savgol_coeffs计算 Savitzky-Golay 系数。

通用 IIR 设计：iirdesign(wp, ws, gpass, gstop, analog=False, ftype='ellip', output='ba', fs=None)与iirfilter(N, Wn, rp=None, rs=None, btype='band', analog=False, ftype='butter', output='ba', fs=None)。output支持'ba'（分子分母）、'zpk'（零点/极点/增益）、'sos'（二阶节），其中'sos'是数值稳定性最优的选择。

Kaiser 辅助：kaiser_atten(numtaps, width)、kaiser_beta(a)、kaiserord(ripple, width)三件套用于按阻带衰减/过渡带宽度估算 Kaiser 窗 FIR 的阶数与 β。

变换与展开：bilinear/bilinear_zpk（双线性变换）、unique_roots、residue/residez、invres/invresz（部分分式展开与反变换）、gammatone（听觉滤波）、BadCoefficients异常类。

# 用 Kaiser 窗设计带通 FIR：50 taps taps = signal.firwin(50, [0.1, 0.2], pass_zero=False, window='kaiser', fs=1.0) w, h = signal.freqz(taps, worN=1024) # 频率响应

Matlab 风格 IIR 滤波器设计

本类 12 个函数实现经典滤波器原型设计，位于 _iir_filter_design.py：

• butter(N, Wn, btype='low', analog=False, output='ba', fs=None)：巴特沃斯最大平坦；
• cheby1(N, rp, Wn, btype='low', analog=False, output='ba', fs=None)：Chebyshev I 型（通带等波纹，rp为通带纹波 dB）；
• cheby2(N, rs, Wn, btype='low', analog=False, output='ba', fs=None)：Chebyshev II 型（阻带等波纹，rs为阻带衰减 dB）；
• ellip(N, rp, rs, Wn, btype='low', analog=False, output='ba', fs=None)：椭圆（Cauer）滤波器；
• iircomb(w0, Q, ftype='notch', fs=2.0, *, pass_zero=False)：梳状滤波器；
• iirnotch(w0, Q, fs=2.0)/iirpeak(w0, Q, fs=2.0)：陷波/峰值滤波器（二者共用 _design_notch_peak_filter 内部实现）；
• buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord：按通带/阻带指标估算最小阶数。

通用参数：Wn为截止频率（fs给定时为 Hz，否则为 0~1 归一化频率；带通/带阻传二元组），btype支持'low' | 'high' | 'band' | 'bandpass' | 'stop'，analog=True返回模拟原型，output可选'ba' | 'zpk' | 'sos'。iirfilter是这些函数的统一底层入口，butter等均为其便捷封装。

sos = signal.butter(4, [0.1, 0.3], btype='band', output='sos', fs=1.0) y = signal.sosfilt(sos, x) b, a = signal.iirnotch(0.25, Q=30, fs=1.0) # 在归一化频率 0.25 处陷波

底层滤波器设计函数（Low-level filter design）

本类 15 个函数是滤波器设计的底层构件，位于 _iir_filter_conversions.py 与 _lti_conversion.py：

• 模拟原型：buttap(N)、cheb1ap(N, rp)、cheb2ap(N, rs)、ellipap(N, rp, rs)返回各自原型的零点/极点/增益；
• 频带变换：lp2lp/lp2lp_zpk、lp2hp/lp2hp_zpk、lp2bp/lp2bp_zpk、lp2bs/lp2bs_zpk把归一化低通原型变换为低通/高通/带通/带阻；
• 辅助：abcd_normalize(A, B, C, D)（状态空间归一化）、band_stop_obj（带阻目标函数）、normalize(b, a)（分子分母归一化）。

这些函数通常由高层设计函数内部调用，但也可以直接用于自定义模拟滤波器设计流程，例如手动获取buttap(4)的零极点后自行做频带变换。

LTI 表示与表示转换

表示转换（12 个）：zpk2tf、zpk2sos、zpk2ss、tf2zpk、tf2sos、tf2ss、ss2tf、ss2zpk、sos2tf、sos2zpk完成 传递函数（tf）/零极点增益（zpk）/二阶节（sos）/状态空间（ss）四种表示之间的相互转换；cont2discrete用零阶保持等方法把连续系统离散化；place_poles极点配置。SOS 形式因数值稳定性好，是滤波与仿真的推荐表示。

LTI 系统类：lti与dlti分别是连续/离散线性时不变系统工厂，StateSpace、TransferFunction、ZerosPolesGain三种具体表示类均可被自动转换并参与仿真。相关实现集中在 _ltisys.py。

连续时间线性系统

lsim(system, U, T, X0=None, interp=True)对任意输入激励做连续时间仿真；impulse/step计算脉冲/阶跃响应；freqresp计算频率响应；bode返回幅值/相位（dB 与度）。system可以是lti实例、(b, a)元组、(num, den)或(A, B, C, D)状态空间。典型用法：

sys = signal.lti([1.0], [1.0, 0.5, 1.0]) # 二阶连续系统 t, y = signal.step(sys) # 阶跃响应 t, y = signal.impulse(sys) # 脉冲响应 w, mag, phase = signal.bode(sys) # Bode 图数据

离散时间线性系统

与连续版本一一对应：dlsim、dimpulse、dstep、dfreqresp、dbode，以及dlti工厂类与StateSpace/TransferFunction/ZerosPolesGain（离散语义）。离散系统的dt属性表示采样周期，dlti(*system, dt=1.0)显式传入即可：

dsys = signal.dlti([1.0], [1.0, -0.5], dt=0.01) n, y = signal.dstep(dsys) w, mag, phase = signal.dbode(dsys)

波形生成（Waveforms）

_waveforms.py 提供测试/仿真常用波形，_max_len_seq.py 提供伪随机序列：

• chirp(t, f0, t1, f1, method='linear', phi=0, vertex_zero=True)：扫频信号，method支持'linear' | 'quadratic' | 'logarithmic' | 'hyperbolic'；
• gausspulse(t, fc=1000, bw=0.5, bwr=-6, tpr=-60, retquad=False, retenv=False)：高斯调制正弦脉冲；
• sawtooth(t, width=1)、square(t, duty=0.5)：锯齿波/方波；
• unit_impulse(shape, idx=None, dtype=<class 'float'>)：单位冲激；
• sweep_poly(t, poly, phi=0)：多项式相位扫频；
• max_len_seq(nbits, state=None, length=None, taps=None)：最大长度序列（m 序列）。

这些函数输出cupy.ndarray，可直接送入后续滤波/频谱分析流水线。

窗函数（Window functions）

窗函数统一放在独立的cupyx.scipy.signal.windows命名空间（详见 scipy_signal_windows.rst 与 windows/_windows.py），包括barthann、bartlett、blackman、blackmanharris、bohman、boxcar、chebwin、cosine、exponential、flattop、gaussian、general_cosine、general_gaussian、general_hamming、hamming、hann、kaiser、kaiser_bessel_derived、nuttall、parzen、taylor、triang、lanczos、tukey共 24 种。

在cupyx.scipy.signal顶层则提供按名称取窗的便捷函数get_window(window, Nx, fftbins=True)：

from cupyx.scipy.signal import get_window w = get_window(('kaiser', 8.0), 512) # 带参数字典形式 w = get_window('hann', 512, fftbins=False)

fftbins=True返回适合 FFT 的周期窗，False返回对称窗；窗函数常用于频谱估计（welch等）与 FIR 设计的加窗步骤。

小波（Wavelets）

_wavelets.py 提供连续小波变换相关函数：

• morlet(M, s=1.0, w=5.0)：Morlet 小波；
• morlet2(M, s, w=5.0)：归一化 Morlet 小波（用于cwt）；
• ricker(points, a)：Ricker（墨西哥帽）小波；
• qmf(hk)：正交镜像滤波器对系数；
• cwt(data, wavelet, widths, dtype=None, **kwargs)：连续小波变换，沿宽度维做卷积。

widths = cp.arange(1, 31) cwtmatr = signal.cwt(x, signal.ricker, widths)

峰值检测（Peak finding）

_peak_finding.py 提供信号峰值定位与特征提取工具：

• find_peaks(x, height=None, threshold=None, distance=None, prominence=None, width=None, wlen=None, rel_height=0.5, plateau_size=None)：按多种约束（高度/距离/显著性/宽度）找峰；
• peak_prominences(x, peaks, wlen=None)：计算每个峰的显著性（prominence）；
• peak_widths(x, peaks, rel_height=0.5, prominence_data=None, wlen=None)：计算峰的宽度；
• argrelmin(data, order=1, axis=-1, mode='clip')/argrelmax/argrelextrema(data, comparator, axis=0, order=1, mode='clip')：基于局部比较器的相对极值定位（order为比较邻域半径）。

find_peaks是 ECG 心率检测、光谱寻峰等场景的主力工具，支持多条件组合过滤：

peaks, props = signal.find_peaks(x, height=0.5, distance=10, prominence=0.3, width=2)

频谱分析（Spectral analysis）

_spectral.py 实现功率谱估计与短时傅里叶变换家族，均以fs（采样率）、window、nperseg（分段长度）、noverlap（重叠长度）为主要参数：

• periodogram(x, fs=1.0, window='boxcar', nfft=None, detrend='constant', return_onesided=True, scaling='density', axis=-1)：经典周期图；
• welch(x, fs=1.0, window='hann', nperseg=None, noverlap=None, nfft=None, detrend='constant', return_onesided=True, scaling='density', axis=-1, average='mean')：Welch 平均周期图（分段 + 加窗 + 平均，方差更小）；
• csd：互功率谱密度；coherence(x, y, ...)：幅度平方相干；spectrogram：时频图；vectorstrength(events, period)：事件相位矢量强度；
• lombscargle(x, y, freqs, precenter=False, normalize=False)：非均匀采样 Lomb-Scargle 周期图；
• stft(x, fs=1.0, window='hann', nperseg=256, noverlap=None, nfft=None, detrend=False, return_onesided=True, boundary='zeros', padded=True, axis=-1)与istft：短时傅里叶变换与逆变换；
• check_COLA(window, nperseg, noverlap, tol=1e-10)/check_NOLA(window, nperseg, noverlap, tol=1e-10)：校验窗函数是否满足常数重叠相加（COLA）/非零重叠相加（NOLA）条件——stft与istft完美重建的前提。

f, Pxx = signal.welch(x, fs=128.0, nperseg=256) # 功率谱 f, t, Zxx = signal.stft(x, fs=128.0, nperseg=256) # 时频分析 t, xr = signal.istft(Zxx, fs=128.0) # 逆变换重建 assert signal.check_COLA('hann', 256, 128) # 校验 COLA 条件

这些函数内部依赖cupyx.scipy.fft的 GPU FFT 实现（见 _spectral.py 导入），对长信号、大批量频谱估计场景可获得显著的加速收益。

Chirp Z 变换与 Zoom FFT

_czt.py 提供 CZT 相关接口，__init__.py中以from cupyx.scipy.signal._czt import *全量导出：

• czt(x, m=None, w=None, a=None)：Chirp Z 变换，可在任意圆弧上计算 Z 变换采样点；
• czt_points(m, w=None, a=None)：生成 CZT 采样点坐标；
• zoom_fft(x, fn, m=None, fs=2, endpoint=False, axis=-1)：Zoom FFT——只在目标频段做高分辨率 DFT；
• CZT/ZoomFFT：可复用（预计算蝶形系数）的类封装，多次对不同信号做同一频段分析时可显著节省开销。

Zoom FFT 的应用场景是"先粗看全局、再对感兴趣频段细看"，例如在密集频谱中分辨相距很近的两个峰：

zoomer = signal.ZoomFFT(n=x.size, fn=[0.1, 0.2], fs=1.0, m=4096) spec = zoomer(x) # 仅计算 [0.1, 0.2] 频段的 4096 点谱

与 SciPy 的兼容性与注意事项

迁移到cupyx.scipy.signal时，除了在开头把导入改为import cupyx.scipy.signal as signal、把数据放入cupy.ndarray外，需要留意以下已确认的差异：

1. lfilter的zi维度与 SciPy 不同：CuPy 的并行 IIR 实现决定了状态向量的组织方式不同（源码注释）。务必保持zi来自同一库，不要跨库混用；
2. choose_conv_method不支持measure参数，且不保证与 SciPy 返回相同的方法选择（源码警告）；
3. 整数输入在 FFT 路径下会被转换为浮点（fftconvolve、oaconvolve），_correlate会对整数结果做round()还原；
4. convolve/correlate的auto决策基于 CuPy 预计算值，与 SciPy 的实测耗时决策可能不同，但两者结果数值一致。

测试验证与进一步探索

该模块的行为正确性由仓库内大量测试保障，测试位于 tests/cupyx_tests/scipy_tests/ 目录下，覆盖卷积、滤波、频谱、峰值检测等各类别，例如test_signaltools.py、test_spectral.py、test_peak_finding.py等；这些测试通常直接与 SciPy 的参考结果逐元素对比。如果你需要确认某个具体函数的参数细节，推荐按如下顺序阅读：

1. cupyx/scipy/signal/init.py：查看导出与模块归属；
2. 对应实现文件（上表已列出）：查看 docstring 中的完整参数说明与See Also交叉引用；
3. tests/cupyx_tests/scipy_tests/ 下的同名测试：查看可运行的调用示例与数值对比方式。

至此，从卷积、滤波、滤波器设计到 LTI 仿真、峰值检测与频谱分析的 GPU 加速信号处理全链路，你都可以直接在cupyx.scipy.signal中完成，并借助 CuPy 的cupy.ndarray生态与 FFT 后端获得设备端吞吐。

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