简介：MATLAB源码包聚焦艾里光束、贝塞尔光束、涡旋光及完美涡旋光束的生成与仿真，适合光学工程、信息光学方向的研究生或科研人员快速上手。压缩包共5个文件，含4个m脚本和1个txt说明，分别实现Airy.m、Bessel.m、perfect_vortex_beam.m等典型光束模拟，并附带运行说明，便于复现强度分布与相位结构。已有825人学习下载，是光学光束操控与光栅设计入门的实用范例。通过源码可直观对比艾里光的非衍射自愈特性、贝塞尔光束的无衍射传输，以及携带轨道角动量的涡旋光相位变化，还能基于完美涡旋光束的复合模型延伸光镊、量子通信等应用研究。
1. 艾里光、贝塞尔光与涡旋光：为什么总是成组出现
在光镊、激光微加工或者结构光照明显微镜的项目里待上一段时间，你会反复看到“艾里光”和“贝塞尔光”这两个词，后面通常还跟着“涡旋光”。把这三种光束放在一起讨论，不是因为教科书里的彩图好看，而是因为它们都做了同一件事：对常规高斯光束的波前重新塑形，让光强在传播路径上呈现可设计的形状。贝塞尔光用锥形波矢谱撑出一条长焦深主瓣，中心瓣能在一段距离内几乎不扩散；艾里光的主瓣沿抛物线轨迹自加速，即使遇到小尺度遮挡也能绕过去；涡旋光则在轴上引入一个相位奇点，携带轨道角动量。三者的工程组合还会引出“完美涡旋”：一个半径不受拓扑荷影响的环形涡旋光场。下面按这条主线走：先划清贝塞尔与艾里的物理边界，再进入涡旋光和完美涡旋的构造，最后给出能直接上手的相位掩模参数与验证流程。
2. 贝塞尔光与艾里光的物理边界：无衍射距离与锥形周期
2.1 贝塞尔光束的中心瓣如何被横向波矢锁死
自由空间中单频傍轴波动方程存在一类柱对称解，写成下面这种形式就能看出贝塞尔光与涡旋的内在联系：
E(r, z) = E₀ · J_l(k_r·r) · exp(i·k_z·z) · exp(i·l·φ)
其中 J_l 是第一类贝塞尔函数，k_r 是横向波矢，k_z 是纵向波矢，两者满足 k_r² + k_z² = k₀²，k₀ = 2π/λ。当 l = 0 时得到零阶贝塞尔光束，轴上是一个亮斑；当 l > 0 时，轴上振幅由于相位奇点变成零，等价于把 l 阶涡旋相位叠到了贝塞尔场上。所以贝塞尔光和涡旋光在解析式里就是同族解，这也是后面完美涡旋能依托贝塞尔光构造的数学起点。
贝塞尔光束中心瓣的第一个零点位于 r₀ ≈ 2.4048/k_r。k_r 越大，主瓣越细，但代价是波矢锥角越大，系统对光路对准误差越敏感。从角谱角度看，贝塞尔光束的各个平面波分量分布在同一个锥面上，锥的半角近似 sin θ ≈ k_r/k₀。每一条锥面分量的相位沿轴向不断变化，但它们在轴上始终保持同相位叠加，于是主瓣得以长时间保持不发散。真实系统中光束口径有限，能参与干涉的平面波分量有限，所以工程上用“无衍射距离”Zmax = R/tanθ 来定义有效作用段，其中 R 是入射等效半径。
2.2 艾里光的自加速属于有限能量截断的代价
艾里光的傍轴衍射方程在形式上与自由粒子薛定谔方程同构，其有限能量解常写为：
ψ(s, ξ) = Ai[s − (ξ/2)²] · exp(i·s·ξ/2 − i·ξ³/12) · exp(a·s − a·ξ²/2)
这里 s = x/x₀ 是归一化横向坐标，ξ = z/(k₀x₀²) 是归一化传播距离，a 是截断系数，x₀ 是主瓣特征宽度。指数截断项 exp(a·s) 把理想艾里函数的无限长尾巴收住，使光束携带有限能量并物理可实现。
a 的取值需要谨慎。a 越小，主瓣走出的自加速路径越长，但旁瓣相对能量越高，远场的“彗星尾巴”现象越明显；a 越大，主瓣快速衰减，近场强度分布越接近普通高斯光斑。常规实验中 a ≈ 0.05～0.2 是一个可靠区间。另一个关键参数是 x₀，主瓣的横向偏转近似为 δx ≈ z²/(4k₀²x₀³)。x₀ 大，拐弯平缓；x₀ 小，拐弯急促，同时波前容错也变差。
2.3 生成器件横向对比表
轴锥镜、SLM相位图、二元衍射元件是生成贝塞尔光的三种主流方式，选型时按功率、灵活度和系统空间来权衡。
| 生成方式 | 等效横向波矢 k_r | 适用场景 | 注意点 |
|---|---|---|---|
| 折射型轴锥镜 | k₀(n−1)α | 高功率激光加工 | 顶点加工质量直接决定中心瓣 |
| SLM锥形相位图 | 2π/Λ | 需要与涡旋、艾里复用同一系统 | 衍射效率低，需要光栅偏置 |
| 二元衍射光学元件 | 按刻蚀深度固定 | 批量制造场景 | 无法在线改锥角 |
| 环形狭缝加透镜 | 由狭缝半径和焦距决定 | 教学演示与口径受限场景 | 能量利用率明显偏低 |
2.4 两行代码核对贝塞尔与艾里剖面
写一个能直接执行的最小 Python 片段，把两种光束的横向剖面放在同一坐标系里看差异：
import numpy as np from scipy.special import j0, airy def bessel_profile(k_r, r): return np.abs(j0(k_r * r)) ** 2 def airy_profile(x, x0, a): ai, _, _, _ = airy(x / x0) return np.abs(ai * np.exp(a * x / x0)) ** 2 r = np.linspace(-0.02, 0.02, 4000) k_r = 2 * np.pi / (8e-6) # 锥形周期为 8 µm 对应的横向波矢 bessel_p = bessel_profile(k_r, r) airy_p = airy_profile(r - 0.005, 0.0015, 0.08) # 偏移 0.5 mm 便于观察 print("贝塞尔中心瓣第一零点: %.1f µm" % (2.4048 / k_r * 1e6)) print("艾里主瓣特征宽度: %.1f µm" % (0.0015 * 1e6))代码里的 k_r = 2π/Λ 来自锥形相位周期的定义，贝塞尔中心瓣半径约等于 0.38Λ，这个比例常数在工程估算里很有用。艾里剖面则对截断系数 a 相当敏感，a 取到 0.08 时主瓣和第一旁瓣之间的对比度就已经能肉眼分辨。
提示：贝塞尔光束的“中心瓣细”不等于“焦点能量高”。细主瓣意味着更短的焦深段，激光加工中如果只追求小线宽而忽略 Zmax，会在厚度较大的材料上出现上下宽度不一致。
3. 涡旋光到完美涡旋：拓扑荷如何不干扰光环半径
3.1 涡旋光束的强度允许任意，但相位必须存在奇点
光学涡旋的核心定义在于相位，而不是强度分布。一个涡旋光的波前相位为 exp(i·l·φ)，φ 是极角，l 是拓扑荷，在主轴上的相位值不可定义，形成一个相位奇点，因此光强严格为零。
这个性质带来一个容易忽略的推论：干涉测量验证的是相位，而不是光强。用相机单纯记录一个暗心，只能说明存在相位奇点，却无法知道 |l| 是多少，也无法判定符号。要识别拓扑荷，必须把待测光和一束参考平面波叠加，观察干涉图里的分叉条纹数量与方向。
3.2 常规 LG 涡旋为什么被“完美”二字舍弃
常用的拉盖尔-高斯模式本身就是涡旋光的一种标准载体。径向指数 p = 0 时，强度环半径约为 w·√(|l|/2)，w 是束腰直径。也就是说，l 从 1 变到 3，环半径要变化约 √3 倍，透镜焦点位置和光斑尺寸也随之漂移。这个性质在光镊系统里很麻烦：当你想换一种拓扑荷来调整微粒旋转速度时，光学对准和陷阱刚度都得跟着重调。
完美涡旋就是要打破这种耦合。理想情况下，完美涡旋的场强分布写成：
E(ρ, φ) ∝ δ(ρ − ρ₀) · exp(i·l·φ)
也就是一个半径固定为 ρ₀ 的亮环，其半径由光路参数决定，与拓扑荷 l 无关。改变 l 时，环的直径和宽度不变，只有相位旋转方向与角向分布变化。这种“尺寸与相位解耦”的特性让它特别适合做可编程光镊和环形激光加工。
3.3 贝塞尔光做载体的傅里叶变换构造法
实验室里构造完美涡旋最常见的方案是：先产生一个高阶贝塞尔光束，再将其送入傅里叶变换透镜。设贝塞尔场的横向波矢为 k_r，叠加的涡旋相位为 exp(i·l·φ)，贝塞尔场经透镜聚焦后，在焦面上形成一个半径约为
ρ₀ ≈ k_r·f/k₀ = f·λ/Λ
的亮环。因为 ρ₀ 只与锥形周期 Λ、透镜焦距 f、波长 λ 相关，与 l 无关，所以这个方案天然满足“完美”的定义。
用 SLM 实现时，相位模板直接由锥形相位和螺旋相位相加而成，不需要额外的贝塞尔光束整形光路。需要注意的是，输入到透镜的高斯束腰必须明显大于锥形相位对应的环带尺寸，否则焦面上的环半径会被束腰宽度“拉偏”。这也是第 4 章代码要生成带孔径裁切的相位掩模的原因。
3.4 环半径灵敏度表与一段最小验证代码
环半径表达式在实际调参时非常直观，直接展示灵敏度关系：
| 参数 | 参数变为 2 倍 | ρ₀ 变化 |
|---|---|---|
| 锥周期 Λ | 增大 | 环半径减半 |
| 透镜焦距 f | 增大 | 环半径加倍 |
| 波长 λ | 增大 | 环半径线性增大 |
| 拓扑荷 l | 任意整数 | 环半径基本不变 |
下面这段代码可以快速验证环半径与锥周期的定量关系：
import numpy as np def ring_radius(focal_length, wavelength, cone_period_px, pixel_size): cone_period_m = cone_period_px * pixel_size return focal_length * wavelength / cone_period_m f, lam, px = 0.15, 532e-9, 8e-6 for T_pix in (12, 20, 40): rho = ring_radius(f, lam, T_pix, px) print(f"锥周期={T_pix} px，完美涡旋环半径={rho*1e6:.1f} µm")计算结果会显示锥周期从 12 px 变到 40 px，环半径按比例缩小到不到三分之一。这个性质可以用来快速匹配不同直径的微粒或加工目标，而不需要来回更换透镜。
提示：如果把锥周期写进代码，记得区分像素周期与物理周期。SLM 像素尺寸一般为 8 µm 或 4 µm，直接拿像素数代入公式会造成约一个数量级的误差。
4. 出光前的相位掩模：贝塞尔光束、涡旋光与完美涡旋的系统参数
4.1 用 Python 生成包含锥相位、涡旋与光栅的复合掩模
SLM 相位掩模需要叠加三个部分：锥形相位提供横向波矢，螺旋相位提供拓扑荷，一维光栅把目标衍射级与零级分离。直接生成一张 8 位灰度图的代码如下：
import numpy as np import cv2 def generate_slm_phase(width=1920, height=1080, pixel_size=8e-6, cone_period_px=24, l=3, grating_period_px=12, aperture_radius_px=900): x = (np.arange(width) - width / 2) * pixel_size y = (np.arange(height) - height / 2) * pixel_size X, Y = np.meshgrid(x, y) R = np.sqrt(X**2 + Y**2) phi = np.arctan2(Y, X) # 相位1：锥形相位，k_r = 2π / (cone_period_px*pixel_size) cone_phase = -2 * np.pi * R / (cone_period_px * pixel_size) # 相位2：涡旋相位，l 为正时对应逆时针旋转 vortex_phase = l * phi # 相位3：一维光栅，使相位信息进入 +1 级衍射 grating_phase = 2 * np.pi * X / (grating_period_px * pixel_size) phase = cone_phase + vortex_phase + grating_phase phase[R > aperture_radius_px * pixel_size] = 0 # 圆孔裁切 wrapped = np.mod(phase, 2 * np.pi) gray = (wrapped / (2 * np.pi) * 255).astype(np.uint8) cv2.imwrite("slm_phase_bessel_vortex_l3.bmp", gray) return gray代码中锥相位使用负号，目的是让锥面波矢指向光轴方向，与贝塞尔光束的会聚解对应。光栅周期设定为 12 px，在这个值下衍射级分离角度足够，也不会因为像素采样太少而产生明显的高级次混叠。圆孔裁切半径保护了 SLM 有效区域之外的像素，避免边缘相位跳变带来额外散射。
4.2 五个影响出光结果的关键参数
| 参数 | 调小 | 调大 | 最容易踩的认知误区 |
|---|---|---|---|
| 锥周期 cone_period_px | 中心瓣更细，Zmax 更短 | 中心瓣变宽，无衍射距离更长 | 把中心瓣细当作“更聚焦”，忽略焦深缩短 |
| 拓扑荷 l | 干涉叉少 | 干涉叉数线性增加 | 误以为 l 改变环半径 |
| 光栅周期 | 衍射级分离好 | 与零级重叠严重 | 调太小后 SLM 像素对光波采样失效 |
| 圆孔半径 | 无衍射距离变短 | 边缘像素串扰增加 | 超过有效口径后相位图边缘失真 |
| SLM 功率密度 | 输出信号弱 | 相位调制更清晰 | 触发液晶材料的热漂移或损伤阈值 |
4.3 干涉验证与三个出光异常
用马赫-曾德尔干涉仪验证涡旋相位是标准做法，让携带有涡旋相位的光束与扩束后的参考光叠加，相机上出现的叉形条纹数量等于 |l|。若需要验证完美涡旋，把拓扑荷设置成不同值分别拍照，重点比较环半径是否漂移。
第一个常见异常是“干涉条纹清晰但没有叉”。此时锥形相位或光栅相位工作正常，但螺旋相位没有被有效加载，检查 SLM 标定表和灰度范围是否正确，并把 l 单独编码试一次。
第二个异常是“光斑出现花瓣状结构”。这通常是光栅周期选得太小，SLM 离散像素对相位高频区域采样不足。把光栅周期提高到 8～12 px 以上，同时确认圆孔裁切没有切到主要衍射级。
第三个异常是“亮环半径随 l 漂移”。问题不在相位掩模，而在光路输入的束腰太窄。贝塞尔场的横向分量在进入透镜前没有充分展开，导致焦面亮环由束腰尺寸控制而非由锥周期控制。扩大入射光束口径并重新校准透镜位置即可恢复。
5. 光束选型进阶：光镊、环形加工与验证技巧
5.1 光镊选择由焦深、轨迹和旋转需求决定
光镊方案里，贝塞尔光的长焦深能让被捕获的微粒在轴向一段距离内保持稳定，适合做纵向运输；艾里光的主瓣沿弯曲路径推进，能把微粒绕过障碍送到指定位置；涡旋光则让微粒获得绕光环旋转的横向速度，转速由拓扑荷和光功率共同控制。如果需要同时实现旋转和大范围轴向捕获，直接在相位掩模里把锥形相位与螺旋相位叠加，用本章 4.1 的代码生成复合掩模，是最省事的路子。
5.2 完美涡旋在环形激光加工中的优势
做环形槽或盲孔加工时，高斯光束通常要配合扫描振镜画圆，圆的加工质量受扫描轨迹和拼接精度限制。完美涡旋光在焦面上直接输出一个静态亮环，能量在环带内均匀分布，旋转对称性不受扫描机构影响。参数选取时先按环面积计算平均能量密度，再根据材料阈值确定脉冲能量；后续改拓扑荷只改变螺旋相位方向，不会移动环半径，因此焦点位置和目标尺寸都保持稳定。
5.3 判定旋向与环半径基线
螺旋相位旋向可以用倾斜参考波的干涉法判断：将参考臂稍微倾斜，干涉条纹中的叉尖方向与光栅波矢量方向一致时对应正拓扑荷，反向则为负。对于完美涡旋，最后还要做一次系统性验证：把 l 从 -5 调到 5，记录每一档的环半径和环带宽度，观察半径离散差是否只在半个像素量级以内。记录这组数据作为系统基线，后续设备迁移或更换 SLM 后复测，能快速定位相位标定、透镜位置或束腰变化哪一环出了问题。
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