时域与频域波束形成：原理、实现与工程实践

在语音通信、雷达回波、水声探测这些场景里，我们经常要面对同一个问题：目标信号就藏在某个方向，周围却满是干扰和噪声。拿单个麦克风或单根天线去接收，目标可能完全被底噪淹没；但如果换成一排麦克风或者一组天线，把每个通道的信号按时间对齐后再加起来，目标方向上的信号会越加越强，其他方向的干扰却因为相位对不齐而相互抵消。这就是常规波束形成的基本思路，也是我接触阵列信号处理时觉得最朴素又实用的一招。时域波束形成和频域波束形成，正是这套思路的两种主流实现形态。这篇文章我把两者的原理、实现、算例和工程坑一次说透，适合刚接触阵列信号处理的同学，也适合已经写了代码但想回头补理论的人。

1. 一个传感器搞不定的事，一排传感器就能搞定：波束形成在解决什么问题

1.1 从到达时间差说起

波束形成的物理基础其实特别简单，就是声波或电磁波从一个方向传到不同位置的传感器时，存在一个稳定的到达时间差。想象一下你在一个空旷的房间里拍手，站在不同位置的两个麦克风收到同一个拍手声，声音到达两个麦克风的时刻会有微小的差别，这个差别由声源方向和麦克风之间的距离共同决定。

假设有一个由M个传感器组成的均匀线阵，阵元间距为d，一个远场平面波以角度θ入射（θ定义为与阵列法线的夹角）。那么相邻两个阵元之间的传播时延是：

τ = d·sinθ / c

其中c是介质中的传播速度，空气中声速约为343 m/s，电磁波则为光速。这个公式是整个波束成形的基石。时域波束形成的全部操作，本质上就是把每个阵元接收到的信号按照这个时延差值进行补偿，让目标方向来的信号在时间轴上对齐。

对齐之后再做加权求和，带来的效果是：目标方向的信号同相叠加，幅度近似变成单通道信号的M倍，功率提升M²倍；而其他方向的信号因为到达各阵元的时间差和目标方向不同，补偿后并没有真正对齐，叠加时会发生相位干涉，大部分被抵消。这就是波束形成能形成空间指向性的根本原因。

1.2 远场与近场：什么时候能按平面波算

上面用到了"远场平面波"这个假设。实际工程里，这取决于声源到阵列的距离r、阵列孔径D和信号波长λ之间的关系。工程上常用的远场判据是：

r > 2D² / λ

满足这个条件时，波前可以近似看成平面波，到达角θ就可以唯一描述信号来向，不需要关心距离。否则就必须用球面波模型，每个阵元到声源的距离需要单独计算，波束形成还要考虑距离维的聚焦，那就变成近场聚焦波束形成或者声成像的问题了。

举个例子，一个8阵元、阵元间距5cm的线性阵列，孔径D约0.35m。如果关心4kHz以下的声音，对应波长λ约0.086m，那么远场距离是2×0.35²/0.086，大约2.85m。所以声源在3米开外，才可以放心用平面波模型；如果只有1米远，按远场算时延误差会带来明显的指向性偏差。很多初做麦克风阵列的人在这个问题上栽过跟头，拿着远场公式处理近场语音信号，结果波束指向完全不对。

1.3 "常规"二字到底指什么

常规波束形成（Conventional Beamforming）在学术文献里有时也叫Bartlett波束形成，它对应的是另一大类自适应波束形成方法，比如MVDR（最小方差无失真响应）和LCMV。两者的核心区别在于：常规波束形成的权重完全由阵列几何和目标方向决定，不依赖信号和噪声的统计特性，计算简单、稳健性高；自适应波束形成则会根据接收数据的协方差矩阵实时调整权重，在约束目标方向增益为1的同时最小化输出功率，理论上能自动在干扰方向形成零陷，效果更好，但依赖协方差矩阵估计的准确性，指向误差、阵列幅相误差都会让性能急剧退化。

所以常规波束形成虽然在复杂干扰环境下不一定最优，但它是理解整个阵列信号处理的起点，也是很多自适应算法的初始解和稳健备份。时域和频域只是实现这种空间滤波的两种形式，下面分别展开。

2. 时域波束形成：延迟对齐、加权、求和，一气呵成

2.1 算法骨架与核心公式

时域波束形成的输出式可以写成：

y(t) = Σₘ wₘ · xₘ(t - τₘ(θ))

其中m从0到M-1，xₘ(t)是第m个阵元的时域信号，τₘ(θ)是第m个阵元相对参考阵元在目标方向θ下需要补偿的时延，wₘ是对第m个通道的幅度加权。整个流程就三步：根据目标方向算出每个阵元需要的延迟，把每个通道信号平移对应的延迟量，再按权重累加。

当所有阵元的权重取相等值wₘ=1/M时，这就是经典的延时求和（Delay-and-Sum）波束形成器，也是实现最简单、鲁棒性最好的一种。它不依赖任何信号统计信息，只要阵列几何标定准确，指向就基本准确。

时延补偿后的信号在对齐方向上的频率响应是平坦的，幅度增益为1（归一化后），而对非对齐方向的信号来说，等效于做了一次空间滤波，不同频率的衰减程度不同。

2.2 分数时延躲不开：算一个实例

时域实现的第一个麻烦就是：计算出来的时延很多情况下不是采样周期的整数倍，而是落在两个采样点之间。

举一个具体数字。设阵元间距d=5cm，采样率fs=8kHz，目标方向θ=30°，声速c=343m/s。相邻阵元的实际时延是：

τ = 0.05 × sin30° / 343 = 0.05 × 0.5 / 343 ≈ 72.9μs

而采样周期Ts = 1/8000 = 125μs。也就是说，这个时延只相当于0.583个采样间隔。第3个阵元相对第1个阵元的时延是145.8μs，对应1.166个采样间隔。你没法直接通过移动整数的离散索引来精确对齐信号，必须要做分数时延处理。

工程上常见的分数时延实现有三种：

• 线性插值：实现最简单，但高频段幅度和相位误差偏大；
• sinc插值：理论上最准确，用一个加窗的sinc核做卷积，截断长度决定精度；
• Farrow结构滤波器：利用多项式近似时延，适合实时系统，系数固定后计算量可控。

我自己做离线仿真时倾向用sinc插值，因为numpy里一行就能完成，精度好；做实时嵌入式实现时，则使用Farrow结构的亚采样延迟滤波器，因为它的计算量不随延迟小数部分变化。

2.3 权重系数不是随便给：窗函数在空间域的作用

时延对齐完成之后，对每个阵元的幅度权重wₘ做调整，直接影响波束图的旁瓣水平。均匀权重（矩形窗）对应的波束图主瓣最窄，方向分辨力最高，但第一旁瓣只比主瓣低约13.3dB；如果希望抑制旁瓣，可以给各阵元加上汉明窗或切比雪夫窗系数，旁瓣能压到-40dB以下，代价是主瓣变宽，空间分辨力下降。

这个权衡和时域FIR滤波器的窗函数设计几乎一模一样。经典MDR（Minimum Dispersion Resolution）里讨论的空间分辨率与被测距离分辨率、旁瓣抑制三者的制约关系，在阵列设计时同样存在。实际项目里，如果环境干扰主要来自正侧面，我会优先考虑切比雪夫窗，因为可以指定目标旁瓣电平；如果只是做通用处理，汉明窗的性价比最高。

2.4 时域方案怎么落地

最简单的时域波束形成器在代码里只需要几十行。下面是用Python写的delay-and-sum核心部分，考虑了分数时延：

import numpy as np def delay_and_sum(x, theta_deg, d, fs, c=343.0): """ x: (num_channels, num_samples) 输入信号矩阵 theta_deg: 目标方向角度(度), 0度对应阵列法线方向 d: 阵元间距(米) fs: 采样率(Hz) """ M, N = x.shape y = np.zeros(N, dtype=np.float32) theta = np.deg2rad(theta_deg) for m in range(M): # 第m个阵元相对0号阵元的时延 tau_m = m * d * np.sin(theta) / c delay_samples = tau_m * fs # 整数部分直接平移, 小数部分用sinc插值 int_delay = int(round(delay_samples)) frac_delay = delay_samples - int_delay # 简易分数时延: 线性插值(演示用, 实际建议sinc/Farrow) x_shifted = np.zeros(N) if int_delay < N: x_shifted[int_delay:] = x[m, :N - int_delay] if frac_delay > 1e-6: x_shifted = (1 - frac_delay) * x_shifted + \ frac_delay * np.concatenate(([0.0], x_shifted[:-1])) y += x_shifted return y / M

实际工程中，为了降低计算量，通常会用一段固定长度的FIR滤波器和输入信号做卷积来实现分数时延，同时还能把幅度修正一并做进去。每个阵元先用一个延时器粗对齐到最近的整数采样点，再用一个短FIR做小数延迟，整体就成了一个多通道的前端滤波网络。

2.5 时域的天花板在哪儿

时域延时求和的优点是：处理延迟极低，每输入一个采样点就能输出一个结果，适合实时性要求极高的场景，比如助听器、实时对讲设备。但它有两个明显的局限。

第一，权重是宽带统一的，所有频率共用同一组幅度加权和同一个时延补偿。如果目标方向上有色噪声，或者某个频段有强烈的窄带干扰，时域方法没法针对特定频率做处理。

第二，时域波束图的旁瓣水平在宽带范围内不一致。由于波束宽度与频率成反比，低频段波束很宽，指向性弱；高频段波束窄，旁瓣却很乱。如果想在每个频点都独立控制响应，就需要给每个阵元接一个FIR滤波器组，这就是滤波求和结构（Filter-and-Sum Beamformer）。这种结构虽然灵活，但滤波器长度一长，计算量和设计复杂度都会明显上来。这也是很多人转向频域实现的原因。

3. 频域波束形成：相位旋转替代物理延迟

3.1 频域处理的基本框架

频域波束形成的基本思路是：先把时域信号分帧、加窗、做FFT转换到频域，在频域里对每个频点分别进行复加权，再通过IFFT和重叠加法把时域信号恢复出来。整个过程相当于在每个频点上做一次窄带波束形成。

为什么可以这么做？因为时域里的一个时延τ，在频域恰好对应一个相位旋转e^(-jωτ)。所以"把第m个阵元的信号延时τₘ再求和"这个操作，可以直接写成"在第m个通道的频域表示上乘一个复数相位因子，再求和"：

Y(f) = Σₘ wₘ·Xₘ(f)·e^(-j2πfτₘ)

这里的wₘ可以随频率变化，这就解决了时域方法无法分频处理的问题。频域实现本质上是一个宽带子带处理方法，每个频点都对应一个独立的窄带波束形成器。

3.2 阵列流形向量与频域权重

在频域波束形成里，有个非常重要的概念叫阵列流形向量（Steering Vector），也叫导向矢量。对于均匀线阵，在频率f、方向θ下的导向向量定义为：

a(θ, f) = [1, e^(-j2πf·d·sinθ/c), e^(-j2πf·2d·sinθ/c), ..., e^(-j2πf·(M-1)·d·sinθ/c)]ᵀ

向量里的第m个元素，就是从参考阵元到第m个阵元在θ方向上的频域相移。有了这个向量，常规频域波束形成的输出就可以写成：

Y(f) = wᴴ(f)·X(f)

其中w(f) = a(θ, f)时，就是标准的延时求和；如果w(f)乘上一个与频率相关的窗函数系数，就实现了分频点的旁瓣控制。

用Python表达这个流程非常紧凑：

def freq_beamform_frame(X_frame, theta_deg, d, fs, c=343.0): """ X_frame: (num_channels, fft_bins) 某一帧的复数频谱 返回: (fft_bins,) 频域波束形成输出 """ freqs = np.fft.rfftfreq(X_frame.shape[1] * 2 - 2, 1 / fs) theta = np.deg2rad(theta_deg) M = X_frame.shape[0] Y = np.zeros(len(freqs), dtype=np.complex64) for k, f in enumerate(freqs): # 构建频点k处的导向向量 a = np.exp(-1j * 2 * np.pi * f * d * np.arange(M) * np.sin(theta) / c) Y[k] = a.conj() @ X_frame[:, k] return Y

注意这里对每个频点都重新算了一遍导向向量，更高效的做法是先预计算好所有频点的导向向量矩阵，之后只需要做复数矩阵乘法。

3.3 分帧、加窗与重叠加法

频域实现绕不开分帧处理。实际信号是连续流，必须切成一帧一帧来做FFT，处理完再拼回去。这里有两个工程要点。

第一，加窗。直接对时域信号截断会造成频谱泄漏，通常要乘上汉宁窗或汉明窗。但加窗会破坏波形幅度，所以恢复时需要用重叠加法（Overlap-Add）或重叠保留法（Overlap-Save）。为了保证信号能够完美重构，窗函数必须满足COLA（Constant Overlap-Add）条件，常见组合是50%重叠加汉宁窗。

第二，帧长选择。帧长影响频率分辨率和算法延迟，两者矛盾。帧长N对应的频率分辨率是fs/N，对应的算法延迟大约是N个采样点。如果在16kHz采样下用512点帧，频率分辨率31.25Hz，算法延迟32ms。对语音来说32ms尚可接受，但助听器这类设备要求端到端延迟低于10ms，512点帧就直接不合格了。

COLA条件这个坑，我第一次实现时就踩过：用了50%重叠和汉宁窗，按理说满足条件，但我在频域里修改了各个频点的幅度后再做重叠加法，因为没有用分析窗的平方根修正，结果恢复出来的信号包络周期性起伏，听起来像有"喘息声"。后来才意识到，加了窗再做频域处理，反变换回来之前要考虑窗口能量归一化，否则幅度会偏。

3.4 频域方案赢在哪里，又输在哪里

频域方案的最大优势是灵活性。因为每个频点独立加权，你可以对低频和高频施加不同的约束，也可以在频域里直接对接MVDR、GSC、后置维纳滤波等更高级的处理模块。大部分麦克风阵列语音增强算法都默认在频域实现，原因就在于这种天然的模块化结构。

它的劣势也有三个：第一是延迟，分帧处理必然引入至少一个帧长的时间缓冲，对低延迟实时系统不友好；第二是计算量，虽然用FFT整体效率高，但如果输入输出需要逐样本流式处理，分帧、加窗、重叠保留这些逻辑会让系统结构变复杂；第三是频域处理后如果做了非线性操作或幅度修改，会导致时间波形在帧边界不连续，产生所谓音乐噪声，衍生出一系列抑制后处理。

4. 时域和频域怎么选：计算量、延迟和扩展性三维对比

4.1 三组关键数字对比

把两种实现放到同一张表里看，取舍就会清晰很多。假设阵元数M、时域FIR长度L、FFT帧长N。

时域延时求和的计算量随阵元数线性增长，频域因为有FFT，在阵元数较多时计算效率优势明显。比如M=8、L=64时，时域滤波求和每个采样点需要512次乘加；频域采用256点FFT并做50%重叠时，每采样点大约需要8×(256×8 + 256 + 256)/128次运算量量级，也差不多上百次乘加，但后续如果要做频域后处理，这个优势就被摊薄了。

4.2 不同应用场景的选型建议

根据我自己的项目经验，选型可以按下面几条来：

• 助听器、实时监听设备：选时域。端到端延迟要求通常低于10ms，频域一帧就超了，根本没法用；
• 离线语音识别前端：选频域。延迟不是关键，频域方便接噪声抑制和去混响模块，处理质量更高；
• 雷达和声纳系统：多数选频域或者子带处理，因为要同时处理很大的带宽，而且数据本来就是分块处理的；
• 硬件资源非常有限的单片机系统：先做时域延时求和，简单可靠，一根筋不弯；
• 需要自适应抗干扰的复杂场景：直接用频域框架，因为MVDR、LCMV这些方法都是基于协方差矩阵的，协方差矩阵在频域里逐频点估计非常自然。

4.3 混合与扩展思路

实际系统未必二选一。我见过不少工程实现是混合结构：先做时域的粗对齐和波束形成，得到一路增强信号；再做频域后置处理，做噪声估计和频谱修正。这种方式兼顾了低延迟和灵活性。

另一种常见的扩展是子带波束形成。把信号用分析滤波器组切成多个子带，每个子带内部仍然用频域或者窄带波束形成，子带之间可以独立调整。它的好处是每个子带的采样率降低，后续处理计算量下降，同时在每个子带内可以自由控制时延精度。Downsampling之后处理的延迟也能控制在几十个采样点内，是比较均衡的方案。

5. 工程落地中的坑：从仿真到实机，我踩过的那些细节

5.1 阵元间距选择与空间混叠

波束形成有个和数字信号处理里的采样定理非常相似的概念：空间采样定理。阵元间距过大，会导致不同方向的空间频率混淆，出现栅瓣（Grating Lobe）。约束条件是：

d ≤ λ_min / 2

其中λ_min是工作频段最高频率对应的波长。如果设计目标是在8kHz采样下处理4kHz以下音频，λ_min = 343 / 4000 = 0.08575m，阵元间距d就不能超过4.29cm，取3.5~4cm比较合理；如果关心到8kHz，λ_min变成4.3cm，d必须控制在2.1cm以内。

我第一次做16kHz采样的麦克风阵列时，没有仔细算这个，直接用了5cm间距，结果高频方向图出现明显的栅瓣，6kHz以上的信号从侧面来时会形成错误的指向，波束完全失真。后来换成4cm间距才解决了问题。阵元间距小会降低低频指向性，但至少不会出现致命的空间混叠。

5.2 分数时延实现的精度问题

分数时延滤波器看似不起眼，实际对波束形成质量影响很大。如果只用线性插值，在信号频率接近奈奎斯特频率时，会产生明显的幅度纹波和相位失真。这些误差叠加在波束形成输出上，会让目标方向的频响不再平坦，尤其是宽带语音信号听起来发闷。

用sinc插值时，截断长度直接影响精度。理论上sinc插值需要无限长，实际用64个抽头就足够把带内误差压到很低。嵌入式系统上用Farrow结构更合适，比如3阶或5阶多项式近似，采样率16kHz下精度已经足够。关键是不要图省事直接用最近邻或线性插值，否则后期排查问题时会很痛苦。

5.3 频域边界效应与周期性噪声

频域波束形成最常见的两个问题都出在分帧环节。

一个是不满足COLA条件造成的重构失真。如果把帧移设为40%或者60%，汉宁窗不再满足重叠加法无损重构条件，恢复出来的时域信号会出现周期性起伏。解决方法是严格使用50%重叠加汉宁窗，或者按窗口平方和归一化每个输出点。

另一个是频域加权后没有对窗口做补偿。因为输入信号加过窗，频域幅度已经偏离真实值，输出再逆变换回来后要注意除以窗口的均值增益。我实际测试过，忘记这一步会让输出电平偏低约4~6dB，虽然不影响信噪比，但会影响后续自动增益控制和音量归一化。

5.4 指向误差和阵列校准问题

常规波束形成对目标方向的指向精度有一定容差，但是这个容差随阵元数和频率变化。阵元越多、孔径越大、频率越高，主瓣越窄，指向误差导致的增益损失越明显。

假设目标方向标定误差为2°，一个8阵元、孔径28cm的阵列在4kHz时的3dB主瓣宽度大约十几度，2°误差影响还小；但如果是32个阵元的大孔径阵列，主瓣只有几度宽，2°误差能让目标信号衰减好几个dB。

我建议实际系统里一定要做阵列校准。先用标准声源从已知方向发声，实测各通道的幅度和相位响应，将测量结果补偿到权重里。方法很简单，采集一段远场正弦扫频信号，对每个阵元做FFT得到实际幅相响应，然后用这些实测值除以理论导向向量，得到修正系数。用校准后的系数再算波束权重，效果立竿见影。

5.5 一套验证流程建议

最后给一套我日常调试的验证流程，基本能覆盖从算法正确性到工程实现的常见问题。

第一步，仿真波段验证指向性。用程序生成一个远场平面波信号，构造几个不同方向的窄带源，用理想参数跑一遍时域和频域波束形成，观察输出信号幅度是否和理论一致。这一步如果都过不了，说明基础公式或代码逻辑有问题，不要急着上硬件。

第二步，噪声场仿真测增益。使用扩散噪声场模型（比如球形各向同性噪声）叠加目标信号，分别用两种实现处理，统计输出信噪比提升量。扩散场下延时求和的期望增益约等于√M，如果你的实测结果明显低于这个值，大概率是分数时延或指向角度算错了。

第三步，实测信号验证。用真实阵列录制目标声源和干扰声源，从不同角度测试，重点检查高频段是否有栅瓣、频域处理后是否有帧边界噪声、延迟是否符合预期。一旦发现异常，优先检查5.1到5.4那几个环节。

把这套流程跑通之后，你对时域波束形成和频域波束形成的理解就不再停留在概念层面了。就我个人经验来说，最好先亲手写一遍时域延时求和，把阵列几何和分数时延调通，再转到频域实现，建立"延时等于相位旋转"这个直觉。做射频、声学还是水声系统不过是参数不同，底层的思路完全一致。即使以后要上MVDR、GSC这些自适应方法，常规波束形成这套基本功也能保证你面对工程问题时心里有底。