基于Matlab的凸轮设计与仿真：绘制多款凸轮轮廓曲线

做机械设计、参加工训赛或者搞自动化产线的人，应该都有过被凸轮支配的恐惧。基圆半径、压力角、滚子半径、偏距，再加上推程、回程、远休止、近休止，手工画轮廓又慢又容易错，改一个参数就得全部重来。我最近把整套流程搬到 Matlab 里，从运动规律计算、多款常见凸轮廓线绘制，到压力角和曲率校核，全部参数化写成了脚本。这篇就以“基于 Matlab 的凸轮设计与仿真：绘制多款凸轮轮廓曲线”为题，把从机械原理课本到可跑通代码的过程完整拆一遍，适合正在做课程设计、准备竞赛，或者需要在项目里快速出凸轮方案的朋友参考。

先说结论：如果你只是临时画一个凸轮，用 CAD 敲点也行；但如果你要反复调参数、对比多种从动件形式、验证轮廓是否可用，那 Matlab 脚本能帮你把一晚上的手工作业压缩到几分钟。下面我按自己的设计流程来写，从运动规律到四种凸轮轮廓，再到仿真检查，一步步来。

1. 整体设计思路：为什么凸轮设计可以完全参数化

1.1 凸轮的本质：一个“运动规律发生器”

凸轮机构说白了就是一个把旋转运动变成预期往复运动的转换器。凸轮每转一圈，从动件按你设定的规律完成“上升—停止—下降—停止”的动作。真正决定凸轮长什么样的，不是凸轮本身，而是从动件的位移曲线 S(δ)，也就是从动件位移随凸轮转角的变化关系。

这条位移曲线选什么形式，直接决定了机构的动力学表现。比如低速轻载场合用等速运动规律就行，因为加工简单、计算方便；但速度一高，等速规律在行程起点和终点会有无穷大的加速度突变，也就是刚性冲击，实际机构会出现明显振动和噪声。所以我做设计时永远先定运动规律，再谈轮廓曲线，这个顺序不能反。Matlab 的好处是，只要把运动规律写成函数，凸轮轮廓就跟着变，想换规律只改一个参数。

1.2 反转法：把动态问题变成静态绘图问题

凸轮转动时，从动件一边上升一边和凸轮保持接触，直接分析接触点轨迹很麻烦。机械原理课本里的反转法解决的就是这件事：给整个机构加一个与凸轮角速度大小相等、方向相反的角速度，凸轮就“静止”了，从动件连同它的导路则绕着凸轮回转中心反向转动。这样从动件尖端的运动轨迹，就是凸轮的理论轮廓曲线。

这个方法听起来抽象，但写代码时特别香，因为它把动态接触问题转化成了纯几何坐标计算。我们在 Matlab 里只需要让凸轮转角 δ 从 0 扫到 2π，每步都算出从动件尖端在反转后的坐标，连成线就是轮廓。后面所有凸轮轮廓公式，本质都是反转法的解析表达，没有例外。

1.3 脚本化设计的目标：输参数，出图纸

既然核心就是“运动规律 + 反转法”，那整个设计流程完全可以封装成参数化脚本。我的基本思路是：

• 用一组变量定义几何参数：基圆半径、滚子半径、偏距、从动件行程、各运动角；
• 用分段函数计算任意转角下的位移、类速度 ds/dδ；
• 按不同的从动件形式套用对应的轮廓坐标公式；
• 绘制轮廓、基圆、偏距圆，并叠加压力角、曲率半径校核；
• 最后加一个简单动画验证运动过程没有干涉。

这样一套脚本放在那儿，换个参数重新跑一遍，所有图自动更新。我实际用下来，最大的感受是：手工画图时不敢轻易改基圆半径，因为改一次就得重画一遍；脚本化之后基圆半径从一个变量改起，轮廓、压力角、曲率半径联动变化，敢大胆寻优了。

2. 核心数学基础：运动规律和轮廓坐标方程

2.1 四类常用运动规律及选型

从动件运动规律我常用四类：等速、等加速等减速、余弦加速度（简谐运动）、正弦加速度（摆线运动）。它们各自的位移公式差别很大，速度和加速度特性也不同。

实际项目中，如果没有特殊要求，我一般优先选正弦加速度，因为它加速度曲线没有突变，高速运行时振动最小，只是最大加速度偏大，对凸轮和从动件之间的接触应力要求高一些。低速场合用等速规律也完全可以，但要注意推程回程拼接处必须用圆弧过渡，否则轮廓会出现明显尖角。

2.2 盘形凸轮廓线的三套基本公式

有了位移 S(δ) 和类速度 dS/dδ，轮廓坐标就有了统一框架。以凸轮逆时针转动、从动件导路竖直布置为例，常用坐标公式如下。

对心直动尖底从动件，理论轮廓就是尖底轨迹：

x = (r0 + S)·cosδ y = (r0 + S)·sinδ

对心直动滚子从动件，理论轮廓同上，但实际轮廓是理论轮廓的等距线：

dx/dδ = -(r0+S)·sinδ + (dS/dδ)·cosδ dy/dδ = (r0+S)·cosδ + (dS/dδ)·sinδ L = sqrt((dx/dδ)² + (dy/dδ)²) x_r = x - rT·(dy/dδ) / L y_r = y + rT·(dx/dδ) / L

这里取的是朝凸轮内侧的法向偏移，所以是减号方向；滚子圆半径 rT 沿法线方向“削”掉一圈，得到的就是实际工作轮廓。

偏置直动从动件，需要先算初始接触点在导路方向上的投影距离：

s0 = sqrt(r0² - e²) x = e·cosδ + (s0 + S)·sinδ y = (s0 + S)·cosδ - e·sinδ

其中 e 是偏距，正负号决定了导路偏在回转中心的哪一侧。这个公式我推导时重点检查过 δ=0 的初始位置，计算结果和几何模型完全对得上。

平底从动件的轮廓公式更特殊一点，它是尖底理论轮廓沿圆周切向偏移一个类速度量得到的：

x = (r0 + S)·cosδ - (dS/dδ)·sinδ y = (r0 + S)·sinδ + (dS/dδ)·cosδ

因为平底从动件的接触点在平底上会随 dS/dδ 不断移动，这个偏移量实际上就是接触点相对导路中心线的距离，后面做平底长度校核时还要用到它。

3. Matlab 实战：一次生成四款凸轮廓线

3.1 运动规律函数的封装

我先写了一个局部运动规律计算函数 localMotion，输入当前转角、行程段结构体和起始角，输出相对位移和类速度。这样推程、回程、休止段都能复用，代码结构非常清晰。

function [s_local, ds_local] = localMotion(delta, seg) % 计算某一行程段内的相对位移和类速度 ds/ddelta % delta: 当前凸轮转角 % seg: 行程段结构体，含 start, stop, h, law, base t = (delta - seg.start) / (seg.stop - seg.start); t = min(max(t, 0), 1); % 防止边界溢出 switch seg.law case 'rest' s_local = 0; ds_local = 0; case 'constant' % 等速 s_local = seg.h * t; ds_local = seg.h / (seg.stop - seg.start); case 'parabolic' % 等加速等减速 if t <= 0.5 s_local = seg.h * 2 * t^2; ds_local = seg.h * 4 * t / (seg.stop - seg.start); else s_local = seg.h * (1 - 2 * (1 - t)^2); ds_local = seg.h * 4 * (1 - t) / (seg.stop - seg.start); end case 'cosine' % 余弦加速度 s_local = seg.h / 2 * (1 - cos(pi * t)); ds_local = seg.h * pi / (2 * (seg.stop - seg.start)) * sin(pi * t); case 'sine' % 正弦加速度 s_local = seg.h * (t - sin(2 * pi * t) / (2 * pi)); ds_local = seg.h / (seg.stop - seg.start) * (1 - cos(2 * pi * t)); otherwise error('未知运动规律: %s', seg.law); end end

注意回程段我把 h 设为负值，这样同一套公式可以直接复用。比如推程 h=30，回程 h=-30，回程段的相对位移就会从 0 变到 -30，叠加起始位移 30 后，实际从动件位置就从 30 回到 0。这个“局部相对位移 + 段起始位移”的思路，让代码里不再需要为回程单独写一套公式。

3.2 主脚本：参数、分段和位移计算

主脚本里我用结构体数组把凸轮一转分成四段：推程、远休止、回程、近休止。这样一眼就能看出工作循环的布局，后续改角分配也非常方便。

%% 基本参数 r0 = 50; % 基圆半径 mm rT = 8; % 滚子半径 mm e = 0; % 偏距 mm，0为对心，改12为偏置 h = 30; % 从动件总行程 mm method = 'sine'; % 运动规律：rest/constant/parabolic/cosine/sine %% 运动角分配（弧度） deltaPush = 120 * pi / 180; deltaHold = 40 * pi / 180; deltaReturn = 120 * pi / 180; deltaRest = 80 * pi / 180; %% 构造四段行程 seg(1) = struct('start', 0, 'stop', deltaPush, ... 'h', h, 'law', method, 'base', 0); seg(2) = struct('start', deltaPush, 'stop', deltaPush + deltaHold, ... 'h', 0, 'law', 'rest', 'base', h); seg(3) = struct('start', deltaPush + deltaHold, ... 'stop', deltaPush + deltaHold + deltaReturn, ... 'h', -h, 'law', method, 'base', h); seg(4) = struct('start', deltaPush + deltaHold + deltaReturn, ... 'stop', 2 * pi, ... 'h', 0, 'law', 'rest', 'base', 0); %% 计算位移 S 和类速度 dS N = 2000; delta = linspace(0, 2 * pi, N)'; S = zeros(N, 1); dS = zeros(N, 1); for k = 1:N for j = 1:numel(seg) if delta(k) >= seg(j).start && delta(k) <= seg(j).stop [s_local, ds_local] = localMotion(delta(k), seg(j)); S(k) = seg(j).base + s_local; dS(k) = ds_local; break; end end end

我习惯把采样点 N 设到 2000 以上。点数太少，轮廓在行程切换处会出现肉眼可见的折线感，后面做动画时也不够顺滑。2000 个点在普通电脑上计算加绘图也就是零点几秒的事，完全没必要省。

3.3 对心尖底与滚子从动件凸轮

对心直动从动件是最基础的结构，理论廓线公式最直接。把 S 和 dS 代进轮廓坐标公式，就能画出尖底理论轮廓；再套等距线公式，就是滚子的实际轮廓。

%% 对心尖底理论轮廓 x_tip = (r0 + S) .* cos(delta); y_tip = (r0 + S) .* sin(delta); %% 对心滚子实际轮廓（等距线） dx_tip = -(r0 + S) .* sin(delta) + dS .* cos(delta); dy_tip = (r0 + S) .* cos(delta) + dS .* sin(delta); L = sqrt(dx_tip.^2 + dy_tip.^2); x_roll = x_tip - rT .* dy_tip ./ L; y_roll = y_tip + rT .* dx_tip ./ L; %% 绘图 figure('Color', 'w'); plot(x_tip, y_tip, 'r--', 'LineWidth', 1.2); hold on; plot(x_roll, y_roll, 'b-', 'LineWidth', 2); th = linspace(0, 2*pi, 200); plot(r0*cos(th), r0*sin(th), 'k:', 'LineWidth', 1); axis equal; grid on; legend('理论轮廓', '实际轮廓', '基圆', 'Location', 'best'); title('对心直动滚子从动件盘形凸轮');

这里有个容易踩坑的地方：L 是理论轮廓切向量模长，理论上不会为 0，但如果基圆半径和偏距搭配不合理，行程切换点附近可能出现极小值。我在写脚本时加过一行判断：

if min(L) < 1e-6 warning('轮廓导数为零，请检查基圆半径和运动规律'); end

这一行看起来简单，却帮我避开了好几次程序崩溃。

3.4 偏置直动从动件凸轮

偏置的目的很明确：通过让导路偏离回转中心，把推程压力角压下来。但偏距方向不能拍脑袋定，得遵守一个基本判断：凸轮逆时针转动时，导路应偏向凸轮回转中心的右侧；凸轮顺时针转动时则偏向左侧。方向搞反，压力角不减反增，机构反而更吃力。

偏置轮廓的初始位置计算要用 s0 = sqrt(r0² - e²)，而不是直接用 r0。这是很多初学者容易忽略的细节，因为偏置后从动件最低位置时，尖底并不在凸轮正上方，而是在导路上与基圆相切的位置，这个切点沿导路方向到回转中心的距离就是 s0。代码如下：

%% 偏置参数 e = 12; % 偏距，正值为导路偏右 %% 偏置直动从动件理论轮廓 s0 = sqrt(r0^2 - e^2); x_offset = e * cos(delta) + (s0 + S) .* sin(delta); y_offset = (s0 + S) .* cos(delta) - e * sin(delta); %% 偏置滚子实际轮廓 dx_off = -e * sin(delta) + (s0 + S) .* cos(delta) + dS .* sin(delta); dy_off = -(s0 + S) .* sin(delta) + dS .* cos(delta) - e * cos(delta); L_off = sqrt(dx_off.^2 + dy_off.^2); x_off_roll = x_offset - rT .* dy_off ./ L_off; y_off_roll = y_offset + rT .* dx_off ./ L_off;

画图时我习惯把偏距圆也画进去，也就是以回转中心为圆心、半径 e 的圆。滚子中心或者说从动件导路中心线始终与这个圆相切，看动画时会非常直观。

3.5 平底从动件凸轮

平底从动件没有滚子，实际工作面是凸轮轮廓与平底所有切线位置的包络。它的优势是接触面积大、承载能力强，结构也简单，但轮廓公式和前面不太一样。

%% 平底从动件工作轮廓 x_flat = (r0 + S) .* cos(delta) - dS .* sin(delta); y_flat = (r0 + S) .* sin(delta) + dS .* cos(delta); %% 绘制平底从动件凸轮 figure('Color', 'w'); plot(x_flat, y_flat, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on; plot(r0*cos(th), r0*sin(th), 'k:', 'LineWidth', 1); axis equal; grid on; title('平底从动件盘形凸轮轮廓');

平底从动件有个额外要求：平底必须有足够长度，保证接触点始终落在平底范围内。接触点相对导路中心线的偏移量就是 |dS/dδ|，所以平底总长至少要是最大 |dS/dδ| 的两倍，再留 5 到 10 毫米的安全裕量。我一般直接这样算：

flatLen = 2 * max(abs(dS)) + 10; fprintf('平底最小长度建议：%.1f mm\n', flatLen);

接触点偏移量超出平底长度的时候，凸轮会“啃”到平底边缘，实际机构中就是异响和磨损，这个校核不能省。

4. 仿真验证与轮廓质量检查

4.1 位移、速度曲线先验证运动规律

轮廓画得再好，运动规律错了也白搭，所以我总是先画位移、类速度曲线，确认分段拼接正确，再去看轮廓。类速度曲线尤其能暴露问题：如果推程终点类速度不为零，说明运动规律在拼接处有速度跳变，整个机构高速运行时会有冲击。

画曲线就三行：

figure('Color', 'w'); plot(delta*180/pi, S, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on; plot(delta*180/pi, dS, 'r--', 'LineWidth', 1.2); xlabel('凸轮转角 δ(°)'); ylabel('位移 s(mm) / 类速度 ds/dδ'); legend('位移', '类速度'); grid on;

如果位移曲线在推程、回程之间平滑过渡，类速度曲线连续且端点归零，那运动规律基本没问题。用正弦加速度规律时，类速度两端都会平滑归零，看起来非常舒服。

4.2 压力角校核：基圆半径和偏距的取舍

压力角是凸轮设计最重要的校核指标之一。直动从动件压力角公式为：

tanα = |dS/dδ - e| / (s0 + S) （偏置时） tanα = |dS/dδ| / (r0 + S) （对心时）

推荐控制在推程 30° 以内，回程可以放宽到 70°～80°。压力角太大，从动件会在导路里卡死或严重磨损，机构根本没法用。

我在脚本里加了逐点压力角计算，并把最大压力角打印出来：

alpha = atan(abs(dS - e) ./ (s0 + S)) * 180 / pi; fprintf('最大压力角：%.2f°\n', max(alpha));

实际调试中我发现，压力角超限时最优先的手段是增大基圆半径 r0，其次才是调整偏距 e。基圆半径增大会让轮廓整体外移，压力角会明显下降，但凸轮尺寸变大、转动惯量也随之增加，需要在紧凑性和受力之间平衡。调基圆半径比改运动规律快得多，往往改一个数就够。

4.3 曲率半径检查：滚子半径的“雷区”

滚子从动件实际轮廓是理论轮廓的等距线，如果理论轮廓某处曲率半径小于滚子半径，实际轮廓会出现尖点甚至自交，也就是“过切”，加工出来直接废掉。所以必须计算理论轮廓的曲率半径 ρ：

ρ = ((x'² + y'²)^(3/2)) / |x'y'' - y'x''|

Matlab 实现需要二阶导数，而我们的位移是解析函数，二阶导可以解析求，也可以数值差分。我在脚本里用的解析式加数值检查，关键代码如下：

%% 数值差分求二阶导数（用S和dS） dx = dx_tip; dy = dy_tip; ddx = gradient(dx, delta); ddy = gradient(dy, delta); rho = (dx.^2 + dy.^2).^(1.5) ./ abs(dx .* ddy - dy .* ddx); minRho = min(rho); fprintf('理论轮廓最小曲率半径：%.2f mm\n', minRho);

这里用的是 MATLAB 的 gradient 函数做数值差分，步长足够密时精度够用。然后把最小曲率半径跟滚子半径比较，一般要求 ρ_min > 1.2rT，否则就要减小滚子或增大基圆。检查结果我通常直接加进绘图标题里，方便后续对比参数。

4.4 动态验证：让凸轮转起来

静态轮廓没问题之后，我会画一个简单动画，把滚子圆或者平底贴着轮廓转一圈，从动件同步上下运动，确认整个周期内没有干涉。这个动画不追求高大上，关键是让人眼确认运动过程正常。

figure('Color', 'w'); hold on; axis equal; grid on; plot(x_roll, y_roll, 'b-', 'LineWidth', 2); plot(r0*cos(th), r0*sin(th), 'k:', 'LineWidth', 1); h_roller = rectangle('Curvature', [1 1], 'FaceColor', [0.9 0.8 0.2]); h_rod = plot([0 0], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 2); for k = 1:60:N % 滚子中心位置 xc = x_roll(k); yc = y_roll(k); % 滚子圆 set(h_roller, 'Position', [xc-rT, yc-rT, 2*rT, 2*rT]); % 从动件推杆 set(h_rod, 'XData', [0 0], 'YData', [0, S(k)]); drawnow; pause(0.01); end

这个动画看起来简单，但实际效果很好，特别是观察偏置凸轮在推程和回程时滚子与轮廓的接触位置变化，能很快发现偏距方向是否正确。制作动画时我踩过一个坑：如果坐标轴没有设置 axis equal，凸轮会被拉成椭圆，动态效果看起来像“变形”，实际是显示比例问题，不是轮廓算错了，务必先加 axis equal。

5. 常见问题与排查技巧实录

5.1 问题速查表

我自己反复跑这套脚本，把最容易踩的几个问题整理成一个速查表，给后来者避坑：

5.2 一个偏置方向装反的真实案例

去年搭一个凸轮送料机构时，我为了减小压力角给从动件加了 10mm 偏距，但没注意转向，把导路偏到了左侧。跑完脚本一看，最大压力角从 32° 不减反增到 46°，整个机构在软件里明显卡滞。后来翻出反转法重新推了一遍才想起来：凸轮逆时针旋转时，偏置方向要顺着推程的切向，也就是右侧，才能把推程压力角压下来。这个问题如果不做仿真，光靠手工画图很难发现，等样机加工出来再改就晚了，这也是为什么我始终建议把压力角校核写进脚本，每次改参数自动打印结果。

5.3 等速规律导致的轮廓“折角”问题

有一次我偷懒把运动规律设成 constant，想着反正是低速机构。位移曲线倒是光滑，但类速度曲线在推程起点和终点直接跳变，导致轮廓在这些位置出现明显折角。用放大镜看轮廓局部，折角处实际对应一个速度突变，运行时滚子和凸轮的接触应力瞬间增大。后来我把推程和回程都换成了正弦加速度，折角立刻消失，机构在仿真里的噪声和振动也明显改善。这个经验告诉我们，凸轮设计的功夫一半在运动规律选择上，轮廓曲线只是运动规律的几何投影。

5.4 滚子半径选大导致的自交轮廓

滚子半径不是越大越好。我最初想把滚子做大一些提高耐磨性，rT 取到 15mm，基圆只有 40mm。脚本里最小曲率半径算出来只有 9mm，明显小于滚子半径，实际轮廓直接出现了自交环。用 plot 画出来之后，交点清晰可见，加工肯定报废。最后按 ρ_min > 1.2rT 的反向约束，把滚子半径降到 8mm，基圆升到 50mm，自交消除，压力角也在允许范围内。所以我现在设计时一定先算出理论轮廓的最小曲率半径，再决定滚子尺寸，而不是反过来。

结语：一些实际调试的小体会

整套脚本跑下来，我最深的体会是：用 Matlab 做凸轮设计，真正省时间的不是“画图”这个动作，而是参数联动检查和错误早发现。手工方法里，改一次基圆半径意味着从压力角到轮廓全部重新来过；脚本化之后，这只是改一个变量，几秒钟就能看到整套结果。另外一个实用小技巧：把运动规律名称作为字符串参数传进去，比如 method 字段写成 'sine' 或 'constant'，这样对比不同运动规律对轮廓的影响，只需改一行字，特别适合课程设计和竞赛前期方案比选。

如果你后续想继续深入，可以往两个方向扩展：一个是把 Simulink 的 Simscape 模型接进来，用刚体动力学仿真验证加速度曲线和驱动力矩；另一个是直接导出轮廓坐标到 CAD 软件，用点坐标生成样条曲线，出加工图纸。轮廓曲线算出来之后，加工其实已经不是难题，真正的设计难点始终都在运动规律选择、尺寸综合和参数校核这些前期环节上。