【通信原理笔记】【一】确定信号分析——1.6 频带信号的复包络

前言

上一篇我们学习了解析信号，它将信号的负频率部分镜像叠加到正频率部分便于分析。然而，频带信号有着不同的载频，分析起来还是不够方便，这篇我们就将继续介绍，对信号的“改造”，统一基带信号和频带信号的分析方法。

一、频带信号的复包络

为了分析方便，可以把频带信号的解析信号再搬移到基带来进行统一的分析，这种方法叫做等效基带分析，搬移以后得到的基带信号就叫做频带信号的复包络，也叫等效基带信号。

具体而言，假设我们有载频为f c f_cfc​的频带信号x ( t ) x(t)x(t)，那么容易得到解析信号：

z ( t ) = x ( t ) + j x ^ ( t ) z(t)=x(t)+j\hat{x}(t)z(t)=x(t)+jx^(t)

然后我们需要把它搬移到基带，原信号复包络的频谱X L ( f ) X_L(f)XL​(f)为解析信号的频谱向左搬移f c f_cfc​

X L ( f ) = Z ( f + f c ) = ∫ z ( t ) e − j 2 π ( f + f c ) t d t X_L(f)=Z(f+fc)=\int z(t)e^{-j2\pi (f+f_c)t}dtXL​(f)=Z(f+fc)=∫z(t)e−j2π(f+fc​)tdt
= ∫ z ( t ) e − j 2 π f c t e − j 2 π f t d t =\int z(t)e^{-j2\pi f_c t}e^{-j2\pi ft}dt=∫z(t)e−j2πfc​te−j2πftdt

这样，我们就得到了频带信号复包络的时域表示：

x L ( t ) = z ( t ) e − j 2 π f c t x_L(t)=z(t)e^{-j2\pi f_ct}xL​(t)=z(t)e−j2πfc​t

这里我们也顺便推导出了傅里叶变换的频移特性，即频移f c f_cfc​后的信号，其时域相应乘上e − j 2 π f c t e^{-j2\pi f_ct}e−j2πfc​t。

二、频带信号的三种表示

显而易见的是，复包络是复信号，复信号在通信原理中有两种常见的表示方式：

常规复数形式：

x L ( t ) = x c ( t ) + j x s ( t ) x_L(t)=x_c(t)+jx_s(t)xL​(t)=xc​(t)+jxs​(t)

幅度相位形式：

x L ( t ) = A ( t ) e j ϕ ( t ) x_L(t)=A(t)e^{j\phi(t)}xL​(t)=A(t)ejϕ(t)

这里x c ( t ) , x s ( t ) , A ( t ) , ϕ ( t ) x_c(t),x_s(t),A(t),\phi(t)xc​(t),xs​(t),A(t),ϕ(t)均为实信号。有了复包络的这三种表示，我们也可以很容易地反推原频带信号的三种表示，首先第一种：

x ( t ) = R e [ x ( t ) + j x ^ ( t ) ] = R e [ x L ( t ) e j 2 π f c t ] x(t)=Re[x(t)+j\hat{x}(t)]=Re[x_L(t)e^{j2\pi f_ct}]x(t)=Re[x(t)+jx^(t)]=Re[xL​(t)ej2πfc​t]
= 1 2 [ x L ∗ ( t ) e − j 2 π f c t + x L ( t ) e j 2 π f c t ] =\frac{1}{2}[x_L^*(t)e^{-j2\pi f_ct}+x_L(t)e^{j2\pi f_ct}]=21​[xL∗​(t)e−j2πfc​t+xL​(t)ej2πfc​t]

第二种：

x ( t ) = R e [ ( x c ( t ) + j x s ( t ) ) e j 2 π f c t ] x(t)=Re[(x_c(t)+jx_s(t))e^{j2\pi f_ct}]x(t)=Re[(xc​(t)+jxs​(t))ej2πfc​t]
= R e [ ( x c ( t ) + j x s ( t ) ) e j 2 π f c t ] =Re[(x_c(t)+jx_s(t))e^{j2\pi f_ct}]=Re[(xc​(t)+jxs​(t))ej2πfc​t]
= R e { ( [ x c ( t ) + j x s ( t ) ] [ cos ⁡ 2 π f c t + j sin ⁡ 2 π f c t } =Re\{([x_c(t)+jx_s(t)][\cos2\pi f_ct+j\sin2\pi f_ct\}=Re{([xc​(t)+jxs​(t)][cos2πfc​t+jsin2πfc​t}
= x c ( t ) cos ⁡ 2 π f c t − x s ( t ) sin ⁡ 2 π f c t =x_c(t)\cos2\pi f_ct-x_s(t)\sin2\pi f_ct=xc​(t)cos2πfc​t−xs​(t)sin2πfc​t

其中，x c ( t ) , x s ( t ) x_c(t), x_s(t)xc​(t),xs​(t)分别称为同相分类与正交分量。再来第三种：

x ( t ) = R e [ A ( t ) e j 2 π f c t + j ϕ ( t ) ] x(t)=Re[A(t)e^{j2\pi f_ct+j\phi(t)}]x(t)=Re[A(t)ej2πfc​t+jϕ(t)]
= A ( t ) cos ⁡ ( 2 π f c t + ϕ ( t ) ) =A(t)\cos(2\pi f_ct+\phi(t))=A(t)cos(2πfc​t+ϕ(t))

有了这三种表示后，在实际遇到一个频带信号或者是复包络时，先找到它是哪种表示形式，然后就可以快速找到对应的复包络或者是频带信号。

三、等效基带分析

现在我们有了等效基带信号，要做频带信号的等效基带分析，则还需要将线性时不变系统的冲激响应，同样变成它的复包络。

考虑一个输入信号为频带信号x ( t ) x_(t)x(​t)，其通过一个频带滤波器h ( t ) h(t)h(t)，得到输出信号y ( t ) y(t)y(t)。因此有

Y ( f ) = H ( f ) X ( f ) Y(f)=H(f)X(f)Y(f)=H(f)X(f)

根据复包络与原信号的频谱关系有，(注意，下式Y ( f ) , X ( f ) Y(f),X(f)Y(f),X(f)只包含正频率部分）

Y L ( f ) = 2 Y ( f + f c ) = 2 H ( f + f c ) X ( f + f c ) = H ( f + f c ) X L ( f ) Y_L(f)=2Y(f+f_c)=2H(f+f_c)X(f+f_c)=H(f+f_c)X_L(f)YL​(f)=2Y(f+fc​)=2H(f+fc​)X(f+fc​)=H(f+fc​)XL​(f)

其中H ( f + f c ) = H L ( f ) / 2 = H e ( f ) H(f+f_c)=H_L(f)/2=H_e(f)H(f+fc​)=HL​(f)/2=He​(f)称为等效低通滤波器。这样我们就可以得到一个等效基带分析方法：首先将输入信号与频带滤波器均表示为复包络与等效低通滤波器的形式，再求他们的输出信号，此时输出信号就是原系统输出信号的复包络，也就可以容易地得到原输出信号。

总结

这篇文章介绍了频带信号的复包络及其等效基带分析，统一了基带信号与频带信号的分析，不受载频的影响（据说在信号与系统中，基带的时域卷积比较好计算，所以等效基带分析比较有意义。在通信原理中，只要求掌握这种分析方法，并未清楚地解释其意义。）。

至此，确定信号分析部分就学完了。下一章节将开始学习随机信号的分析处理。第一节将会先认识一下随机信号，解释为什么要学习随机信号，以及如何分析随机信号。