tf-quant-finance LSM 最小二乘蒙特卡洛算法：用 Longstaff-Schwartz 回归法为美式期权定价

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导读

本文围绕 tf-quant-finance 中tf_quant_finance.experimental.lsm_algorithm模块展开，系统讲解基于 Longstaff & Schwartz（2001）回归法的最小二乘蒙特卡洛（LSM）美式期权定价实现：从 API 概览、least_square_mc与least_square_mc_v2两代定价入口的参数语义，到多项式基函数、篮子看跌期权 payoff 构造，再到与仓库源码、测试用例对照的算法原理纵深。读完本文，你将能够用该模块完成"模拟标的路径 → 构造 payoff 与基函数 → 回归求最优停时 → 折现均值"的完整美式期权定价流程，并理解 v2 版本为 XLA 兼容与批量估值所做的工程取舍。

模块定位与整体 API 结构

lsm_algorithm模块位于tf_quant_finance/experimental/下，模块 docstring 概括为"LSM algorithm methods"（LSM 算法方法集）。模块级索引文档 api_docs/tf_quant_finance/experimental/lsm_algorithm.md 列出了全部 5 个公开符号，定义于 tf_quant_finance/experimental/lsm_algorithm/init.py：

模块级导入后可通过tff.experimental.lsm_algorithm.least_square_mc等形式调用（tff.experimental.__init__.py第 20 行将lsm_algorithm纳入公开子模块）。在 Bazel 构建体系中，BUILD 将其拆分为lsm、lsm_v2、payoff三个py_library，并配套lsm_test、lsm_v2_test、payoff_test三个py_test目标。

LSM 算法原理回顾

least_square_mc的 docstring 对算法思想作了如下概括（与 lsm.py 一致）：

最小二乘蒙特卡洛（LSM）算法是一种估值美式期权的蒙特卡洛方法。利用标的资产的样本路径和用户提供的 payoff 函数，它尝试为每条样本路径找到最优行权点；在已知最优行权点后，期权价值被定义为"假设最优行权"下的平均 payoff 并折现到现值。

这一思想源自文献：Longstaff, F.A. and Schwartz, E.S., 2001.Valuing American options by simulation: a simple least-squares approach. The review of financial studies, 14(1), pp.113–147。与普通蒙特卡洛只模拟到期 payoff 不同，美式期权允许在到期前的任意可行时点行权，因此核心难点在于估计每个时刻"继续持有"的期望价值（continuation value）。LSM 的巧妙之处在于：从后往前在每个可行行权时点，用该时点"实值路径"的样本做横截面回归（以当前标的价格的函数为解释变量，以未来已折现最优现金流为响应变量），得到条件期望函数的近似，再逐条路径比较"立即行权收益"与"继续持有期望"，从而回溯出最优停时。

least_square_mc：基础版定价入口

函数签名与参数语义

tf_quant_finance.experimental.lsm_algorithm.least_square_mc( sample_paths, exercise_times, payoff_fn, basis_fn, discount_factors=None, dtype=None, name=None )

各参数含义（详见 least_square_mc.md）：

• sample_paths：形状为[num_samples, num_times, dim]的Tensor，即底层 Ito 过程在num_times个时间点上的dim维样本路径。
• exercise_times：形状为[num_exercise_times]的int32Tensor，元素必须是[0, ..., num_times - 1]的子集，表示期权可行权的时点 tick。
• payoff_fn：可调用对象，输入形状[num_samples, num_times, dim]的样本与一个表示当前时间索引的整数标量，输出形状[num_samples, payoff_dim]的Tensor（dtype 与样本一致），表示在该时点立即行权的支付。payoff_dim允许在同一标的资产（samples）上并行估值多个期权。
• basis_fn：可调用对象，输入形状[num_samples, dim]的样本，输出形状[basis_size, num_samples]的Tensor，即用于回归持有价值的设计矩阵。
• discount_factors：形状[num_exercise_times]或[num_samples, num_exercise_times]的Tensor，第 k 个元素表示时间 tick k 处的折现因子。默认None，映射为与样本同 dtype、形状[num_exercise_times]的全 1Tensor。
• dtype：可选tf.float32或tf.float64，指定输入输出Tensor的 dtype；默认None时由 TensorFlow 推断。
• name：Pythonstr，为函数创建的 Op 添加前缀；默认None映射为'least_square_mc'。

返回值：形状[num_samples, payoff_dim]、与samples同 dtype 的Tensor。

源码级执行流程

从 lsm.py 的实现可以看到以下关键步骤：

1. 输入规整：sample_paths、exercise_times、discount_factors统一转为Tensor；若discount_factors缺省则构造全 1 折现向量；若其 rank 为 1，则扩展为[1, num_exercise_times]（第 204-205 行），并在末尾concat一个值为 1 的前缀元素，使discount_factors[0] == 1代表 0 时刻的折现因子（第 207-209 行）。
2. 现金流初始化：取最后一个可行权 tick，调用payoff_fn得到到期 payoff（形状[num_samples, payoff_dim]），并在其后拼接num_times - 1个 0，构成形状[num_samples, payoff_dim, num_exercise]的cashflow张量（第 212-221 行）。
3. 倒推循环：通过tf.while_loop以LsmLoopVars(exercise_index, cashflow)为循环变量，从num_times - 1递减到 0（循环条件exercise_index > 0，见lsm_loop_cond第 236-239 行）。循环体_lsm_loop_body（第 354-380 行）每个迭代执行：
   • 计算当前 tick 的即时行权价值exercise_value = payoff_fn(sample_paths, tick)；
   • 用continuation_value_fn将当前索引右侧的现金流折现到当前时点，得到"继续持有"的现值（第 242-269 行，折现比例由discount_factors[..., exercise_index + 1:] / discount_factors[..., exercise_index]给出）；
   • 取sample_paths[:, tick, :]调用basis_fn构造回归设计矩阵；
   • 调用expected_exercise_fn做最小二乘回归，得到每条路径期望持有价值（详见下文）；
   • 调用_updated_cashflow（第 318-351 行）更新现金流：当exercise_value > expected_continuation时判定该路径应提前行权，写入新的现金流并将之后的现金流置零。
4. 定价输出：循环结束后用continuation_value_fn(loop_value.cashflow, discount_factors, 0)将现金流折现到 0 时刻，再对样本维度做reduce_mean（第 231-233 行），即得平均最优行权 payoff 的现值。

回归核心：expected_exercise_fn

回归的数学本质在 lsm.py 的注释中交代得很清楚：对于设计矩阵 X 与响应 y，最优线性无偏估计系数 β 满足正规方程X'X β = X'y。实现细节包括：

• 仅在实值路径上回归：mask = cast(exercise_value > 0, ...)将非实值路径的设计矩阵行清零（第 297-300 行），因为"永远不会在该时点行权"的样本不影响回归系数；注释同时指出，同一组样本路径在不同 payoff 下实值集合不同，因此batch_design通过broadcast_to为每个 payoff 维复制一份设计矩阵。
• 伪逆保证数值稳定：lhs = matmul(masked, masked, transpose_a=True)后用tf.linalg.pinv(lhs)计算伪逆（第 305-308 行），避免病态矩阵导致的数值不稳定。
• 结果截断：最终返回tf.maximum(continuation, 0.0)（第 315 行），即期望持有价值不小于 0——这与"继续持有期权不会带来负的期望价值"的金融直觉一致。

论文示例的测试验证

lsm_test.py 直接复现了 Longstaff & Schwartz 论文 Section 1 的经典 8 条路径、3 个行权时刻算例：

samples = [[1.0, 1.09, 1.08, 1.34], [1.0, 1.16, 1.26, 1.54], [1.0, 1.22, 1.07, 1.03], [1.0, 0.93, 0.97, 0.92], [1.0, 1.11, 1.56, 1.52], [1.0, 0.76, 0.77, 0.90], [1.0, 0.92, 0.84, 1.01], [1.0, 0.88, 1.22, 1.34]] # 每两期之间的利率为 0.06，对应折现因子 interest_rates = [0.06, 0.06, 0.06] discount_factors = np.exp(-np.cumsum(interest_rates))

test_american_option_put（lsm_test.py）用make_polynomial_basis(2)与make_basket_put_payoff([1.1])，在exercise_times=[1, 2, 3]下得到美式看跌价格0.1144；test_european_option_put仅在exercise_times=[3]行权，得到欧式价格0.0564，与论文手算结果吻合。这组测试同时验证了算法在tf.float32/tf.float64两种精度下都稳定。

make_basket_put_payoff：篮子看跌 payoff 构造器

tf_quant_finance.experimental.lsm_algorithm.make_basket_put_payoff( strike_price, dtype=None, name=None )

• strike_price：与样本 dtype 一致的Tensor，形状[num_samples, num_strikes]，可同时为多个行权价构造 payoff。
• dtype/name：语义同前，name默认'put_valuer'。
• 返回：一个可调用对象，输入形状[num_samples, num_exercise_times, dim]的样本与当前时间标量，输出形状[num_samples, num_strikes]的 payoff。

底层实现在 payoff.py 的_put_valuer中：取出time_index处的切片样本，对最后一维（篮子成分维度dim）求平均average = reduce_mean(slice_sample_paths, axis=-1)，再返回tf.nn.relu(strike_price - average)，即篮子平均价格低于行权价的差额（不为负）。它通过functools.partial把strike_price绑定进闭包形成可调用对象。值得注意，该实现天然兼容 batch 输入：rank 为 3 时自动expand_dims到[num_samples, 1, num_times, dim]，rank 为 4 时转置为[num_samples, batch_size, num_times, dim]（第 79-84 行）。

payoff_test.py 给出了可直接对拍的手算期望：对 strike[1.1, 1.2]、末时刻样本，第 3 条路径（1.03）的 payoff 为[0.07, 0.17]，第 4 条路径（0.92）为[0.18, 0.28]，第 6 条路径（0.90）为[0.2, 0.3]等。

make_polynomial_basis：回归用的多项式基函数

tf_quant_finance.experimental.lsm_algorithm.make_polynomial_basis(degree)

• degree：int32标量，期望的多项式次数；若小于 0，tf.debugging.assert_greater_equal会抛出断言（docstring 声明为ValueError，见 lsm.py）。
• 返回：输入[num_samples, dim]、输出[degree * dim, num_samples]的可调用对象。

核心逻辑（lsm.py）：先做中心化Y = X - mean(X, axis=0)，再构造次数从 0 到degree的完整单项式网格并做reduce_prod，最后转置。docstring 中的示例（degree=2, dim=2）说明其展开包含1, X, X**2, Y, Y**2, X*Y, X**2*Y, X*Y**2等项。附带的数值示例：

basis = make_polynomial_basis(2) x = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0] x = tf.expand_dims(x, -1) basis(x) # Expected result: # [[ 1.0, 1.0, 1.0, 1.0], [-1.5, -0.5, 0.5, 1.5]]

第一行是常数项 1，第二行是中心化后的X - mean(X)（均值为 2.5，故为-1.5, -0.5, 0.5, 1.5）。注意此处输出形状为[degree * dim, num_samples]，与 v2 版本存在差异（见下）。

least_square_mc_v2：XLA 兼容的升级版

签名差异

tf_quant_finance.experimental.lsm_algorithm.least_square_mc_v2( sample_paths, exercise_times, payoff_fn, basis_fn, discount_factors=None, num_calibration_samples=None, dtype=None, name=None )

与 v1 相比，v2（lsm_v2.py）的核心变化体现在：

1. 支持 batch 维度：sample_paths可为[num_samples, num_times, dim]或[batch_size, num_samples, num_times, dim]，batch_size允许并行估值多个期权（通过 payoff 的"多个标的"或"多组样本路径"两种方式，见 lsm_v2_test.py 中test_american_option_put_batch_samples与test_american_option_put_batch_payoff）。相应地payoff_fn输出形状变为[num_samples, batch_size]，basis_fn需接收完整样本路径与时间索引两个参数，输出[batch_size, basis_size, num_samples]。
2. 新增num_calibration_samples：可选整数，不超过num_samples，指定用于 LSM 回归步骤的路径条数；注意定价时只用最后num_samples - num_calibration_samples条路径（第 284-286 行），即"回归用前 N 条、定价用后 M 条"，以降低用同一批样本既做回归又做定价带来的偏差。默认None表示所有样本同时用于回归与定价。
3. 静态形状与 XLA 兼容：文件头部 docstring（第 15-26 行）明确说明，v2 是为XLA 兼容而设计——_continuation_value_fn、_expected_exercise_fn、_updated_cashflow内部所有张量均为静态形状（用tf.where+ 固定形状掩码替代 v1 中的动态拼接），代价是内存占用上升，且"某些情况下可能比不做 XLA 编译的旧版慢"。make_polynomial_basis_v2输出的函数额外带time_index参数（内部用tf.slice按索引切片，避免动态形状张量），这也是它与 v1 基函数的主要区别。
4. 折现因子 rank 3 支持：discount_factors可为[num_exercise_times]或与[num_samples, batch_size, num_exercise_times]兼容的 rank 3 张量（第 243-249 行用tf.pad前置 1）。
5. 回归细节：_expected_exercise_fn（第 331-386 行）在 v1 的"实值掩码 + 伪逆"基础上增加calibration_indices的tf.gather子采样；输出用tf.nn.relu截断非负。

v2 的回归基函数：make_polynomial_basis_v2

tf_quant_finance.experimental.lsm_algorithm.make_polynomial_basis_v2(degree)

与 v1 的差异在于返回的可调用对象接收(sample_paths, time_index)两个参数：内部先按time_index切片出当前时点的样本，再中心化并做幂网格展开（lsm_v2.py）。输出形状为[batch_size, (degree + 1)**dim, num_samples]——注意 v2 是完整的(degree + 1)**dim个单项式（含所有交叉项与常数项），而 v1 docstring 写作[degree * dim, num_samples]并宣称展开含X*Y等交叉项，两者展开的项数规则并不相同，选用时需按形状断言核对。文档自带示例：

basis = tff.experimental.lsm_algorithm.make_polynomial_basis_v2(2) x = [[1.0], [2.0], [3.0], [4.0]] x = tf.expand_dims(x, axis=-1) basis(x, tf.constant(0, dtype=np.int32)) # Expected result: # [[ 1. , 1. , 1. , 1. ], [-1.5 , -0.5 , 0.5 , 1.5 ], # [ 2.25, 0.25, 0.25, 2.25]]

即[常数项 1, 中心化一次项 X-2.5, 中心化二次项 (X-2.5)**2]。

端到端实战：欧式/美式看跌期权定价对照

主文档least_square_mc与least_square_mc_v2均附有同一份完整示例（lsm.py、lsm_v2.py），下面给出修正笔误后的可运行版本（原文档中lsm_price(...)应为least_square_mc(...)，strikes应为strike）：

import numpy as np import tensorflow as tf import tf_quant_finance as tff from tf_quant_finance.experimental.lsm_algorithm import ( least_square_mc, make_basket_put_payoff, make_polynomial_basis) # 标的为 Black-Scholes 过程：dS_t / S_t = rate dt + sigma**2 dW_t，S_0 = 1.0 # 其中 rate = 0.1，波动率 sigma = 1.0。先定义 log(S_t) 的漂移与波动函数 rate = 0.1 def drift_fn(_, x): return rate - tf.ones_like(x) / 2. def vol_fn(_, x): return tf.expand_dims(tf.ones_like(x), -1) # 用 Euler 格式将 100000 条路径向前推进 1 年 times = np.linspace(0., 1, num=50) num_samples = 100000 log_paths = tf.function(tff.models.euler_sampling.sample)( dim=1, drift_fn=drift_fn, volatility_fn=vol_fn, random_type=tff.math.random.RandomType.PSEUDO_ANTITHETIC, times=times, num_samples=num_samples, seed=42, time_step=0.01) # 取指数还原 S_t 样本 paths = tf.math.exp(log_paths) # 行权价 1.1、期限 1 年的美式看跌期权 strike = [1.1] exercise_times = tf.range(times.shape[-1]) discount_factors = tf.exp(-rate * times) payoff_fn = make_basket_put_payoff(strike) basis_fn = make_polynomial_basis(10) american_price = least_square_mc(paths, exercise_times, payoff_fn, basis_fn, discount_factors=discount_factors) # 期望结果：约 [0.397] # 对照：同一标的的欧式看跌期权（仅到期行权） european_price = tff.black_scholes.option_price( volatilities=[1], strikes=strike, expiries=[1], spots=[1.], discount_factors=discount_factors[-1], is_call_options=False, dtype=tf.float64) # 期望结果：约 [0.379]

该示例要点：

• 路径模拟复用 euler_sampling.sample，随机数采用PSEUDO_ANTITHETIC（对偶变量）降低方差，seed=42保证可复现；
• 每条路径在 50 个时间点采样，exercise_times = tf.range(50)表示每个采样点都可行权；
• 美式价格（约 0.397）高于欧式价格（约 0.379），差值即为"提前行权权利"的价值——这是检验 LSM 定价合理性的直观判据。

选型建议与注意事项

1. v1 与 v2 的取舍：v2 是为 XLA 编译设计的静态形状实现（lsm_v2.py），更契合tf.function/ XLA 加速场景；v1 动态拼接在某些非 XLA 场景下可能更快、内存占用更低。若需并行估值多个期权或使用num_calibration_samples防过拟合，应选 v2。
2. 基函数与 degree 选择：degree过小（如 1~2）回归精度不足，过大则设计矩阵膨胀、过拟合风险上升。论文示例与测试用degree=2即可在 8 条路径上精确复现；蒙特卡洛大样本场景常用 10 阶（主文档示例），但仍需结合标的维度权衡(degree+1)**dim的爆炸式增长。
3. 仅实值路径参与回归：expected_exercise_fn用exercise_value > 0掩码（lsm.py），实值判定的直觉是"虚值路径在当期必不行权"，这与 Longstaff-Schwartz 原始论文一致。
4. dtype 一致性：discount_factors、strike_price需与sample_pathsdtype 一致；定价对精度敏感时建议显式传入tf.float64。
5. 回归稳定性：实现使用tf.linalg.pinv伪逆求解正规方程（v1/v2 相同），对病态设计矩阵具有较好的容错性。

与稳定版models.longstaff_schwartz的关系

experimental.lsm_algorithm与 models/longstaff_schwartz 是同一算法在仓库中的两条演进线：稳定版tff.models.longstaff_schwartz提供了least_square_mc、make_polynomial_basis、make_basket_put_payoff三个同名 API，其签名（含num_calibration_samples与 batch 支持）与 experimental 下的 v2 版本一致，实现在 models/longstaff_schwartz/lsm.py 中。从源码结构看，experimental 版本更贴近算法原型与研究用途，稳定版则对类型标注、docstring 与 API 规范做了收尾。生产环境建议优先使用models.longstaff_schwartz，研究原型或需要对照两代实现差异时可参考experimental.lsm_algorithm的源码与测试（lsm_test.py、lsm_v2_test.py）。

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