Scratch画圆进阶：用坐标与弧度实现圆心半径可控的圆

我见过不少社团里的同学写“Scratch画圆”的脚本，十有八九是这套：重复执行360次，每次移动几步，再左转1度。跑起来确实能出个圆，可一旦要求“圆心放在（30，50），半径80”，整个脚本就崩了。要么画完再靠鼠标手动拖到差不多位置，要么干脆在圆心处画一个辅助点假装对上了。问题就出在：我们一直在“碰运气画圆”，而不是“算出一个圆”。

这次我想把一个非常实用又特别适合教学演示的思路完整拆出来：用多边形逼近法加弧度概念，在Scratch里画一个圆心和半径都完全可控的圆。这个思路不难，只需要用到画笔扩展、几个变量，再加一点点三角函数和弧度换角度的计算。学会之后，你能一步把圆的参数写死，想画哪个位置就画哪个位置，想改半径就直接改半径，顺带还能把圆弧、扇形、圆周运动这些玩法一起拿下。

1. 这个问题的难点，其实卡在“指定”两个字上

1.1 为什么传统的“移动+转向”法不够用

用“重复执行360次，移动2步，左转1度”画圆，思路很好理解：每次走一小段直线，转一个微小的角度，累积360度之后，折线就围成了一个近似圆。这个方法的本质就是“多边形逼近”，只是边数固定在了360条左右，每边很短，肉眼看起来已经很圆。

但问题也很明显。它根本没有定义圆心的概念。脚本运行时，角色从当前位置出发，走完一圈后回到近似原点；如果出发前你没把角色放在指定位置，那这个圆的圆心就和你要的位置毫无关系。更麻烦的是，每次画完后还想调整位置，只能整段脚本推倒重来，或者用“移到某坐标”这种笨方法把图形搬过去。这个做法在“随手画着玩”时无可厚非，但一旦要做一个精确的图形，比如轨道动画、地图坐标点、角色绕圈巡逻，就只能用坐标计算来兜底。

所以，真正要解决的是：我们不能只告诉角色“走多少步、转多少度”，而要告诉它“你去的每个点是什么坐标”。这就是圆心和半径可控的第一层突破。

1.2 多边形逼近法：用有限个顶点去模拟一个圆

圆的几何定义是所有到圆心距离等于半径的点的集合。注意，它要求的是“无数个点”。计算机没法真的画一条完美曲线，它只能用很多小直线段去拼。当直线段足够短、足够多的时候，肉眼就分不清这是直线还是曲线，看起来就是一个圆。

这就引出了“多边形逼近”的核心思想：把一个圆看成顶点均布在圆周上的正多边形。边数越多，离圆越近；边数越少，越容易看出棱角。比如边数只有8，画出来是个正八边形；边数到36，基本能看出圆的轮廓；边数到72甚至120，肉眼几乎无法分辨。用正多边形去逼近圆，本质就是“用线段去逼近曲线”。

这个思想不只在Scratch里有用，很多绘图软件做曲线渲染、3D引擎做圆形和球体建模时，底层用的都是同一招：把光滑曲面拆成有限个三角面或线段。所以这不是一个纯粹的课后作业技巧，而是图形学里最基本的思想之一。

1.3 指定圆心和半径，必须把坐标公式引进来

既然我们要把圆形当成一系列顶点来画，下一步就需要知道每个顶点的坐标。这里就要用到三角函数了。任意一个圆周上的点，如果圆心是( (x_0, y_0) )，半径是( R )，那么这个点和圆心的连线与水平方向的夹角是( \theta )，它的坐标就是：

[ x = x_0 + R \cos \theta ] [ y = y_0 + R \sin \theta ]

这个公式是整个项目的钥匙。只要我们把( \theta )从0度扫到360度，每扫过一个角度，就算出一个顶点坐标，再用画笔把相邻顶点连起来，一个指定圆心、指定半径的圆就画出来了。这里的“扫角度”是关键，而角度到底用什么单位、每次加多少，就需要引入弧度概念了。

2. 弧度概念：先把这个容易绕晕的地方讲透

2.1 弧度是怎么定义的，和角度有什么区别

我们平时常用的是角度制：把一个圆切成360份，每份是1度。这个单位生活里很好用，但在数学公式里不够自然。弧度制的思路完全不同：用弧长和半径的比值来量角度。

圆心角为( \alpha )弧度，就等于这段圆弧的长度( s )除以半径( r )，即：

[ \alpha = \frac{s}{r} ]

一个完整的圆，弧长是( 2\pi r )，所以完整圆的圆心角是( 2\pi )弧度。也就是说，360度=( 2\pi )弧度，180度=( \pi )弧度，90度=( \frac{\pi}{2} )弧度。

举个例子。半径是100的圆，如果圆心角是1弧度，那对应的弧长就是100。这个对应关系非常直观：角度是在“分一块饼”，弧度是在用“饼的半径去量饼的边有多长”。

对于画圆来说，弧度制的优势在于，它和圆周长天然挂钩。我们计算多边形顶点时，每两个相邻顶点之间的圆心角如果写成弧度，就是( \frac{2\pi}{n} )，表达简洁明了，还方便推边长、弧长等数据。实际操作时，我们还是要把弧度换算成Scratch能接受的角度单位。

2.2 Scratch三角运算模块用的是角度制，这是一个大坑

Scratch里有一个运算积木叫“cos”和“sin”，括号里填一个数字就能返回余弦值和正弦值。很多人直接在脚本里写：

cos(当前弧度)

这十有八九会出错。原因是Scratch的三角函数积木默认把输入值当作“度”，而不是“弧度”。你填进“1”的时候，它认为这是1度，返回的是cos(1°)约等于0.99985，而不是cos(1弧度)约等于0.54030。差别虽然不大，但等角度到了几十上百，偏差就非常明显。

所以正确的做法是：先把弧度转成角度，再交给三角函数积木。换算关系很简单：

[ \text{角度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi} ]

反过来，角度转弧度就是乘以( \frac{\pi}{180} )。这篇项目里，我们会在脚本中定义一个“当前弧度”变量，然后每次在cos()和sin()里面写成“当前弧度 × 180 ÷ 圆周率”。这个转换步骤很多人忽略，但只要漏掉这一步，画出来的图形就可能完全偏离预期。

2.3 先记下这两个换算公式，后面写脚本直接用

既然要在Scratch里用弧度，最好的办法是先把圆周率设置成一个变量，免得每次打一长串小数。

• 变量“圆周率”设为3.1415926；
• 弧度转角度：当前弧度 × 180 ÷ 圆周率；
• 角度转弧度：当前角度 × 圆周率 ÷ 180。

不要在脚本里把3.14159到处乱写，万一有人想提高精度，改一个变量比改成千上万处要方便得多。这个习惯对任何编程项目都一样：把常量做成变量，代码结构才清爽。

3. 脚本实现：直接用顶点坐标法画出可控圆

3.1 准备工作和舞台坐标说明

要画线，先得在Scratch里添加画笔扩展。具体操作是在编辑器左下角的“添加扩展”中选择“画笔”。添加之后，积木区会出现“全部清除”“落笔”“抬笔”“将笔的大小设为”等积木。

舞台的坐标系要提前说清楚。Scratch舞台宽480，高360，正中心是坐标原点(0,0)，所以x坐标范围是-240到240，y坐标范围是-180到180。角色移到(0,0)就是舞台正中央，移到(240,180)是右上角。

这个坐标系特别重要，因为我们接下来所有计算都基于它。指定圆心就是指定一个舞台上的位置，比如(30,50)，那就是中心往右30、往上50的位置。如果圆心坐标超出舞台范围，圆的一部分就会跑到屏幕外，这个后面会专门讲怎么排查。

3.2 顶点坐标公式和多边形边数的选择

我们画的是内接正多边形。半径为R，边数为n，则任意相邻两个顶点之间的圆心角是：

[ \theta = \frac{2\pi}{n} \text{弧度} ]

如果直接算两点之间的直线距离，也就是正多边形边长，可以用：

[ \text{边长} = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

所以当你用“移动步数”去画圆时，每步走的长度不是随便定的，要按这个公式算。如果用顶点坐标法，就不用管边长，直接让每个顶点的坐标按角度算出来即可。

关于边数，我的建议是取72左右。72条边的正多边形，每条边对应的圆心角是5度，画出来肉眼已经完全看不出棱角，而且计算量也不大，运行流畅。边数取36也行，轮廓略糙一点；取360最精细，但每秒计算量更大。如果是画普通的静态圆，72就已经足够了。

3.3 一步步搭出能直接运行的积木脚本

下面这个积木脚本是核心实现。变量方面需要准备：

完整逻辑分四步：

1. 清空舞台，抬笔，设置画笔粗细和颜色；
2. 把角色移到第一个顶点，也就是角度为0时计算出的坐标，然后落笔；
3. 重复执行“边数”次，每次把“当前弧度”增加( \frac{2\pi}{n} )，然后移动画笔到新顶点坐标；
4. 循环结束后，最后一步恰好回到起点，圆自动闭合。

用积木描述大概长这样：

当绿旗被点击 全部清除 抬笔 将笔的大小设为 (2) 将笔的颜色设为 (红色) 将 圆心X 设为 (30) 将 圆心Y 设为 (50) 将 半径 设为 (80) 将 边数 设为 (72) 将 圆周率 设为 (3.1415926) 将 当前弧度 设为 (0) 将x坐标设为 (圆心X + (半径 * (cos ((当前弧度 * 180) / 圆周率)))) 将y坐标设为 (圆心Y + (半径 * (sin ((当前弧度 * 180) / 圆周率)))) 落笔 重复执行 (边数) 次 将 当前弧度 增加 ((2 * 圆周率) / 边数) 将x坐标设为 (圆心X + (半径 * (cos ((当前弧度 * 180) / 圆周率)))) 将y坐标设为 (圆心Y + (半径 * (sin ((当前弧度 * 180) / 圆周率))))

这里有几个容易出错的小地方，先提醒一下。

第一，落笔的位置必须在第一个顶点上。如果你让角色从圆心开始落笔，再进循环，那会从圆心拖出一条线连到圆上，非常难看。所以一定要在抬笔状态下先移动到第一个顶点，确认角标为0，然后再落笔。

第二，循环里是先增加弧度，再移动坐标。这个顺序不能反。如果先移动再增加弧度，第一个顶点会被跳过，画的圆会有缺口。更准确说，我们要保证循环执行“边数”次后，当前弧度刚好累加到( 2\pi )，回到初始点。

第三，cos和sin积木里必须做弧度转角度。上面的脚本写的是“当前弧度 × 180 ÷ 圆周率”，这正是弧度转角度。如果你直接在cos积木里放“当前弧度”，出来的一定是歪的。

3.4 用一组具体参数走一遍计算流程

我建议用这个脚本时，先跑一组好检查的数值，比如圆心(30,50)，半径80。

• 当前弧度=0时，第一个顶点坐标是： ( x = 30 + 80 \times \cos(0) = 110 ) ( y = 50 + 80 \times \sin(0) = 50 ) 这一点在圆心正右方80处，很容易检查。

• 下一次循环，弧度变成( \frac{2\pi}{72} )，换算成角度是5度。计算得到： ( x \approx 30 + 80 \times \cos(5^\circ) \approx 109.70 ) ( y \approx 50 + 80 \times \sin(5^\circ) \approx 56.97 )

这两个点相当接近，所以画出来是一条约8.7步长的短直线。一直循环下去，最后当前弧度累加到360度，坐标回到(110,50)，圆闭合。

如果你想验证脚本是否准确，可以直接检查几个特殊角度：

这四点分别位于圆心的右、上、左、下，距离都是80，正好是半径。只要这四点对得上，整个圆的数学基础基本没跑偏。

3.5 如果非要用“移动步数”法画，边长该设多少

有些读者可能还是更习惯让角色用“移动+转向”的方式去画圆，这种写法也不是不行，只是圆心位置控制起来更绕。如果你想用这种传统方法，并且初始位置就是圆心，那可以这么做：

1. 抬笔，移到圆心坐标；
2. 面向0度方向，移动“半径”步长，到达第一个顶点；
3. 落笔；
4. 重复执行“边数”次：移动边长，左转( \frac{360}{边数} )度。

这里的边长要按正多边形内接圆半径计算：

[ \text{边长} = 2R \sin\left(\frac{180}{边数}\right) ]

注意Scratch的sin积木输入的是角度，所以在脚本里写“半径 × 2 × sin(180 ÷ 边数)”。这个式子就是前面弧度公式( 2R\sin(\pi/n) )经过角度转换后的形式。用这种方式画圆，虽然落笔点头一次给对了圆心，但因为角色是一圈圈绕回去的，累计误差比坐标法大，一旦边数多或者步长带小数，闭合处容易出现裂缝。我个人更推荐坐标法，排错更方便。

4. 实操过程记录：三版脚本的对比与踩坑

4.1 第一版：用移动加转向，圆心根本对不齐

我让社团里一个同学先用自己的老方法写，脚本大概是：重复执行360次，移动2步，左转1度。最后画出一个半径大约115的圆。我问他圆心在哪，他愣了半天，说大概是舞台中央偏右上。

这个版本的失败点在于：角色一开始移到哪个位置，这个位置就是整个圆的出发点，和真正的圆心没有明确关系。就像一个人原地转圈，不管他站在哪里都能转出一个圈，但你很难说这个圈的圆心是他脚底。代码里没有一个变量保存圆心坐标，自然无法满足“指定圆心”。

后来我把脚本改成：先移到(30,50)，然后面向0度移动80步，再重复执行360次“移动约1.4步，左转1度”。出来的圆确实经过目标点附近，但如果我要求圆心在(30,50)，它实际上是以(30,50)为起点绕出来的，圆心偏了不是一点点。这也是我下定决心切换到坐标法的原因。

4.2 第二版：坐标法画出来有缺口，问题出在循环次数

刚改成坐标法的时候，我用的是“重复执行72次，每次先更新坐标，再增加当前弧度”。结果画出来的圆从起点出发，最后一个点落在355度附近，和起点之间少了一道边，看上去有一个小缺口。

原因很简单：循环结束后，当前弧度还没走到360度，图形自然不会闭合。解决办法有两个，要么把循环次数改成73次，让它多走一步回到0度；要么像我前面的脚本一样，在每次循环开头就增加弧度，循环次数保持72次，最后一次增加后刚好是360度，自动闭合。这里没有标准答案，你只要确保“最后一个顶点等于第一个顶点”就行。

提示：检查图形是否闭合，最简单的方式是看最后一个点和第一个点坐标是否一致。可以用一个全局变量“起始x坐标”“起始y坐标”，在开笔前记下来，循环后用广播或判断比较一下。不需要真跑到舞台上量。

4.3 第三版：边数和性能的平衡怎么选

画圆时边数太少会看出多边形痕迹，边数太多脚本计算量大。我实测下来，静态画圆72条边是最舒服的选择。30条边会明显看到角，尤其大半径时尤其明显。120条边更平滑但提升空间有限，360条边跑起来也没问题，只是没太大必要。

如果这个脚本将来要用在“循环动画”里，比如每秒刷新30次，每次都要计算上百个点的坐标，那就要注意性能了。我建议动画场景下用36条边就够了，尤其在贴图上，其实玩家根本看不出区别。静态场景里追求圆润度，用72到120。

4.4 一个容易忽略的问题：坐标会超出舞台范围

Scratch舞台x坐标最大是240，y坐标最大是180。如果你把圆心放在(200, 100)，半径又是150，那圆的右边会到350，远远超出画面，只能看到一半圆。很多人一开始就懵了：明明半径是150，怎么只显示一小段弧？

要提前检查，只需要确保圆心坐标加上半径后不越界：

[ \text{圆心X} - \text{半径} \ge -240，\text{圆心X} + \text{半径} \le 240 ] [ \text{圆心Y} - \text{半径} \ge -180，\text{圆心Y} + \text{半径} \le 180 ]

例如圆心(30,50)、半径80完全在范围内，因为左右范围是-50到110，上下范围是-30到130，非常安全。如果圆心(150,100)、半径100，圆的上方到200，超出舞台顶部180，那就会出现截断。设计脚本时，要确保圆心和半径的搭配不会超过这个边界，否则画出来的图就像被剪刀剪过一样。

4.5 常见问题速查表

5. 画完这个圆之后，还能顺手做出哪些东西

5.1 画扇形和圆弧

如果你只要画一段圆弧而不是完整的圆，只需把循环次数从“边数”改成“目标角度对应的边数”。比如半圆，边数取72的话，半圆就是36个间隔，循环36次即可。如果想画从30度到120度的任意弧段，只要把“当前弧度”的初始值设成30度对应的弧度，把循环次数设成90度对应的间隔数，而不是每次都从0开始，图形就会非常精准。

这种方法特别适合画统计图里的饼图、时钟、仪表盘，或者各种弧形装饰。唯一要留心的是，画完圆弧后如果需要封闭扇形，记得再画两条从圆心到弧两端点的线段。

5.2 做圆周运动：让角色围绕一个点转圈

既然我们已经有了圆心坐标和半径，只要把“落笔”去掉，把“重复执行n次”改成“重复执行”，角色就可以沿着圆形轨道连续移动。比如让一个小球模拟行星绕中心转，每帧让“当前弧度”增加一点，然后更新坐标：

重复执行 将 当前弧度 增加 (0.05) 将x坐标设为 (圆心X + (半径 * cos(当前弧度 * 180 / 圆周率))) 将y坐标设为 (圆心Y + (半径 * sin(当前弧度 * 180 / 圆周率)))

这个改动几乎不费吹灰之力，就从一个静态图形变成了一个动画效果。做巡逻的敌人、围绕主角转圈的护卫、摆钟摆锤，都是同一套数学。这也是我为什么特别推荐掌握这个画圆思路的原因：它不是只能画一条线，而是把“一个点如何围绕另一个点运动”的基础模型装进了脚本里。

5.3 改变半径，顺手画出螺旋

如果把“半径”从常量改成变量，并在循环里让它逐渐增加，那画出来的就不再是圆，而是阿基米德螺旋。比如每走一步，半径增加0.5：

将 半径 增加 (0.5) 将x坐标设为 (圆心X + (半径 * cos(当前弧度 * 180 / 圆周率))) 将y坐标设为 (圆心Y + (半径 * sin(当前弧度 * 180 / 圆周率)))

半径逐渐变大，图形一圈圈向外扩大。这个效果很多特效里会用到，比如旋涡、雷达扫描线、装饰性花纹。核心改动就这么一点点，但能延伸出来的玩法非常多。

最后说点我个人的体会。我一开始觉得“画个圆还要扯到弧度，太小题大做”，但真正做完这个项目后，才理解为什么老师总强调“先把数学公式写出来，再动手拼积木”。坐标公式放在那里，圆心、半径、角度三个变量一改，整个图形就完全变样；而同样的道理放在移动转向法里，改一个参数就得重新调试半天。

如果你也是第一次接触这种“用坐标算图形”的思路，建议先用我给的参数把圆画出来，再改成自己的圆心和半径。等你跑通了第一版，试着把边数从10、36、72分别调一遍，看一眼图形的变化，你会对“多边形逼近”这四个字有更直观的感受。再往后，把圆变成圆弧，把圆弧变成圆周运动，就是水到渠成的事。