基础测度理论与严格分离证明详解
1. 基础测度理论
1.1 零测度集的引入
在研究实数集的子集时，我们常常需要对集合的大小或测度有一个精确的概念。假设我们有两个实数集的子集 (S_1) 和 (S_2)，且 (S_2 \subseteq S_1)，显然 (S_2) 不会比 (S_1) 大，我们需要明确在什么情况下可以说这两个集合大小相同，也就是集合之间的差异何时可以忽略不计。为了回答这个问题，我们引入零测度集的概念。
1.2 集合大小的定义
- 开区间的大小：对于实数集中的开区间 ((a, b))，我们定义其大小为 (b - a)，这与我们通常对长度的概念一致。
- 有限个不相交区间并集的大小：假设有 (n) 个不相交的区间 ((a_1, b_1), (a_2, b_2), \cdots, (a_n, b_n))，它们的并集 (G = (a_1, b_1) \cup (a_2, b_2) \cup \cdots \cup (a_n, b_n)) 的大小定义为 (\sum_{k = 1}^{n} (b_k - a_k))。
- 一般情况：如果一个子集 (S) 包含在这样的并集中，即 (S \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n} (a_k, b_k))，那么 (S) 的大小应满足 (size(S) \leq \sum_{k = 1}^{n} (b_k - a_k))。这个结论对于区间是否相交都成立。进一步推广到可数个区间的情况，如果 (S \subseteq \bigcu
