ChatGLM3-6B-128K生成效果：复杂数学证明题的逐步推导过程

ChatGLM3-6B-128K生成效果：复杂数学证明题的逐步推导过程

1. 这不是“能算数”的模型，而是真会“想问题”的推理伙伴

你有没有试过让AI解一道真正的数学证明题？不是填空、不是选择，而是从已知条件出发，一步步写出逻辑严密、符号规范、每一步都有依据的完整推导过程？

很多模型在面对“证明”类任务时，要么直接跳结论，要么堆砌术语却缺乏内在链条，甚至把反证法写成正向推导。但这次我用 Ollama 部署的ChatGLM3-6B-128K，连续测试了5道涵盖集合论、数理逻辑、实分析和抽象代数的中高难度证明题——它不仅给出了正确结论，更关键的是：每一步都可追溯、可验证、可教学。

这不是“答案生成器”，而是一个愿意陪你坐下来、拿纸笔、从定义出发慢慢搭逻辑脚手架的伙伴。尤其当题目涉及长前提（比如一段含7个嵌套量词的命题）、多步引理调用或跨章节知识串联时，它的128K上下文能力真正显现出价值：它不会“忘记”自己两页前刚定义的辅助函数，也不会混淆上一轮证明中构造的反例对象。

下面我就带你真实还原一次推理过程——不剪辑、不美化、不补全，只呈现它原生输出的思考流，并告诉你哪些地方值得细看、哪些细节暴露了它的强项。

2. 从零部署到第一道证明：Ollama 上跑起 ChatGLM3-6B-128K

2.1 为什么选 Ollama？轻量、干净、开箱即用

Ollama 是目前本地运行开源大模型最省心的方式之一。它不像 Docker 那样需要手动配环境变量，也不像 vLLM 那样得调一堆推理参数。你只需要：

• 下载安装 Ollama（macOS/Linux/Windows 均支持）
• 一行命令拉取模型：ollama run entropy-yue/chatglm3:128k
• 等待下载完成（约3.2GB），自动进入交互式终端

整个过程不到90秒，没有报错、没有依赖冲突、不需要显卡驱动额外配置。对只想专注“用模型解题”而非“调模型参数”的人来说，这是极友好的起点。

小提醒：虽然模型名带“128K”，但默认上下文窗口是32K。如需满血发挥长文本能力，启动时加参数--num_ctx 131072（即128K tokens）。我们后续所有测试均启用此设置。

2.2 模型本质：不是更大，而是更“懂怎么想”

ChatGLM3-6B-128K 并非简单把原版 ChatGLM3-6B 的位置编码拉长。它的升级是系统性的：

• 位置编码重设计：采用 ALiBi（Attention with Linear Biases）变体，让模型在超长距离下仍能稳定建模 token 间的相对关系，避免 RoPE 在 >32K 时的衰减失真；
• 训练策略针对性强化：在对话阶段，刻意注入大量含长链推理的合成数据（如“给定10行公理→推导出第17条引理→最终证明命题P”），而非仅靠文档续写；
• Prompt 格式深度适配：原生支持Thought:/Step:/Conclusion:三段式结构化输出，这对数学推理类任务是质的提升——它不再被迫把思考过程压缩进一句话，而是自然分步。

所以当你问：“请用ε-δ语言严格证明：若f在x₀处连续，且f(x₀)≠0，则存在δ>0使得当|x−x₀|<δ时，f(x)≠0”，它不会只回一个“证毕”，而是真的从“取ε=|f(x₀)|/2”开始，一步步写出定义展开、不等式放缩、δ的显式构造，最后闭环。

3. 实战拆解：一道实分析证明题的完整生成过程

3.1 题目输入与原始输出（未编辑）

我输入的问题是：

设 f: ℝ → ℝ 在 x₀ 处连续，且 f(x₀) ≠ 0。请用 ε-δ 定义严格证明：存在 δ > 0，使得当 |x − x₀| < δ 时，f(x) ≠ 0。

模型返回如下（为便于阅读，我仅保留核心推理段落，删去问候语和总结句）：

Thought: 我们需要利用 f 在 x₀ 处的连续性，即对任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 |x − x₀| < δ 时，|f(x) − f(x₀)| < ε。目标是保证 f(x) ≠ 0，即 |f(x)| > 0。由于 f(x₀) ≠ 0，我们可以取一个足够小的 ε，使得以 f(x₀) 为中心、半径为 ε 的区间完全不包含 0。这样，只要 f(x) 落在这个区间内，就一定不等于 0。 Step 1: 因为 f(x₀) ≠ 0，令 ε = |f(x₀)| / 2 > 0。这个 ε 是正数，且满足：若 |y − f(x₀)| < ε，则 y 不可能为 0（因为 0 到 f(x₀) 的距离是 |f(x₀)|，而 ε 是它的一半，所以 0 在该区间的外部）。 Step 2: 由 f 在 x₀ 处连续，对上述 ε，存在 δ > 0，使得当 |x − x₀| < δ 时，|f(x) − f(x₀)| < ε。 Step 3: 对任意满足 |x − x₀| < δ 的 x，有 |f(x) − f(x₀)| < |f(x₀)| / 2。 由三角不等式反向形式：|f(x₀)| ≤ |f(x₀) − f(x)| + |f(x)|， 移项得：|f(x)| ≥ |f(x₀)| − |f(x₀) − f(x)| > |f(x₀)| − |f(x₀)| / 2 = |f(x₀)| / 2 > 0。 因此 f(x) ≠ 0。 Conclusion: 取 δ 如 Step 2 所述，则当 |x − x₀| < δ 时，f(x) ≠ 0。证毕。

3.2 关键亮点解析：它做对了什么？

• Step 1 中 ε 的选取有明确动机：不是凭空写“令 ε = |f(x₀)|/2”，而是先说明“要让 f(x) 落在不包含 0 的邻域内”，再据此倒推 ε。这是教科书级的“分析法”思维。
• Step 3 使用了反向三角不等式：|a| − |b| ≤ |a − b|的变形，这是实分析中处理绝对值下界的关键技巧。模型不仅知道公式，更知道何时用、怎么用。
• 每一步都标注了依据来源：连续性定义、不等式性质、代数变形规则，虽未写成“引理X.X”，但逻辑锚点清晰。
• 无幻觉、无跳跃：没有出现“显然”、“易得”、“同理可证”这类逃避性表述；所有中间不等式都给出推导路径。

3.3 对比测试：同一题目，ChatGLM3-6B（标准版）的表现

为验证 128K 上下文的实际价值，我用相同 prompt 测试了标准版 ChatGLM3-6B（32K 上下文）：

• 它也给出了正确结论和大致步骤；
• 但在 Step 3 的不等式链中，漏掉了|f(x)| ≥ |f(x₀)| − |f(x₀) − f(x)|这一关键过渡，直接跳到|f(x)| > |f(x₀)|/2；
• 当我追问“这一步怎么来的？”，它才补出反向三角不等式，但解释较模糊，未强调这是从|f(x₀)| ≤ |f(x₀) − f(x)| + |f(x)|移项所得。

这印证了一个观察：长上下文不只是“记得更多”，更是“思考更深”——它允许模型在内部保留更长的推理中间态，从而减少因上下文截断导致的逻辑断层。

4. 更复杂的挑战：多引理嵌套证明的稳定性测试

4.1 题目：证明“有限集的幂集是有限集”，并显式构造其基数公式

这道题表面简单，但要求模型：

• 准确使用数学归纳法框架；
• 在归纳步骤中调用“添加一个新元素后幂集如何变化”的引理；
• 区分集合论中的“元素”与“子集”层级；
• 最终导出|P(A)| = 2^{|A|}并说明等号成立条件。

模型输出结构如下：

Thought: 本题适合用数学归纳法。基础情形 |A| = 0（即 A = ∅）时，P(∅) = {∅}，故 |P(∅)| = 1 = 2⁰。归纳假设：对任意含 k 个元素的集合 A，有 |P(A)| = 2ᵏ。现考虑含 k+1 个元素的集合 B。可将 B 写作 A ∪ {x}，其中 x ∉ A。则 P(B) 中的子集分为两类：不含 x 的子集（即 P(A) 中的全部）和含 x 的子集（即每个 P(A) 中的集合再并上 {x}）。这两类互不相交，且一一对应，故 |P(B)| = |P(A)| + |P(A)| = 2 × 2ᵏ = 2ᵏ⁺¹。 Step 1: 基础情形（|A| = 0）... Step 2: 归纳假设（对 |A| = k 成立）... Step 3: 构造 B = A ∪ {x}，x ∉ A... Step 4: 分类讨论 P(B) 的构成... Step 5: 建立双射：S ↦ S ∪ {x}，证明 |{S ⊆ B : x ∈ S}| = |P(A)|... Step 6: 求和得 |P(B)| = 2ᵏ + 2ᵏ = 2ᵏ⁺¹... Conclusion: 由数学归纳法，对任意有限集 A，|P(A)| = 2^{|A|}。

4.2 为什么这个输出值得细看？

• 显式区分“构造”与“论证”：Step 3 是构造性操作（写出 B 的形式），Step 4–5 是论证性操作（分类+双射），符合数学写作规范；
• 使用标准符号无歧义：S ⊆ B : x ∈ S表示集合族，S ↦ S ∪ {x}是映射定义，未用口语化表达替代；
• 关键引理被显式命名和复用：在 Step 5 中，“建立双射”这一操作，本质上复用了集合论中“添加单元素后幂集翻倍”的经典引理，模型虽未提引理编号，但行为上完成了复用；
• 未混淆“基数”与“元素个数”：全程使用|A|表示基数，未出现“集合有n个东西”这类不严谨表述。

这说明它已内化了数学表达的“语法习惯”，而不仅是模式匹配。

5. 实用建议：如何让 ChatGLM3-6B-128K 在数学任务中表现更稳

5.1 提示词（Prompt）设计的三个实用技巧

• 强制分步指令优于开放式提问
  ❌ “证明费马小定理”
  “请按以下结构回答：1. 明确陈述费马小定理；2. 列出证明所需的三个预备引理（群论角度）；3. 分四步写出主证明，每步标注所用引理或定义；4. 给出一个具体数值例子验证。”
  效果：结构化指令显著降低跳步率，提升步骤完整性。

• 主动提供“安全边界”信息
  在复杂题中，可追加一句：“请确保所有使用的定理均属于本科数学分析/线性代数课程范围，不引入研究生以上概念。”
  效果：防止模型调用过于高阶工具（如测度论、范畴论）导致不可验证。

• 用“纠错式追问”激活深度反思
  若某步推导存疑，不要问“对吗？”，而是：“如果我在 Step 3 中把不等式方向写反了，会导致结论失效吗？请指出具体哪一步依赖该方向，并给出反例。”
  效果：触发模型自我验证机制，暴露隐藏假设。

5.2 本地部署的性能实测参考（MacBook M2 Pro, 32GB RAM）

注意：响应时间受系统负载影响较大。建议关闭其他内存密集型应用；若频繁超时，可在~/.ollama/modelfile中添加PARAMETER num_threads 6限制线程数，换取稳定性。

6. 它不是万能的：当前局限与应对思路

6.1 明确的边界在哪里？

• 符号系统一致性不足：在涉及多套记号的领域（如微分几何中张量指标 vs 量子力学中狄拉克符号），可能混用∂ᵢ和∇ᵢ而不加说明；
• 超长证明的“记忆漂移”：当证明超过80步（如完整哥德尔不完备性定理手稿级长度），后半部分对前文引理的引用偶有偏差，需人工校验；
• 图形化辅助缺失：无法理解“作辅助线”“画单位圆”等指令，纯文本推理是其唯一模式。

6.2 我们的应对方式

• 分段验证法：将长证明切分为“引理组→主定理→推论”三段，分别提交，再人工拼接；
• 符号锚定法：在 prompt 开头明确定义：“本文中，∇ 表示梯度算子，∂ᵢ 表示对第 i 个坐标的偏导，二者不等价”；
• 交叉验证法：对关键步骤，用另一模型（如 Qwen2-Math）独立生成，比对逻辑链是否收敛。

这些不是缺陷，而是当前技术条件下合理的工作流设计。

7. 总结：它重新定义了“可用的数学AI”

ChatGLM3-6B-128K 在数学证明任务上的表现，已经越过“能答对题”的初级阶段，进入“能陪你想清楚”的协作阶段。它不替代你的思考，但能：

• 把模糊的直觉翻译成符号语言；
• 在你卡壳时，提示“这里可能需要构造一个辅助函数”；
• 写出的每一步，都经得起你拿红笔逐行批注；
• 当你质疑某步时，它能回溯到定义，重新推一遍。

这种能力，对数学系学生整理笔记、教师生成习题解析、研究者快速验证想法，都提供了真实可感的生产力提升。

它不是黑箱，而是一本会说话的《数学分析习题课讲义》——只是这本讲义，现在装进了你的笔记本电脑里。

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