直接压片单元模型开发教程（7）：驻留时间与转速效应——dt 的四套等价公式、真实数值锚点与应变速率敏感性

直接压片单元模型开发教程（7）：驻留时间与转速效应——dt 的四套等价公式、真实数值锚点与应变速率敏感性

版本声明块

• 工具/软件：Python 3.9 + numpy（<2）+ scipy（<1.14）+ matplotlib；TabletPress单元类为本系列二次开发示例类，非官方 API。
• 语言/环境：Python 3.9；PharmaPy 官方 requirements 未显式声明 Python 版本，以官方安装文档为准。本篇代码不依赖 PharmaPy。
• 本文目标：把驻留时间建成一个可审计的标量函数dwell_time_ms(...)，并用真实锚点做外部校验。

一句话结论：驻留时间 dt(ms) = (D_hf×60×1000)/(D_pc×π×rpm)，物理上等于冲头头部平面长度除以切向速度；真实锚点为 17 ms（Natoli NP-500@50rpm）、7–33 ms（Fette 1200i）、12.5 ms（XL400@60 min⁻¹），转速升高使 dt 按 1/rpm 缩短，通过应变速率敏感性（SRS）导致塑性变形减少、孔隙率增大、片剂变弱，这是研发与商业化性能不一致的主因。

〇、本篇要解决的认知问题

1. 驻留时间的权威定义到底是"压辊接触时间"还是"压力保持时间"？为什么必须用**冲头头部平面（head flat）**来定义？
2. 底账登记了四套公式，它们真的是同一个量吗？为什么我按其中一套算出来和另一套差 1000 倍？
3. 17 ms、7–33 ms、12.5 ms 这些锚点在什么条件下成立？我能用它们反推设备尺寸吗？
4. 为什么说 dwell time 是"放大归一化参数"？它归一化的到底是什么尺寸？
5. 应变速率敏感性（SRS）如何把"转速"这个操作参数翻译成"片剂变弱"这个质量属性？

一、机制解析

1.1 权威定义：与"head flat"接触的那段时间

底账给出的定义为：冲头在压辊下达到最大压入深度、不再垂直运动的时间；即压辊与冲头头部平面（head flat）接触的时间，以毫秒（ms）计。

这个定义有三个关键词，每一个都在建模时有具体后果：

• “不再垂直运动”：由第 6 篇的运动学可知，旋转机在最大位移附近速度趋近 0。所谓"驻留"，正是冲头速度曲线在零点附近的那一小段。它不是"从开始加压到卸压的全过程"，而是"接近最大位移、速度可忽略"的窗口。
• “冲头头部平面（head flat）”：这是定义的核心几何量。压辊压在冲头顶面上，顶面有一段是平的（plane/flat），这段平面决定了"压辊与冲头保持接触的弧长"。因此驻留时间的分子是冲头头部平面尺寸，不是冲头直径、不是片径。
• “以 ms 计”：数值落在十几毫秒到几十毫秒量级（见 1.3 节锚点）。这个尺度意味着：在十几到几十毫秒的窗口里，粉体几乎没有时间去完成充分的塑性流动——这就是 SRS 的物理土壤。

必须澄清一个术语陷阱：行业口语里有一个含义不精确的变体称谓，本系列统一不采用。它容易被理解为"压力保持在一个平台上的时间"，而驻留时间强调的是几何接触——两者在数值上并不相等。术语规范名表明确以"驻留时间（dwell time）"为准。

1.2 四套公式与量纲自检

底账登记的四种写法如下（原文照录，未做改写）：

先看概念式与实用式是否一致。切向速度 TV = π·PCD·rpm/60（第 6 篇已推导），单位为 mm/s。于是：

dt(s) = D_hf / TV = D_hf / (π·PCD·rpm/60) dt(ms) = 1000 · D_hf · 60 / (π·PCD·rpm) = (D_hf × 60 × 1000)/(D_pc × π × rpm)

与实用式完全一致。所以实用式就是概念式在"TV 用 mm/s、结果用 ms"约定下的代数展开。简化式的系数 60,000 也正是 60×1000 的来源，它把"分钟"与"毫秒"两个时间单位一次性折算了。

再看产量式，这里有一个必须提示的量纲陷阱。若令每小时片数 TPH = NS × rpm × 60（冲数×转速×60分钟），代入产量式：

dt = (L·NS·3600)/(π·PCD·TPH) = (L·NS·3600)/(π·PCD·NS·rpm·60) = (L·60)/(π·PCD·rpm)

而实用式给出的是(L·60000)/(π·PCD·rpm)。两者相差1000 倍。这在代数上是确定的，说明产量式中必然隐含了某个单位约定（例如 TPH 以"千片/h"计、或 L 以 m 计、或结果以 s 计）。结论：四式在概念上等价，但代数落地时必须统一单位；具体系数以 IMA Prexima 原文为准，不得凭记忆替换。这正是底账反复强调"以原文为准"的价值——一个 1000 倍的错误，会把 20 ms 变成 20 s，模型直接失效。

1.3 真实数值锚点（唯一可引用的实测/官方区间）

底账登记的可引用数值如下，撰写与代码校验只能使用这些条目：

请注意17 ms的完整定语：45 冲、双侧、80% 最高速即 50 rpm、加长平面冲头。这四个条件缺一不可——同样的转速下，若换成标准平面冲头，dt 会更短；若不是双侧而是单侧，机器结构不同。引用锚点时必须连同条件一起引用，否则就是把"某个特定机器在特定配置下的一个点"错当成"普适常数"。

1.4 dwell time 为什么是放大归一化参数

底账明确：dwell time 既是片剂强度的贡献因素，也是产品在不同压片机间转移/放大的归一化参数；其逻辑是"切向速度归一化转台尺寸，dwell 再归一化冲头平面"，且 dwell 被称为决定片剂硬度的主要因素。

把这句话拆成两步，逻辑就清楚了：

第一步：TV = π·PCD·rpm/60 → TV 里只剩"转台尺寸 PCD"与"转速 rpm"，把"机器大小"归一化成"切向速度"。 → 两台机器若要"同切向速度"，只需调节 rpm 使 PCD·rpm 相等。 第二步：dt = D_hf / TV → dt 里再除以"冲头头部平面尺寸 D_hf"，把"冲头形状"也归一化掉。 → 两台机器若要"同 dwell"，需同时匹配 PCD·rpm 与 D_hf。

因此，研发用小机和商业化大机之间做参数迁移，正确的自变量是 dt（ms），而不是 rpm，也不是主压力。这就是第 18 篇《转速放大与驻留时间归一化》的方法论基础；本篇先把 dt 这个标量算准。

1.5 SRS：把转速翻译成片剂变弱

应变速率敏感性（strain rate sensitivity, SRS）的因果链，底账已登记为：转速越快 → 材料可变形时间越短 → 塑性变形减少、孔隙率增大、片剂变弱，并且这是研发小试与商业化放大性能不一致的主因。

用建模语言重述：

rpm ↑ → dt ↓ → 可用于塑性流动的时间 ↓ │ ├→ 塑性变形量 ↓ → 压缩后孔隙率 ↑ └→ 同等最大压力下固体分数 ↓ │ └→ 抗张强度 ↓ → 破碎力 ↓、脆碎度 ↑

注意箭头方向：这是"转速导致的路径差异"，不是"最大压力不够"。很多放大失败的根因被误判为"压力没给够"，于是盲目加大主压力，结果反而造成过压、顶裂、脱模力飙升（这些量将在第 14 篇详述）。模型上，SRS 的正确表达方式是：强度是固体分数（或孔隙率）的函数（第 11 篇），而固体分数是"压力 + 时间（dt）"的函数（第 8/9 篇）。转速通过 dt 影响固体分数，从而间接影响强度。

1.6 架构图：dt 在 TabletPress 中的位置

rpm ─┐ PCD(mm) ─┼─► [TV 计算] ─► TV (mm/s) ─┐ │ ├─► dt_ms = D_hf/TV × 1000 ← 本篇 D_hf(mm) ──┴──────────────────────────┘ │ ▼ ┌──────────── 下游耦合 ────────────┐ │ 第 8/9 篇：dt 影响有效压缩时间， │ │ 影响固体分数 D │ │ 第 11 篇：D → 抗张强度 │ │ 第 18 篇：dt 作为放大归一化参数 │ └──────────────────────────────────┘

1.7 四套公式的适用场景对照

四套公式既然代数上等价，为什么还要全部列出？因为它们在不同信息条件下可用。建模者手头的数据不同，应选不同写法：

选择原则很简单：只要手头有 PCD 与 rpm，就用实用式；只有在"只拿到产量数据、拿不到转速"的场合，才用产量式，并务必核对单位（见 1.2 节 1000 倍陷阱）。无论用哪一种，最终都应回到"dt = 头部平面长度 ÷ 切向速度"这个概念式去解释——因为它是唯一不依赖任何单位约定的表达。

1.8 转速效应的三条可检验预测

从底账登记的 SRS 因果链出发，可以写出三条方向性的可检验预测。它们的价值在于：只要做一组变转速试验，就能判断模型方向是否正确。

1. 固定主压力、提高转速 → 孔隙率增大（固体分数下降）。因为塑性变形时间被压缩，粉体来不及填充空隙。
2. 固定主压力、提高转速 → 片剂变弱（抗张强度/破碎力下降）。因为固体分数下降，而强度随固体分数增大（USP⟨1062⟩）。
3. 两台机器若 dt 相同 → 片剂强度应可比。这是"dt 作为归一化参数"成立的前提，也是第 18 篇放大的理论基础。

必须强调：这三条是可检验假设，不是已证实的数值关系；具体量级取决于材料的 SRS 强弱（脆性材料对时间更不敏感，塑性材料更敏感）。在任何报告中，都应把它们写成"预期方向"而非"确定结论"。若实测出现相反方向（例如转速升高反而更硬），首先要检查的是温度、润滑、填料是否同时被改变——多变量同时变化是放大试验最常见的陷阱。

二、完整代码与逐行剖析

# -*- coding: utf-8 -*-""" 第 7 篇：驻留时间（dwell time）与转速效应 ================================================================= 说明：本脚本属于"直接压片单元模型开发教程"系列的二次开发示例，非任何官方 API。 公式与数值锚点全部取自本系列事实底账；产量式的单位约定以 IMA Prexima 原文为准。 """importnumpyasnpimportmatplotlib matplotlib.use("Agg")importmatplotlib.pyplotasplt# ----------------------------------------------------------------------# 1) 核心函数：驻留时间# ----------------------------------------------------------------------deftangential_velocity(pcd_mm,rpm):"""切向速度 TV = π·PCD·rpm/60，返回 mm/s。"""returnnp.pi*pcd_mm*rpm/60.0defdwell_time_ms(punch_flat_mm,pcd_mm,rpm):"""实用式 dt(ms) = (D_hf × 60 × 1000)/(D_pc × π × rpm)。 等价写法：dt(ms) = D_hf / TV × 1000，TV 单位 mm/s。 """return(punch_flat_mm*60.0*1000.0)/(pcd_mm*np.pi*rpm)defdwell_from_tph(punch_flat_mm,pcd_mm,n_stations,tph):"""产量式（单位约定以 IMA Prexima 原文为准）：(L·NS·3600)/(π·PCD·TPH)。"""return(punch_flat_mm*n_stations*3600.0)/(np.pi*pcd_mm*tph)# ----------------------------------------------------------------------# 2) 一致性自检：概念式 vs 实用式（应完全一致）# ----------------------------------------------------------------------defcheck_equivalence(D_hf=11.0,PCD=292.0,rpm=50.0):tv=tangential_velocity(PCD,rpm)# mm/sdt_concept=D_hf/tv*1000.0# 概念式 → msdt_practical=dwell_time_ms(D_hf,PCD,rpm)# 实用式 → msprint(f"[等价性] 概念式={dt_concept:.6f}ms 实用式={dt_practical:.6f}ms "f"差={abs(dt_concept-dt_practical):.3e}ms")returndt_concept,dt_practical# ----------------------------------------------------------------------# 3) 转速扫描：dt 按 1/rpm 缩短# ----------------------------------------------------------------------defrpm_sweep(D_hf,PCD,rpm_list):rows=[]forrpminrpm_list:tv=tangential_velocity(PCD,rpm)rows.append((rpm,tv,dwell_time_ms(D_hf,PCD,rpm)))returnrows# ----------------------------------------------------------------------# 4) 反演：已知 dt 与 rpm，估算 D_hf（需已知 PCD）# ----------------------------------------------------------------------defback_calc_flat(dt_ms,pcd_mm,rpm):"""由 dt(ms)=D_hf·60000/(π·PCD·rpm) 反解 D_hf(mm)。"""returndt_ms*np.pi*pcd_mm*rpm/60000.0# ----------------------------------------------------------------------# 5) 主流程# ----------------------------------------------------------------------defmain():# 5.1 等价性自检check_equivalence()# 5.2 用 XL400 理论锚点 12.5 ms @60 min^-1 做"反演示意"# 注意：XL400 的 PCD 未在底账登记，此处借用 NP-255 的 PCD=292 mm 仅作示意，# 真实 PCD 以设备官方样本为准。PCD_demo=292.0D_hf_demo=back_calc_flat(12.5,PCD_demo,60.0)print(f"[反演示意] 若 PCD={PCD_demo}mm 且 dt=12.5 ms @60 min^-1，"f"则 D_hf≈{D_hf_demo:.2f}mm（示意值，非 XL400 实参）")# 5.3 锚点复算：给定 17 ms @50 rpm，反演 D_hf（PCD 未登记，仅示意）D_hf_17=back_calc_flat(17.0,PCD_demo,50.0)print(f"[锚点示意] dt=17 ms @50 rpm（NP-500 条件），"f"若 PCD={PCD_demo}mm 则 D_hf≈{D_hf_17:.2f}mm（示意）")# 5.4 转速扫描与曲线rows=rpm_sweep(D_hf=11.0,PCD=PCD_demo,rpm_list=[10,20,30,40,50,60,70,80,90,100])print("rpm | TV(mm/s) | dt(ms)")forrpm,tv,dtinrows:print(f"{rpm:4d}|{tv:9.1f}|{dt:7.2f}")rpms=np.array([r[0]forrinrows])dts=np.array([r[2]forrinrows])fig,ax1=plt.subplots(figsize=(6.4,4.0))ax1.plot(rpms,dts,"o-",color="tab:blue")ax1.set_xlabel("转速 rpm / min$^{-1}$")ax1.set_ylabel("驻留时间 dt / ms",color="tab:blue")ax1.axhline(17.0,ls="--",color="tab:red",lw=1)ax1.text(12,17.6,"Natoli NP-500 锚点 17 ms",color="tab:red",fontsize=8)ax1.grid(alpha=0.3)fig.tight_layout();fig.savefig("fig07_dwell_vs_rpm.png",dpi=130)print("已输出 fig07_dwell_vs_rpm.png")# 5.5 用 PCD=292、D_hf=11 时 50 rpm 对照实用式print(f"[对照] D_hf=11 mm, PCD=292 mm, 50 rpm → "f"dt={dwell_time_ms(11.0,292.0,50.0):.2f}ms")if__name__=="__main__":main()

2.1 逐段剖析

（1）tangential_velocity只依赖 PCD 与 rpm。这是第 6 篇结论的直接复用。把 TV 单独成函数，是为了让dwell_time_ms读起来就是"平面长度 ÷ 速度"，一眼可见物理意义。

（2）dwell_time_ms的系数 60×1000 不可省、不可乱改。它来自"rpm 是每分钟、dt 是毫秒"的单位折算。若把 dt 改成秒，系数退化为 60；若 TV 用 mm/min，写法又会变。在代码里用注释把单位约定钉死，是避免 1000 倍事故的唯一有效手段。

（3）check_equivalence是"内部一致性测试"。概念式与实用式应当数值完全相同（差值 ~1e-16 量级的浮点误差）。若不等，说明你的 TV 单位或系数错了。这不是可选步骤，而应作为单元测试固化。

（4）反演函数back_calc_flat的定位。它的用途是：当我们已知 dt 与 rpm（例如论文里只报了这两个数），想反推该实验用了多长的头部平面。但反演需要 PCD——若论文未报 PCD，反演就必须放弃或标注为示意。代码 5.2/5.3 节刻意借用了 NP-255 的 PCD=292 mm 做"示意"，并在打印与注释中反复声明，避免被后续读者误当成 XL400/NP-500 的真实参数。

（5）转速扫描展示 1/rpm 反比。代码 5.4 节固定 D_hf 与 PCD，只变 rpm。数值上，rpm 从 20 翻到 40，dt 精确减半。这条反比关系是转速效应的全部数学内容——剩下的都是"SRS 把这个时间缩短翻译成多少强度损失"的材料问题。

2.2 用锚点做外部校验的正确姿势

核心纪律：锚点是用来"证伪"的，不是用来"反推未知参数后宣称正确"的。若模型在某个合理 PCD 下算出的 dt 完全落在 7–33 ms 之外，才说明模型或输入有误。

2.3 手算校核清单（把量纲错误挡在提交前）

每次给出 dt 数值之前，走一遍下面这张清单，可以拦下绝大多数错误：

"rpm 翻倍 dt 减半"是最强的一条手算检验：它不需要任何数值基准，只依赖 dt ∝ 1/rpm 这一结构性质。

2.4 把 dt 接进 TabletPress 单元类

在自研TabletPress单元类中，驻留时间应当是一个从属于运动学的标量方法，而不是独立模块：

class TabletPress: # 自研示例类，非官方 API def __init__(self, punch_flat_mm, pcd_mm, rpm, ...): ... def tangential_velocity(self): # mm/s return np.pi * self.pcd_mm * self.rpm / 60.0 def dwell_ms(self): # ms return self.punch_flat_mm / self.tangential_velocity() * 1000.0

这样组织有三个好处：一是dwell_ms与tangential_velocity共享同一份几何参数，不会出现两处 PCD 不一致；二是当配方从一个机型换到另一个机型时，只要改构造参数，dt 自动更新；三是把 SRS 留在下游（第 8/9 篇的压缩方程）处理，单元类本身只提供"时间尺度"，职责单一。

三、常见报错与排查

现象 1：dt 算出来是 17000 ms 或 0.017 s，数量级离谱。
根因：产量式与实用式的 1000 倍量纲差异（见 1.2 节），或把系数 60 写成 0.06。
解法：先跑check_equivalence；概念式与实用式必须逐位相同。产量式单独封函数，并注明"单位约定以原文为准"。

现象 2：直接拿 17 ms 去反推 D_hf，结果 D_hf 是负数或几百毫米。
根因：PCD 用错（如把片径当 PCD），或 rpm 用了百分比而非绝对值（NP-500 的"80% 最高速"= 50 rpm，需换算）。
解法：落实"80% 最高速 = 50 rpm"这一官方条件；PCD 必须来自设备样本，不可假设。

现象 3：把 dwell time 与"压缩总时间"混为一谈。
根因：定义理解错——压缩总时长是位移曲线从开始到结束的时间（第 6 篇的 t_comp），而 dt 只覆盖"速度趋近 0、压辊与头部平面接触"的窗口。
解法：在模型里把两者分成两个字段（t_compression与dwell_ms），不要复用同一变量名。

现象 4：认为"dt 只与转速有关"。
根因：忽略 D_hf 与 PCD。
解法：牢记 dt ∝ D_hf/(PCD·rpm)。换冲头（不同头部平面）会改变 dt，这是配方转移时最容易被漏掉的变量——同一台机器、同样的 rpm，只因为换了冲头，dwell 就变了。

现象 5：拿"8–25 ms 通用区间"当权威结论。
根因：该条目是行业站（★）数值，仅作参考。
解法：正文引用时写"以官方文档为准"，优先使用厂商锚点（Natoli 17 ms、Fette 1200i 7–33 ms、XL400 12.5 ms）。

现象 6：把 D_hf 取成冲头直径或片径。
根因：把"头部平面尺寸"与"冲头直径"混为一谈。
解法：冲头直径（如常见的 8–10 mm 量级）远大于头部平面尺寸；dt 的分子是头部平面沿压缩方向的长度。换冲头型号时，D_hf 是必须重新确认的参数，以冲头厂家图纸为准，不得用直径代替。

现象 7：用驻留时间解释"为什么这台机器压力显示更高"。
根因：把"时间尺度"与"力/应力尺度"混为一谈。
解法：dt 只解释"粉体有多少变形时间"，不解释压力读数差异。压力读数的差异要先排除力标定、冲头面积、力传递比（第 14 篇）等因素，再谈时间效应。

四、动手练习

练习 1（基础）：复现 1/rpm 反比。
任务：固定 D_hf=11 mm、PCD=292 mm，计算 rpm=25/50/100 的 dt。
成功判定：三值依次约为 28.8/14.4/7.2 ms（相邻比值 2.00±0.02，符合 dt∝1/rpm）；并验证check_equivalence打印的差值 < 1e-9 ms。

练习 2（进阶）：用 dt 做两台机器的"等效转速"换算。
任务：机器 A（PCD=292 mm、D_hf=11 mm），机器 B（PCD=430 mm、D_hf=13 mm，PCD 为示意值）。求 B 在什么 rpm 下与 A 在 50 rpm 时 dt 相同。
成功判定：列出方程并数值求解，使两机 dt 之差 < 0.05 ms；同时说明"PCD 若为示意值，该结论仅作方法演示，真实 PCD 以官方样本为准"。

练习 3（综合）：把 SRS 写进 TabletPress 的接口预留。
任务：为TabletPress增加方法dwell(rpm)，返回 dt；再预留compact(rpm)形参占位，并在 docstring 中写明"转速通过 dt 影响塑性变形时间，进而影响固体分数（详见第 8/9 篇），是 SRS 的载体"。
成功判定：dwell(50)对 D_hf=11、PCD=292 返回 14.4±0.1 ms（TV≈764.4 mm/s）；docstring 中包含"dt"、“SRS”、"固体分数"三个关键词。

五、小结与下一篇预告

驻留时间 dt(ms) = (D_hf×60×1000)/(D_pc×π×rpm)，它与切向速度 TV=π·PCD·rpm/60 的关系是dt = D_hf/TV；四套公式在概念上等价，但产量式存在 1000 倍量纲陷阱，落地必须以 IMA Prexima 原文为准。有出处的锚点（17 ms / 7–33 ms / 12.5 ms 等）必须连同条件引用。dwell 之所以是放大的归一化参数，是因为它同时归一化了转台尺寸（经 TV）与冲头平面（经 D_hf）；转速通过缩短 dt 触发 SRS，进而降低固体分数与片剂强度。

本篇留下的最重要的一条工程习惯是：凡在报告里出现 dt 的数值，必须同时写出它的四个自变量（D_hf、PCD、rpm、以及头部平面来源）与所用公式形式。因为同一个数值（例如 14.4 ms 对应 D_hf=11 mm、PCD=292 mm、rpm=50），换一组参数就会变成完全不同的量；脱离条件引用数值，是驻留时间讨论中最常见的失真来源。

dt 让我们知道"粉体有多少时间变形"，但"在给定压力下变形到什么程度"仍需压缩方程来回答——这就是第 8 篇（Heckel 分析与屈服压力 Py）的主题。dt 将在第 18 篇（转速放大与驻留时间归一化）成为核心自变量，而它影响的固体分数将由第 10 篇精确定义、由第 11 篇翻译为抗张强度。

本篇认知问题回显（FAQ）

Q1：驻留时间的权威定义是什么，为什么用冲头头部平面定义？
A：驻留时间是冲头在压辊下达到最大压入深度、不再垂直运动的时间，即压辊与冲头头部平面（head flat）接触的时间，以毫秒计；用头部平面是因为接触弧长由该平面尺寸决定。

Q2：四套 dt 公式真的等价吗，为何会算出 1000 倍差异？
A：概念式与实用式代数完全一致（dt=D_hf/TV）；产量式因隐含单位约定（如 TPH 以千片/h 计）与实用式相差 1000 倍，必须统一单位，具体系数以 IMA Prexima 原文为准。

Q3：17 ms、7–33 ms、12.5 ms 这些锚点能在什么条件下使用？
A：必须连同条件使用——17 ms 对应 Natoli NP-500（45 冲、双侧、50 rpm=80% 最高速、加长平面冲头），7–33 ms 对应 Fette 1200i，12.5 ms 是 XL400@60 min⁻¹ 的理论值，只能用于合理性校验。

Q4：为什么说 dwell time 是放大归一化参数，归一化的是什么尺寸？
A：因为它经切向速度归一化转台尺寸（PCD），再经 D_hf 归一化冲头平面尺寸；放大时应匹配 dt（ms）而非 rpm，dwell 被称为决定片剂硬度的主要因素。

Q5：应变速率敏感性（SRS）如何把转速翻译成片剂变弱？
A：转速越快→材料可变形时间越短→塑性变形减少、孔隙率增大、片剂变弱；这是研发小试与商业化放大性能不一致的主因。