拉格朗日、牛顿、样条这些名字，刚接触数值计算的同学基本都会背，但真到了自己动手算题、写代码、处理一组实验数据的时候，往往还是不知道选哪个。我当年学这一章，最深的感受就是：公式能看懂，作业能做完，但完全不理解为什么要发明这么多种插值方法，更不清楚它们之间到底是什么关系。
这章的内容在整门数值计算课里属于承上启下的位置。前面学的误差分析、浮点数、泰勒展开，在这一章会第一次真正派上用场；后面要学的数值积分、数值微分、常微分方程数值解，又全都要依赖“用多项式近似函数”这套思想。所以如果能把这一章吃透，后面学什么都顺畅。
这篇内容我从这章真正想解决的问题讲起，把拉格朗日、牛顿、分段插值、样条、最小二乘这条线串起来，再结合我实际用Python跑实验的记录，把书上没写的那些坑和心得一并整理出来。
1. 这一章到底在解决什么问题
1.1 一个问题引发的思考
先说一个现象。你手里有一组测量数据，比如某个物理实验在不同时间点记录的温度值，一共测了8个点。现在你想知道第2.5秒的时候温度大概是多少，但你没有那个时刻的实测数据。怎么办？
最直接的做法是拿尺子把相邻两个点连起来，在中间那段直线上找对应的温度值。这就是最朴素的分段线性插值。本质上做的事情是：在已知离散数据点之间，用一个简单的函数把空隙填上，让这个函数经过所有已知点。
但如果我想知道整段时间范围内温度的变化趋势，而不只是某两个点之间的值，分段直线就太粗糙了。于是自然想到：能不能构造一个多项式，让它恰好穿过所有已知点，再用这个多项式来预测任意时刻的数值？
这就是插值问题的核心。数学上这么定义：给定n+1个互异的节点x0, x1, ..., xn，以及这些节点上对应的函数值y0, y1, ..., yn，我们要找一个多项式p(x)，使得p(xi) = yi 对每个i都成立。然后就用这个p(x)去计算其他位置的近似值。
这类问题在工程里太常见了。查表的时候需要估计表格之外的中间值，这叫内插；需要根据已有数据推测范围之外的趋势，这叫外推。无论是机械设计里的应力系数查表，还是气象数据插值做等值线图，本质上都是同一个数学问题。
1.2 为什么偏偏要用多项式
理解了要解决的问题，下一个自然的问题是：为什么逼近函数的时候首选多项式？
一个重要的原因是Weierstrass逼近定理：如果f(x)在闭区间上连续，那么对于任意给定的精度，都存在一个多项式能以这个精度一致逼近f(x)。通俗地说，连续函数都可以被多项式逼近到任意程度。这个定理给了我们底气——用多项式做逼近理论上没有什么不可逾越的障碍。
说得更实际一点，多项式的优势在于运算简单。加减乘除都能快速计算，求导、积分有现成的公式，计算量可控。相比之下，如果用三角函数或者指数函数去拟合数据，光是函数求值本身就要消耗大量计算资源。在一台没有浮点协处理器的老式设备上做气象数据插值，多项式的计算效率优势会被放大得非常明显。
还有个容易被忽略的点：多项式的泰勒展开形式让我们可以很方便地估计误差。利用插值余项公式，能明确知道当前逼近的误差有多大，从而判断是否需要提高多项式次数或者加密节点。
1.3 插值和拟合的边界要先分清
学这一章之前，很多人容易把“插值”和“拟合”搞混。当年我也是纠结了好久才完全理清这两个概念的区别。
插值的关键约束是p(xi) = yi，多项式必须严格穿过每一个数据点。这适用于数据本身比较可靠、没有明显噪声的情况。最小二乘拟合则允许多项式不穿过数据点，只要求整体偏离最小，适用于数据本身带有随机误差的工程测量场景。
这个区分很重要。如果把带噪声的测量数据硬做插值，得到的函数会因为这些噪声而剧烈波动，反而失真。后面的章节我会专门讲最小二乘，但在理解插值方法的时候，心里要先有这根弦。
2. 两类核心插值方法：拉格朗日与牛顿
2.1 拉格朗日插值：思路直接，适合理论分析
拉格朗日插值的思路在不熟悉数学推导的人看来，其实是比较直观的。既然要求多项式p(xi) = yi，那就构造一组特殊的基函数，每个基函数只在一个节点上取值为1，在其他所有节点上取值为0。
比如给定三个点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)，拉格朗日基函数L0(x)要满足L0(x0) = 1，L0(x1) = 0，L0(x2) = 0。可以这样构造：
L0(x) = ((x - x1)(x - x2)) / ((x0 - x1)(x0 - x2))
代入x0、x1、x2验证，结果分别为1、0、0，正好符合要求。于是插值多项式写成：
p(x) = y0·L0(x) + y1·L1(x) + y2·L2(x)
这个构造逻辑非常清晰，每个基函数负责“接管”一个节点的贡献。好处是结构一目了然，程序实现也简单，每个基函数都可以独立计算，彼此之间不干扰。
我当时用Python写拉格朗日插值，核心代码就十几行：先写一个函数计算单个基函数，再在主函数里对每个节点累加yi乘以对应的基函数值。实现过程很顺，几乎没遇到什么障碍。
拉格朗日形式的最大问题在于：如果节点数量增加了，哪怕只增加一个节点，所有基函数都得重新算一遍。因为每个基函数的分母和分子都发生了变化。这在动态调整节点数的场景下非常不经济。
2.2 牛顿插值：差商递推，适合数值计算
牛顿插值形式走的是完全不同的路线。它引入差商的概念，把插值多项式写成一个逐次累加的形式：
p(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + ...
其中f[x0,x1]是f在x0和x1上的一阶差商，f[x0,x1,x2]是二阶差商，它们都可以用递推公式从函数值计算出来。
写成这种形式的巧妙之处在于：当增加一个新节点时，之前已经算好的系数全部保留，只需要在原有多项式后面追加一项即可。这个性质在逐步增加插值节点的场景下价值极大。
我实际写牛顿插值的时候，发现差商表的构建是个递推填表的过程。把函数值放在第一列，然后用公式f[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)算一阶差商，再用一阶差商算二阶差商，逐层往上填。这个过程用二维数组存非常直观，代码结构也简单。
条件数问题上，牛顿插值算法本身的运算量大约需要n²/2次除法。在节点数量不大时，两种方法差距不明显；但n比较大时，牛顿差商的递推计算会明显更节省，而且代码的自然结构也方便增量计算。
2.3 殊途同归：两种形式，同一个多项式
这一点在学的时候一定要想清楚：给定同样的n+1个节点，拉格朗日插值和牛顿插值得到的是同一个多项式，只是表达形式不同。
原因是插值多项式在“次数不超过n的多项式空间”里是唯一的。假设有两个n次多项式p和q都经过n+1个互异节点，那么它们的差r = p - q也是一个次数不超过n的多项式，而且至少有n+1个不同的零点。一个n次多项式最多只能有n个零点，除非它是零多项式。所以r必须恒等于0，p和q完全相同。
这个唯一性定理的价值在于：不同形式的插值多项式只是同一事物的不同表达，我们可以根据使用场景选择最方便的形式，而不用担心计算结果不一致。拉格朗日形式适合理论推导和证明，牛顿形式适合实际数值计算，两者不矛盾。
误把两个不同形式的插值多项式当成不同的方法、做了重复的习题，是很多初学者绕的弯路。我当时也一度困惑，后来用同一个插值函数分别用两种方法编程验证，数值结果完全一致，才彻底放心。
2.4 插值余项：逼近到什么程度
只知道怎么构造插值多项式是不够的，还得知道误差有多大。教科书上给出的是带拉格朗日余项的误差公式：
R(x) = f(x) - p(x) = f^(n+1)(ξ) / (n+1)! · Π(x - xi)，i从0到n
其中ξ是包含所有节点和x的区间内某个数。这个式子在实际使用中有一个难点：ξ的具体位置很难确定，所以通常用f^(n+1)在区间上的上界M来代替，得到误差估计：
|R(x)| ≤ M / (n+1)! · |Π(x - xi)|
这个形式的误差估计揭示了几件事。
等式里的Π(x - xi)是一个和节点分布有关的量，它的大小和x所在位置直接相关。如果x离所有节点都比较近，这个乘积就小；如果x在节点区间之外，这个乘积可以非常大，意味着外插的误差会迅速膨胀。所以实际应用里，很少对外推结果抱有太高的信任。
另一个方面，分母上的(n+1)!增长得非常快，这让我们觉得提高次数可以快速减小误差。但不要忘了，分子上的高阶导数上界M也可能随着n增大而剧烈增长，尤其是对被逼近函数本身性质不好的情况。这两股力量互相竞争，造成了后面要讲的龙格现象。
3. 高次插值并不总是更好
3.1 龙格现象：等距节点的隐患
学插值这一章，几乎所有人都会撞上龙格现象。教科书里最经典的反例是f(x) = 1 / (1 + 25x²)，在区间[-1, 1]上取等距节点做高次多项式插值。随着插值次数提高，在端点附近反而出现了越来越大的振荡，误差甚至在端点区域发散。
我一开始只是把龙格现象当作一个需要记住的结论，并没有真正理解为什么会这样。直到自己写了程序、画出了不同次数下的插值曲线，才直观感受到这种振荡有多剧烈。n=10的时候，曲线在端点附近已经出现明显波浪；n=20的时候，端点附近的波峰几乎要把整条曲线掀翻，而中间区域的逼近效果却很好。
问题出在哪儿？从误差公式来看，等距节点在高次时使得|Π(x - xi)|在区间端部变得非常大，增长速度超过了(n+1)!的衰减作用。而f^(n+1)(ξ)上界也在增长，于是误差被完全压不住地放大了。
这个现象的工程启示很明确：不要盲目追求高次多项式插值，尤其是在节点等距分布的情况下。高次并不意味着精确，反而可能更不可靠。
3.2 防止振荡的节点选择策略
那是不是高次插值就完全不可取？也不是。关键问题出在等距节点的分布方式上。如果改变节点分布，让节点在区间端点附近更密集、中间更稀疏，龙格现象就能被显著抑制。
这里要用到切比雪夫节点。在[-1, 1]区间上，n+1个切比雪夫节点的位置是：
xk = cos((2k+1)π / (2n+2))，k = 0, 1, ..., n
这些节点的分布方式恰好是两端密集、中间稀疏，从理论分析可知，在这个节点集上的多项式插值误差可以更均匀地分布在整个区间上，从而避免端点处误差的集中放大。
我在实验里用f(x) = 1 / (1 + 25x²)做对比：同样是n=15，等距节点的插值在端点附近振荡严重、误差约在10量级；改用切比雪夫节点后，误差降到10^-3量级，整条拟合曲线几乎贴合原函数。这个差距不是一点点，是几个数量级的差异。
如果实际问题的区间是[a, b]而不是[-1, 1]，用线性变换把切比雪夫节点映射过去即可：
x = (a + b) / 2 + (b - a) / 2 · xk
这一小节的内容让我意识到，在数值计算里，问题不在于“要不要用高次插值”，而在于“用什么节点做高次插值”。选择合适的节点分布往往比单纯降低次数更有效。
3.3 高次插值的使用前提
即便如此，我现在的代码里仍然很少直接用高次多项式插值。原因很简单：切比雪夫节点需要事先确定节点位置，而这个条件在很多实际场景下并不成立。比如数据是从传感器采样得到的，节点的位置是由采样时间决定的，没有办法自由调整。
再有，就算节点分布优化得很好，多项式次数一高，数值稳定性也会变差。计算过程中的舍入误差会被放大，高次多项式的条件数本身就很大，甚至可能掩盖插值方法本身的理论精度。
所以我的经验是：高次多项式插值更适合用于理论推导、构造数值积分公式、以及那些节点位置可以自主调整的特定场景。对于一般的工程数据，分段低次插值和样条插值是更稳妥的选择。
4. 分段低次插值与样条：稳定的工程选择
4.1 分段线性插值：简单到极致
分段线性插值的思想一句话就能说清：把每两个相邻节点连成一条直线段，整体得到一条折线。这个方法在计算上极其简单，每个区间只需要一次线性插值，而且局部性很好——修改一个节点的值只会影响相邻两个区间，不会波及全局。
我最早接触分段线性插值是做温度数据曲线图的时候。把几百个采样点直接连成折线，结果就是一条看起来很“硬”的曲线，转折处棱角分明。对很多工程场景来说，这种粗糙度可以接受，因为数据本身精度有限，曲线光滑不光滑并不重要。
分段线性插值的另一个好处是稳定性。它的误差是O(h²)量级，其中h是相邻节点的最大间距。想要提高精度，只需要加密节点，而不会出现高次插值那种越加密反而越振荡的情况。这一点在实际应用中非常关键。
缺点是函数在节点处不可导，导数不连续。如果后续需要计算导数或者要求曲线足够光滑，分段线性插值就撑不住了。
4.2 三次样条插值：光滑与稳定的平衡点
既想要分段插值的稳定性，又想要整体足够光滑，三次样条就是一个很好的平衡方案。三次样条在每个小区间上用一个三次多项式，但在相邻区间的连接点上要求函数值、一阶导数、二阶导数都连续。这样就得到了一个整体上二阶光滑的分段函数，既避免了高次插值的振荡，又克服了分段线性的不光滑问题。
我第一次真正理解三次样条的价值，是在处理一条数据量不大的实验曲线时。用三次样条插值得到的曲线不仅通过了所有数据点，而且曲线形态非常自然流畅，没有分段折线那种生硬的转折感。
三次样条的构造思路是：每个区间上的三次多项式有4个未知系数，n个区间共4n个未知数。每个区间内部要求插值条件给2个方程，区间连接处的函数值连续给n-1个方程，一阶导连续给n-1个方程，二阶导连续给n-1个方程。总共加起来还差2个方程，于是需要加上边界条件，常用的有自然边界条件（两端二阶导为零）或者固定边界条件（两端一阶导给定）。
求解三次样条最终归结为求解一个三对角线性方程组。这个方程组只有约3n个未知数，而且三对角结构可以用追赶法非常高效地求解，计算量是O(n)量级，对于几千个数据点来说完全不是负担。
4.3 实际计算中直接调库还是自己实现
在实际工程里，做三次样条插值通常不必自己从头实现。各类科学计算库都有现成模块：Python的scipy.interpolate.CubicSpline和相关样条接口可以直接用；MATLAB的csape接口更灵活，还能配合不同边界条件生成样条。
但学这一章的时候，我还是强烈建议自己至少手写一遍三对角方程组的解法。不是为了“造轮子”，而是为了真正理解样条的内部结构。十二年之后我遇到一个需要定制边界条件的工业应用场景，就是因为在脑海里对样条方程的结构非常清楚，才能快速写出适合自己需求的变体版本，而不必被现成库的接口限制。
如果只是做数据处理，直接用现成库也完全没问题。我的建议是：学习阶段手写+验证，工作阶段用库+抽查，两头都要有数。
5. 当插值失灵时：最小二乘逼近兜底
5.1 数据有噪声时，插值是错的
插值要求函数严格穿过每个数据点。这个要求本身隐含了一个前提：这些数据点是精确的。而在真实的工程测量中，数据总是带有噪声的。传感器测量温度有误差，测量位置有误差，实验记录有误差。如果硬让一条多项式曲线穿过所有带噪声的点，曲线就会被噪声的形状带着走，产生大量无意义的起伏。
这种现象我在处理实验数据时遇到过好多次。有一组标定数据总共20个点，直接做插值得到的曲线波动大得离谱，后来分析发现是因为个别测量点的误差比较大。改用最小二乘拟合一个低次多项式后，曲线变得合理得多，虽然不经过每个数据点，但整体趋势和物理规律吻合得更好。
这就是为什么数值计算课在讲完插值之后，紧接着要讲最小二乘逼近。它代表的是另一种思路：当数据本身不可靠时，放弃“严格穿过每个点”的约束，改为“让整体偏离最小”。
5.2 最小二乘多项式拟合的思路
最小二乘拟合的核心思想是：对于一个给定的m次多项式，计算它在所有数据点上与真实函数值的误差平方和，然后通过选择多项式的系数使这个平方和最小。
目标函数可以写成：
S(a0, a1, ..., am) = Σ(yj - (a0 + a1xj + ... + am·xjᵐ))²
对每个系数ak求偏导并令其为零，得到一组关于系数的线性方程，叫作正规方程。这个方程组规模不大，m次拟合就是m+1个未知数的线性方程组，求解起来并不困难。
选择拟合次数是个需要权衡的问题。次数太低，拟合曲线太粗糙，无法反映数据的真实变化趋势；次数太高，又可能出现过拟合，把噪声也拟合进去了。我一般是从1次开始尝试，逐步升高，观察误差平方和的变化。当误差平方和不再明显下降时，就说明已经达到合适的复杂度，继续升高次数只会拟合噪声。
还有一个实践细节：数据点x的数值范围如果很大，直接构造正规方程时可能出现严重的条件数问题。我习惯先把x做归一化或者中心化处理，再进行拟合。这能让数值稳定性好很多，也能避免系数取值过大致使矩阵病态。
5.3 插值、拟合如何选择
总结我的判断标准：数据可靠、节点数量不多且确定时，用插值；数据量大且包含噪声，或者需要寻找整体趋势时，用拟合；既要求严格穿过关键点又要求曲线光滑时，用样条插值。
举个最简单的例子：要生成一副插值曲线，直接对数据点做三次样条插值，再在曲线上取点，结果又光滑又稳定。但如果要对一组带有流量噪声的测量数据做趋势分析，三次样条会把噪声完全复现出来，这时候应该改用低次最小二乘拟合。
在数值计算里，没有一个方法能通吃所有场景。每个方法都有它的适用边界，知道什么时候不用这个方法，比知道什么时候用它更重要。
6. Python实操记录：把理论跑一遍
6.1 最简实现：拉格朗日基函数
拉格朗日插值的代码非常精简。教我数值计算的某位老师说过一句话，我到现在还记得：只要你能写出基函数，整个插值就完成了一半。确实如此。核心代码如下：
def lagrange_basis(x_nodes, k, x): result = 1.0 xk = x_nodes[k] for j, xj in enumerate(x_nodes): if j != k: result *= (x - xj) / (xk - xj) return result def lagrange_interp(x_nodes, y_nodes, x): total = 0.0 for k in range(len(x_nodes)): total += y_nodes[k] * lagrange_basis(x_nodes, k, x) return total这段实现的时间复杂度是O(n²)，n是节点个数。对于课程实验规模的数据来说完全够用。但如果要做频繁的大量求值，建议用牛顿形式把系数先算好，再用霍纳法则求多项式值，可以把单次求值降到O(n)。
用这段代码跑一遍龙格现象，观察不同次数下的曲线形态，是我强烈建议每个学习者都亲手做一次的事。这个实验只要十几行代码，但比看十遍教科书都管用。
6.2 牛顿差商表的建立与增量更新
牛顿插值的核心数据结构是差商表。实现时用二维数组逐列递推，代码逻辑非常清晰：
def divided_difference_table(x_nodes, y_nodes): n = len(x_nodes) table = [[0.0] * (n+1) for _ in range(n)] for i in range(n): table[i][0] = y_nodes[i] for j in range(1, n): for i in range(n-j): table[i][j] = (table[i+1][j-1] - table[i][j-1]) / (x_nodes[i+j] - x_nodes[i]) return table表建好后，再构造多项式并求值。系数就是表中第一行的第0~n-1列。求值的时候从后往前累加，用类似霍纳法的技巧：
def newton_interp(x_nodes, y_nodes, x): table = divided_difference_table(x_nodes, y_nodes) n = len(x_nodes) result = table[0][n-1] for k in range(n-2, -1, -1): result = result * (x - x_nodes[k]) + table[0][k] return result这段代码和拉格朗日版本跑出来的结果在数学上是完全一致的。但仔细观察运算过程会发现，牛顿形式把所有基函数计算和线性组合合并成了更少的乘加操作，而且差商表只需要构建一次，后续任意点的求值都很快。
做实验的时候，我每次新加一个节点，只需要在差商表最后追加一行，已有的行全部保留。这个体验和拉格朗日需要全部重算是完全不同的，用一次就能明白牛顿形式的工程价值。
6.3 龙格现象与切比雪夫节点的对比实验
我在实验脚本里分别用等距节点和切比雪夫节点构造插值多项式，对f(x) = 1 / (1 + 25x²)做了对比，核心验证逻辑用下面几行就可以表示：
import numpy as np from numpy.polynomial import chebyshev def f(x): return 1 / (1 + 25 * x**2) # 等距节点 n = 16 x_uniform = np.linspace(-1, 1, n) y_uniform = f(x_uniform) # 切比雪夫节点 k = np.arange(n) x_cheb = np.cos((2*k + 1) * np.pi / (2*n)) y_cheb = f(x_cheb) # 后续用牛顿插值分别构造并采样比较误差实验结果显示，等距节点在端点附近产生了非常明显的振荡，最大误差在1左右；切比雪夫节点插值在各点上的误差都小得多，曲线和真实函数几乎重合。用一张误差对比曲线图，从视觉上就能把两种策略的差距看得明明白白。
这个实验给我最大的启发是：误差分布比误差大小更值得关注。等距节点插值的问题不只是误差大，更关键的是误差分布极不均匀——中间区域很好，端点区域糟糕透顶。切比雪夫节点的本质是让误差在整个区间上尽量趋于均匀。
6.4 三次样条的快速上手
处理三次样条，我推荐直接用现成库，但前提是理解边界条件的含义。scipy.interpolate.CubicSpline最常见的用法如下：
from scipy.interpolate import CubicSpline import numpy as np x_data = np.linspace(0, 10, 11) y_data = np.sin(x_data) cs = CubicSpline(x_data, y_data, bc_type='natural') x_fine = np.linspace(0, 10, 200) y_fine = cs(x_fine)bc_type可以选择natural、clamped等边界条件。默认的自然样条通常足够用，但如果数据本身有导数信息，clamped条件能利用这些信息让曲线更贴合物理背景。我处理实验曲线时，经常根据物理过程的初末状态把端点导数信息填进去，效果比自然条件更好。
6.5 实操中踩过的坑
这里整理几个我实际遇到过的问题，都是教科书不会专门提醒的。
第一，节点必须严格互异。计算凸性时，如果两个节点取值完全相同，分母就为零，程序直接崩溃。我在用算法自动生成节点时因为浮点舍入导致两个节点非常接近，虽然没有完全相等但条件数已经很大，计算出来的插值结果偏差很大。解决方法是让程序自动检查节点间距，低于某个阈值就报错或者重新生成。
第二，浮点精度对于高次插值影响巨大。用n=20的等距节点做插值时，由于龙格现象和舍入误差叠加，曲线端点附近的振荡加剧得吓人。我当时以为是公式写错了，排查了很久，最后确认是数值稳定性问题。后来用numpy提升精度以及改用切比雪夫节点，问题才缓解。
第三，外插永远要谨慎。误差公式中的Π(x - xi)在x超出节点区间后会迅速增大，外插距离越远误差越大。我在一次应用里试图用插值多项式外推一小段范围，结果推测出的数值完全背离物理规律。从那时起，凡是顺着数据的整体趋势做预测，我一律用最小二乘拟合而不是插值。
第四，scipy的CubicSpline接口默认不允许外推求值。如果传入的x超出数据范围，默认会抛出异常。如果需要外推，需要显式设置extrapolate=True，但外推结果的可靠性依然要自己负责。
6.6 实现层面的细节建议
代码实现插值算法有几个可以提升性能的细节，值得专门提一下。
用numpy的数组操作批量计算拉格朗日基函数，比纯Python循环快得多。比如要计算y_pred，把所有基函数一次性用数组表示，然后做一次点积。节点数量几百个、采样点几千个的场景下，这种向量化可以节省几十倍的时间。
牛顿差商表构建时默认用list of list或二维numpy数组都可以。关键在于列的索引顺序要对应“第几阶差商”，不要搞混。我写代码时习惯把差商表横着存，每一行是同一个节点的0阶、1阶、2阶差商，这样索引更直觉，出错率也低。
对于工程上几十万、上百万的数据点，三次样条的线性方程组用追赶法求解是O(n)的，完全吃得消。如果数据点再多，要考虑样条的空间局部性，可能需要对数据分段处理，减少单次构建样条的规模。
7. 这一章的后续走向
插值与多项式逼近学完之后，后面几章的内容基本都会和这一章产生联系。数值积分中常使用的复合求积公式，本质上是对被积函数做分段多项式插值再积分；数值微分同样可以通过构造插值多项式后求导来得到近似公式；常微分方程数值解里的多步方法，也依赖插值思想来构造。
我在学完这一章之后形成的一个习惯是：遇到任何新的数值方法，先想清楚它背后的逼近思想是什么，误差主要从哪里来，适用范围是什么。掌握了这些，具体公式反而不需要死记，用到的时候查一下就能快速上手。
如果想把这一章的内容再往外扩展，可以看看Bézier曲线和B样条，它们是对样条思想的进一步延伸，在计算机辅助几何设计中有着非常广泛的应用。也可以接触一下径向基函数插值，在多维散乱数据插值里很常用。这些内容都是在多项式插值的基础上发展起来的，底子打好了再往上走会顺畅很多。
