高等数学1

无穷序列

在高中时期我们就学习了一些数列的内容。数列可以由 能有限项推出规律的（{1,3,5,71 ,3 ,5 ,71,3,5,7}公差为1）；具有通项公式的（an=3n−2a_n=3n-2an​=3n−2）；通过递推公式(an=2an−1−1a_n=2a_{n-1}-1an​=2an−1​−1) 来指定。这些就是高中时期接触的内容。与之不同的是，大学展开对“无穷”的研究，通项不再是有限的，但依然存在它的数学规律

1.数列的收敛与发散

收敛顾名思义就是最后收敛在一个部分，这个地方我们称作极限；发散就是分布比较散乱不集中
书本上给出的定义是：
设{un}\{u_n\}{un​}是一个数列，ℓ\ellℓ是一个常数。若对任意给定的正数ε>0\varepsilon > 0ε>0，总存在一个正整数NNN，使得当n>Nn > Nn>N时，都有

∣un−ℓ∣<ε|u_n - \ell| < \varepsilon∣un​−ℓ∣<ε

则称数列{un}\{u_n\}{un​}收敛于ℓ\ellℓ，称ℓ\ellℓ为它的极限，记作

lim⁡n→∞un=ℓ或un→ℓ (n→∞)\lim_{n\to\infty} u_n = \ell \quad \text{或} \quad u_n \to \ell \ (n\to\infty)n→∞lim​un​=ℓ或un​→ℓ(n→∞)

若这样的ℓ\ellℓ不存在，则称数列发散。

简言之，数列最后趋近于一个值。参考函数f（x）=1/xf（x）=1/xf（x）=1/x图像上，y随着x的增大不断趋近于0，他的极限就是0。
数列极限不要求所有的点都在这个范围之内，而是说对于任何一个ε\varepsilonε,都能找到对应的n，在第n项之后，ana_nan​的值全都落在这个极限范围内。 还是这个函数，当你令ε=0.1\varepsilon=0.1ε=0.1那么第10项之后所有的通项都ℓ\ellℓ- +ε\varepsilonε范围中；ε=0.01\varepsilon=0.01ε=0.01就是第一百项之后。
这也可以说明，你改变数列某几个有限的项，并不会影响他收敛/发散的性质(比如我把第101 103 110这三项改为大于0.01的数，那么从第111项之后仍然处于这个范围区间)

1）函数收敛与数列收敛

在前面我们进行过数列和函数的互通，对于数列an=1/na_n=1/nan​=1/n其实就是函数f（x）=1/xf（x）=1/xf（x）=1/x上取整数的点，所以数列也存在些函数的性质。在计算过程中由于函数求极限可以使用多种方法，我们通常将数列转化为函数来求，同时有定义
$Iflim⁡x→∞f(x)=L\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) = Lx→∞lim​f(x)=L,thenlim⁡n→∞f(n)=L\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(n) = Ln→∞lim​f(n)=L
注意，数列有极限不能推断函数有极限，数列是函数中的一部分。函数有极限那么数列一定有极限，数列无极限那么函数一定无极限，其他无法推断成立（小发即大发，大收即小收）

eg1.

求：
lim⁡n→∞1n\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}n→∞lim​n​1​

数列有四则运算
eg2.
求：
lim⁡n→∞nen+2\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{en+2}}n→∞lim​en+2​n​

2）夹逼定理

回忆之前学过的微积分知识点，就有g(x)≤f(x)≤h(x),limg(x)=limh(x)=L⟹limf(x)=Lg(x)≤f(x)≤h(x), limg(x)=limh(x)=L⟹limf(x)=Lg(x)≤f(x)≤h(x),limg(x)=limh(x)=L⟹limf(x)=L，对于数列同样有：如果{ana_nan​}{cnc_ncn​}都收敛于L，{ana_nan​}<{bnb_nbn​}<={cnc_ncn​}，那么{bnb_nbn​}同样收敛于L
eg3.

例题

求：

lim⁡n→∞n!nn\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n}n→∞lim​nnn!​

3）连续函数与极限运算的交换

如果数列{an}\{a_n\}{an​}收敛于LLL，并且函数fff在点LLL处l连续，那么数列{f(an)}\{f(a_n)\}{f(an​)}也收敛，极限就是f(L)f(L)f(L)。

更形象地表达有lim⁡n→∞f(an)=f(lim⁡n→∞an)=f(L)\lim_{n\to\infty} f(a_n) = f\left(\lim_{n\to\infty} a_n\right) = f(L)n→∞lim​f(an​)=f(n→∞lim​an​)=f(L)
函数在
eg4.求：

lim⁡n→∞sin(πn)\lim_{n\to\infty}sin( \frac{\pi}{n})n→∞lim​sin(nπ​)

2.有界性和单调性

1）
对所有的n：
递增数列：an<an+1a_n < a_{n+1}an​<an+1​
非递减数列：an≤an+1a_n \leq a_{n+1}an​≤an+1​
（递增和等于；联想不大于就是小于等于）
递减数列：an>an+1a_n > a_{n+1}an​>an+1​。
非递增数列：an≥an+1a_n \geq a_{n+1}an​≥an+1​
严格单调数列：递增/递减数列
单调数列：非递增/非递减

2）

1.若存在一个数MMM，使得

an≤M∀n≥1a_n \leq M \qquad \forall n \geq 1an​≤M∀n≥1

则称数列{an}\{a_n\}{an​}有上界。

2. 若存在一个数mmm，使得

an≥m∀n≥1a_n \geq m \qquad \forall n \geq 1an​≥m∀n≥1

则称数列{an}\{a_n\}{an​}有下界。

3.有界函数：一个既有上界又有下界的函数

eg5.判断单调性和是否有界n/(n2+1){n/(n^2+1)}n/(n2+1)

答案