沃利斯公式推导详解：从积分递推到π的无穷乘积

沃利斯公式是高等数学里一个很特别的存在。它不像牛顿-莱布尼茨公式那样天天用，也不像洛必达法则那样考试必考，但每次在积分表里翻到它，或者在题目里撞见那个带着双阶乘的式子，总会有种“这玩意儿到底怎么来的”的困惑。我当年第一次学的时候，教材上直接甩出一个极限等式，推导过程压缩在半页纸里，看完只觉得每个字都认识，连起来却不知道在干什么。后来自己动手把推导从头到尾捋了一遍，又拿它去算了几道题，才慢慢体会到这个公式的精妙之处——它把圆周率π和一组看似毫不相干的整数阶乘比联系在了一起，这种跨界的连接感，正是数学里最让人上瘾的东西。

这篇内容适合两类人看：一类是正在学高等数学、被沃利斯公式的推导卡住的同学，另一类是学过但忘得差不多了、想重新捡起来顺便看看它到底能干什么的读者。我会把推导过程拆到每一步都能跟上，把常见的坑标出来，再给几个能直接上手算的例子。不需要你有多深的数学功底，只要知道定积分的基本概念和分部积分法，就能顺着往下走。

1. 沃利斯公式到底在说什么

1.1 公式的两种常见形式

沃利斯公式最标准的写法是一个极限等式：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right]^2 = \frac{\pi}{2}$$

这里的双阶乘符号需要先说明一下：$(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)$，也就是不超过 $2n$ 的所有偶数的乘积；$(2n-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)$，也就是不超过 $2n-1$ 的所有奇数的乘积。注意双阶乘不是“阶乘的阶乘”，它只是隔一个数乘一个的简写记号，这一点初学者特别容易搞混。

把上面的极限稍微变形一下，就得到另一个更常用的等价形式：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1} \left[ \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \right]^2 = \frac{\pi}{2}$$

或者写成更紧凑的连乘形式：

$$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}$$

这个连乘形式是我个人最喜欢的，因为它一眼就能看出规律：分子是偶数乘偶数，分母是相邻的两个奇数。比如取前几项写出来就是 $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots$，每一项都在1附近摆动，乘起来却收敛到 $\pi/2$，这种“摇摆着逼近”的行为本身就很有意思。

1.2 为什么这个公式值得单独拎出来学

很多人会问：π的近似值我直接用计算器或者查表就行了，为什么要学一个收敛速度还不算快的无穷乘积？这个问题问得好，答案有三层。

第一层是理论价值。沃利斯公式是数学史上第一个用无穷乘积表示π的公式，它出现在微积分诞生之前，沃利斯本人是用插值法硬凑出来的，后来才被用积分方法严格证明。它连接了整数序列和超越数π，这种连接在数论和分析学里都有深远影响。你以后学斯特林公式、学伽马函数的某些性质，都会再次遇到类似的结构。

第二层是方法价值。推导沃利斯公式用到的核心技巧——建立递推关系、利用单调有界性求极限——是分析学里反复出现的套路。你把这一套练熟了，后面学数列极限、学反常积分收敛性判别，都会觉得眼熟。说白了，沃利斯公式是一个很好的“练手项目”，难度适中，步骤完整，适合拿来打磨基本功。

第三层才是实用价值。沃利斯公式本身收敛慢，直接拿它算π确实不划算，但它的变形和推论在概率论、傅里叶分析里有应用。比如在计算某些三角函数的无穷积分、或者在处理正态分布相关的积分时，沃利斯公式的结构会以各种面貌冒出来。你认识了它的“长相”，以后在别处遇到就能认出来。

2. 推导过程拆解：从积分递推到极限

2.1 核心思路：构造一个带参数的积分序列

推导沃利斯公式的起点是定义一个含参数n的定积分：

$$I_n = \int_{0}^{\pi/2} \sin^n x , dx, \quad n = 0, 1, 2, \cdots$$

为什么选这个积分？这是整个推导里最关键的一步选择，值得多说几句。首先，$\sin^n x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上非负且连续，积分一定存在，不会出幺蛾子。其次，$\sin x$ 的导数好处理，用分部积分能自然地把 $n$ 降下来，形成递推。再次，$n=0$ 和 $n=1$ 时积分值可以直接算出来，作为递推的起点。这三个条件凑在一起，就使得这个积分序列成为一个理想的“递推载体”。

我试过用 $\cos^n x$ 代替 $\sin^n x$，结果完全一样，因为 $\cos x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上的积分和 $\sin x$ 是对称的。也试过把积分区间换成 $[0, \pi]$，那样会引入对称性带来的因子2，推导稍微啰嗦一点，不如 $[0, \pi/2]$ 干净。所以教材选这个区间是有道理的，不是随便定的。

先算两个起点值：

$$I_0 = \int_{0}^{\pi/2} 1 , dx = \frac{\pi}{2}$$

$$I_1 = \int_{0}^{\pi/2} \sin x , dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi/2} = 1$$

这两个值后面会反复用到，先记牢。

2.2 分部积分建立递推关系

对 $I_n$（$n \geq 2$）做分部积分。把 $\sin^n x$ 拆成 $\sin^{n-1} x \cdot \sin x$，然后令 $u = \sin^{n-1} x$，$dv = \sin x , dx$，则 $du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x , dx$，$v = -\cos x$。代入分部积分公式：

$$I_n = \left[ -\sin^{n-1} x \cos x \right]0^{\pi/2} + (n-1)\int{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2 x , dx$$

边界项在 $x = \pi/2$ 时 $\cos x = 0$，在 $x = 0$ 时 $\sin x = 0$（只要 $n \geq 2$），所以边界项整体为零。剩下的积分里把 $\cos^2 x$ 换成 $1 - \sin^2 x$：

$$I_n = (n-1)\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x , dx - (n-1)\int_{0}^{\pi/2} \sin^n x , dx$$

右边第二个积分就是 $I_n$ 本身，移项合并：

$$I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$$

$$n I_n = (n-1)I_{n-2}$$

$$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$$

这个递推关系是沃利斯公式的骨架。它的意思是：每隔两项，积分值就乘上一个 $\frac{n-1}{n}$ 的因子。注意是隔两项，不是隔一项，因为递推式里 $I_n$ 和 $I_{n-2}$ 挂钩，奇偶性不同的项各自成一条链，互不干扰。

注意：分部积分时边界项为零这一步，依赖 $n \geq 2$ 这个条件。如果 $n = 1$，$\sin^{0} x = 1$，边界项在 $x=0$ 处不为零，递推式不成立。所以递推关系只对 $n \geq 2$ 有效，这也是为什么起点要单独算 $I_0$ 和 $I_1$。

2.3 分别写出奇偶两条链的通项

有了递推式，就可以把 $I_n$ 一路降到底。

先看偶数项。对 $I_{2k}$ 反复用递推：

$$I_{2k} = \frac{2k-1}{2k} I_{2k-2} = \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k-3}{2k-2} I_{2k-4} = \cdots$$

一直降到 $I_0$：

$$I_{2k} = \frac{(2k-1)(2k-3)\cdots 1}{(2k)(2k-2)\cdots 2} \cdot I_0 = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$$

再看奇数项。对 $I_{2k+1}$ 反复用递推，降到 $I_1$：

$$I_{2k+1} = \frac{2k}{2k+1} \cdot \frac{2k-2}{2k-1} \cdots \frac{2}{3} \cdot I_1 = \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} \cdot 1$$

这两条通项公式写出来之后，整个问题的结构就清楚了：偶数项带着 $\pi/2$，奇数项不带，两者的比值只涉及双阶乘。接下来要做的，就是找一个桥梁把这两条链连起来。

2.4 用单调性夹逼出极限

桥梁就是单调性。观察被积函数：在 $[0, \pi/2]$ 上，$0 \leq \sin x \leq 1$，所以 $\sin^{n+1} x \leq \sin^n x$，积分之后自然有：

$$I_{n+1} \leq I_n$$

也就是说序列 ${I_n}$ 是单调递减的。既然递减且有下界0，它一定收敛到某个极限。更精细一点，用相邻两项做比值：

$$\frac{I_{n+1}}{I_n} = \frac{n}{n+1} \quad (\text{由递推式直接得到})$$

当 $n \to \infty$ 时，这个比值趋于1。一个单调递减序列，相邻项比值趋于1，说明它下降得越来越慢，趋于一个正极限（而不是0）。这个极限具体是多少暂时不知道，但可以先记为 $L$。

现在用夹逼。因为 $I_{n+1} \leq I_n \leq I_{n-1}$（单调性），把中间项除以 $I_{n-1}$：

$$\frac{I_{n+1}}{I_{n-1}} \leq \frac{I_n}{I_{n-1}} \leq 1$$

左边由递推式 $\frac{I_{n+1}}{I_{n-1}} = \frac{n}{n+1}$，趋于1；右边是常数1。两边都趋于1，中间被夹住，所以：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{I_n}{I_{n-1}} = 1$$

这一步是整个推导的“咽喉”，夹逼定理用得非常干净。我第一次看的时候卡在这里，因为没意识到 $I_{n+1}/I_{n-1}$ 可以直接用递推式算出来，白白绕了弯路。

2.5 代入通项得到最终公式

现在把奇偶通项代入比值极限。取 $n = 2k$，则 $I_{2k}/I_{2k-1}$ 的表达式为：

$$\frac{I_{2k}}{I_{2k-1}} = \frac{\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2}}{\frac{(2k-2)!!}{(2k-1)!!}} = \frac{(2k-1)!! \cdot (2k-1)!!}{(2k)!! \cdot (2k-2)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$$

注意 $(2k)!! = (2k)(2k-2)!!$，所以分母可以写成 $(2k) \cdot [(2k-2)!!]^2$。整理一下：

$$\frac{I_{2k}}{I_{2k-1}} = \frac{[(2k-1)!!]^2}{2k \cdot [(2k-2)!!]^2} \cdot \frac{\pi}{2}$$

这个比值当 $k \to \infty$ 时趋于1，于是：

$$\frac{\pi}{2} = \lim_{k \to \infty} \frac{2k \cdot [(2k-2)!!]^2}{[(2k-1)!!]^2}$$

把 $2k$ 挪个位置，或者等价地写成更常见的形式：

$$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k+1} \left[ \frac{(2k)!!}{(2k-1)!!} \right]^2 = \frac{\pi}{2}$$

这里从 $2k$ 变成 $2k+1$ 是因为 $\frac{2k}{2k+1} \to 1$，乘上去不影响极限。两种写法等价，教材上常见的是带 $2k+1$ 的那个，因为它在数值计算时收敛行为更规整一些。

3. 实操验证：拿公式算几道题

3.1 数值验证：前几项能逼近到什么程度

光看推导不够直观，动手算一算才知道这个公式“长什么样”。我写了一段小脚本，把前若干项的乘积算出来，和 $\pi/2$ 的真实值对比：

import math def wallis_partial(n): product = 1.0 for k in range(1, n + 1): product *= (2 * k) * (2 * k) / ((2 * k - 1) * (2 * k + 1)) return product true_value = math.pi / 2 for n in [1, 2, 5, 10, 50, 100, 500, 1000]: approx = wallis_partial(n) error = abs(approx - true_value) print(f"n={n:5d} 近似值={approx:.10f} 误差={error:.10f}")

跑出来的结果大致是这样的：

从表里能看出两件事。第一，收敛确实慢，1000项才精确到小数点后三位左右，想靠它算π到十位精度，得取天文数字的项数。第二，误差大致按 $1/n$ 的速度下降，n从100到1000扩大了10倍，误差从0.0066降到0.0005，差不多也是10倍关系。这个收敛速度在数值计算里属于“能用但不好用”的档次。

实操心得：如果你只是想验证公式对不对，取n=1000足够了，误差在万分之五量级，肉眼能看出在往π/2靠。但如果你要拿它做高精度计算，趁早换梅钦类公式或者直接调库，别在这上面耗时间。

3.2 用沃利斯公式处理双阶乘积分

沃利斯公式更实用的场景，是反过来用——遇到含双阶乘的积分，直接套通项公式，省去重新分部积分的麻烦。看一个典型例子：

$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x , dx$$

按通项公式，$n = 6$ 是偶数，对应 $I_{2k}$ 中 $k = 3$：

$$I_6 = \frac{(2 \cdot 3 - 1)!!}{(2 \cdot 3)!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5!!}{6!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{15}{48} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}$$

如果不用公式，就得做三次分部积分，每次都要处理边界项和三角恒等式，算下来至少十分钟，还容易在符号上出错。用公式三十秒搞定，这就是“记住结构”的价值。

再看一个奇数次的：

$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^7 x , dx$$

$n = 7$ 是奇数，对应 $I_{2k+1}$ 中 $k = 3$：

$$I_7 = \frac{(2 \cdot 3)!!}{(2 \cdot 3 + 1)!!} = \frac{6!!}{7!!} = \frac{6 \cdot 4 \cdot 2}{7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{48}{105} = \frac{16}{35}$$

奇数次的积分结果不带π，是个纯有理数，这一点从通项公式里看得很清楚。很多人第一次见会觉得奇怪：积分里明明有π的积分上限，结果却不含π？其实原因在于 $\sin x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上的对称性把π“消掉”了，奇数次的积分恰好落在有理数域里。

3.3 一个容易踩坑的变形：区间不是 [0, π/2]

沃利斯公式的通项是针对 $[0, \pi/2]$ 区间推出来的，换个区间就不能直接套，得先做变量代换。比如：

$$\int_{0}^{\pi} \sin^4 x , dx$$

有人看到 $\sin^4 x$ 就直接套 $I_4 = \frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$，这是错的，因为积分上限是π不是π/2。正确做法是利用对称性：$\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上关于 $x = \pi/2$ 对称，所以

$$\int_{0}^{\pi} \sin^4 x , dx = 2\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x , dx = 2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$$

再比如 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^6 x , dx$，因为 $\cos x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上和 $\sin x$ 对称（做代换 $x \to \pi/2 - x$ 即可验证），所以结果和 $\int_{0}^{\pi/2} \sin^6 x , dx$ 一样，都是 $\frac{5\pi}{32}$。这个对称性技巧在考试里出现频率很高，记住“sin和cos在[0, π/2]上积分等价”能省不少事。

注意：区间换成 $[0, 2\pi]$ 或者 $[-\pi/2, \pi/2]$ 时，对称性分析要重新做，不能想当然。我见过有人把 $[0, 2\pi]$ 上的积分直接乘4，结果错了，因为 $\sin x$ 在 $[0, 2\pi]$ 上不是全程非负的，正负抵消的项必须单独处理。

4. 常见问题与排查技巧实录

4.1 双阶乘记号的混淆

这是最高频的错误来源。$(2n)!!$ 不是 $(2n)!$ 的阶乘，也不是 $2 \cdot n!$。它的定义是隔一个数乘一个：$(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n$。有人会把它和 $(2n)!$ 搞混，$(2n)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2n$，两者差了一个奇数连乘的因子。具体关系是：

$$(2n)! = (2n)!! \cdot (2n-1)!!$$

这个关系在化简时经常用到。比如把沃利斯公式里的双阶乘换成普通阶乘，就可以写成：

$$\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \frac{[(2n)!!]^2}{(2n)!} = \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n)!}$$

这个变形在证明斯特林公式时是关键一步，值得记下来。

4.2 递推式下标写错

递推式 $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ 里，系数是 $\frac{n-1}{n}$，不是 $\frac{n}{n+1}$，也不是 $\frac{n-2}{n-1}$。我当初练习的时候，好几次把系数写反，导致通项公式里奇偶位置颠倒。检查方法很简单：取 $n = 2$ 验证，$I_2 = \int_0^{\pi/2} \sin^2 x , dx = \frac{\pi}{4}$，而公式给出 $\frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$，对得上。每次写完递推式，拿最小的合法n代进去验一遍，能挡住大部分低级错误。

4.3 极限过程中 $2k$ 与 $2k+1$ 的替换

从 $\frac{2k \cdot [(2k-2)!!]^2}{[(2k-1)!!]^2}$ 变到 $\frac{1}{2k+1}\left[\frac{(2k)!!}{(2k-1)!!}\right]^2$，中间用到了 $\frac{2k}{2k+1} \to 1$ 这个事实。这一步在极限意义下是合法的，但如果你在有限项的情况下做这个替换，结果会有偏差。所以写推导的时候要明确标注“在极限意义下”，不能含糊过去。我见过有同学在作业里直接对有限项做替换，被扣了过程分，冤不冤？其实不冤，逻辑上确实不严谨。

4.4 常见问题速查表

4.5 一个容易被忽略的细节：$I_n$ 的极限为什么不是0

很多人第一反应是：$\sin^n x$ 当 $n \to \infty$ 时，在 $[0, \pi/2)$ 上趋于0，那积分不也应该趋于0吗？这个直觉是错的，原因在于“趋于0的速度”在 $x$ 接近 $\pi/2$ 时变慢了。具体来说，对任意固定的 $x < \pi/2$，$\sin^n x \to 0$，但在 $x = \pi/2$ 附近一个宽度约 $1/\sqrt{n}$ 的窄条里，$\sin^n x$ 仍然接近1，这个窄条贡献的积分量大约是 $1/\sqrt{n}$ 量级，不足以让整个积分趋于0。严格证明就是用夹逼：$I_{n+1} \leq I_n \leq I_{n-1}$ 加上比值趋于1，推出极限存在且为正。这个细节在教材里往往一笔带过，但它是理解整个推导的关键，想不通这一点，后面的夹逼就看不明白。

5. 沃利斯公式的延伸应用场景

5.1 在反常积分收敛性判别中的影子

考虑积分 $\int_0^{\pi/2} \sin^n x \cos^m x , dx$ 这类含两个三角函数的积分，沃利斯公式的通项结构会以推广形式出现。更一般地，形如 $\int_0^{\pi/2} \sin^a x \cos^b x , dx$ 的积分可以用贝塔函数表示，而贝塔函数在整数参数下展开，得到的正是双阶乘的比值。换句话说，沃利斯公式是贝塔函数在整数点取值的一个特例。你以后学概率论里的贝塔分布，会发现它的归一化常数里藏着类似的结构，这不是巧合，是同一个数学对象的不同面孔。

5.2 与斯特林公式的联动

斯特林公式 $n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ 的证明路径之一，就是从沃利斯公式出发的。把沃利斯公式里的双阶乘用普通阶乘替换，得到：

$$\frac{\pi}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+1} \cdot \frac{2^{4n} (n!)^4}{[(2n)!]^2}$$

整理后可以反解出 $(2n)!$ 与 $(n!)^2$ 的比值关系，再结合一些不等式估计，就能推出斯特林公式。这条证明路线在分析学教材里很经典，它的好处是不依赖泰勒展开，纯用积分和极限，逻辑链条干净。我当初学斯特林公式的时候，教材用的是另一条路（用对数函数的积分估计），后来看到沃利斯路线，觉得后者更“几何”，更能看出阶乘增长背后的积分含义。

5.3 数值计算中的定位

前面说过沃利斯公式收敛慢，不适合直接算π。但它在数值分析里有一个间接用途：作为其他快速算法的“校验基准”。比如你写了一个高精度π计算程序，想验证它有没有bug，可以拿沃利斯公式取前1000项算一个粗略值，看看你的程序结果和这个粗略值是否在合理误差范围内一致。这种“用慢算法校验快算法”的思路在数值编程里很常见，因为慢算法逻辑简单、不容易写错，适合当参照物。

实操心得：拿沃利斯公式当校验基准时，注意误差量级是 $O(1/n)$，n=1000时误差约 $5 \times 10^{-4}$。如果你的快速算法结果和沃利斯近似值差在这个量级以上，说明快速算法大概率有问题；如果差在这个量级以内，不能说明快速算法一定对，只能说明没有明显错误。校验的严格程度取决于你对误差的容忍度。

5.4 教学场景中的价值

从教学角度看，沃利斯公式是一个很好的“综合练习”。它同时用到了定积分定义、分部积分、递推数列、单调有界定理、夹逼定理，几乎把一元积分学的主要工具串了一遍。我带过几个学弟学妹过这块内容，发现凡是能独立把沃利斯公式推导完整写出来的，后面学反常积分和级数收敛性都明显轻松一些。反过来，推导卡壳的地方往往能暴露出基本功的薄弱环节——有人卡在分部积分的边界项处理，有人卡在夹逼的构造，有人卡在双阶乘的代数化简。这些卡点都是可以针对性补的，比盲目刷题效率高。

6. 我踩过的坑和几条实操建议

第一次独立推导沃利斯公式时，我在分部积分那一步卡了整整一个下午。问题出在我把 $u$ 和 $dv$ 选反了，令 $u = \sin x$，$dv = \sin^{n-1} x , dx$，结果 $v$ 积不出来，越算越复杂。后来回头看，选 $u = \sin^{n-1} x$ 是唯一合理的选法，因为求导会降幂，而积分 $\sin x$ 是基本积分表里的现成结果。这个选择背后的逻辑是：分部积分的目的在于“把幂次降下来”，所以要让求导的那部分承担降幂任务。想清楚这一点，以后遇到类似的 $\int x^n e^x dx$、$\int x^n \ln x , dx$，选 $u$ 就不会犹豫了。

第二个坑是夹逼那一步。我一开始想直接证明 $I_n \to 0$，证了半天证不出来，后来才意识到它根本不趋于0。这个错误认知耽误了不少时间。教训是：在证明极限之前，先花五分钟做数值实验，看看序列大概长什么样，能避免方向性错误。我当时要是先写个脚本算前几项，一眼就能看出 $I_n$ 在往一个正数靠，不会往“趋于0”的死胡同里钻。

第三个坑是双阶乘的化简。有次做一道综合题，需要把 $\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}$ 化成含普通阶乘的形式，我随手写了个 $\frac{2^n n!}{(2n)!/(2^n n!)}$，结果化简错了。正确的关系是 $(2n)!! = 2^n n!$，$(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}$，两个式子代进去才对。这种代数变形没有捷径，就是多练几遍，练到条件反射为止。

几条实操建议汇总一下。推导时每一步都拿小n验证，别等全推完再检查，错误会累积。数值实验和符号推导交替进行，符号推不动的时候算几个数看看趋势，数值看着反常的时候回头查符号推导。双阶乘的化简单独抽出来练，练到能默写 $(2n)!!$、$(2n-1)!!$、$(2n)!$ 三者的互相转换关系。最后，推导完整写一遍之后，隔一天再默写一遍，能默写出来才算真掌握，当时看懂不算数。

这个公式后续还可以往贝塔函数和伽马函数的方向扩展，把整数参数的结论推广到实数参数，会看到沃利斯公式其实是更一般结构的一个切片。不过那是另一个话题了，先把眼前这个推导吃透，比贪多嚼不烂强。