波动方程是一类二阶线性偏微分方程，核心形式为“物理量的空间二阶变化率与时间二阶变化率成正比”，通用数学表达式为：
∇ 2 ψ − ( 1 / v 2 ) ⋅ ( ∂ 2 ψ / ∂ t 2 ) = f ( r , t ) （ 1 ） {{\nabla }^{2}}\psi -\left( 1/{{v}^{2}} \right)\cdot \left( {{\partial }^{2}}\psi /\partial {{t}^{2}} \right)=f\left( r,t \right)（1）∇2ψ−(1/v2)⋅(∂2ψ/∂t2)=f(r,t)（1）
其中：
ψ ( r , t ) \psi \left( r,t \right)ψ(r,t)为“波动量”，可表示任意随时间和空间波动的物理量（电磁学中为电场E EE、磁场H HH；声学中为声压；力学中为位移）；
∇ 2 {{\nabla }^{2}}∇2为拉普拉斯算子，描述波动量在空间上的二阶变化率（反映空间分布的“曲率”）；
∂ 2 / ∂ t 2 {{\partial }^{2}}/\partial {{t}^{2}}∂2/∂t2为二阶时间导数，描述波动量在时间上的二阶变化率（反映时间变化的“加速度”）；
v vv为波动的传播速度，是由传播介质特性决定的常数（如真空中电磁波速度v = c = 1 / μ 0 ε 0 v=c=1/\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}v=c=1/μ0ε0）。
f ( r , t ) f\left( r,t \right)f(r,t)为源项（有源场景，无源场景下f ( r , t ) = 0 f\left( r,t \right)=0f(r,t)=0）；r rr为空间位置矢量，t tt为时间。
如图1所示，波动方程的核心物理意义在于揭示时变电磁场的波动传播特性：时变的电场会激发涡旋磁场，时变的磁场又会激发涡旋电场，这种电场与磁场的相互耦合、交替激发，会以“波”的形式在空间中传播，形成电磁波。
一、时域波动方程的公式推导过程
时域波动方程是从麦克斯韦方程组的微分形式推导而来，其推导的核心思路是“消元法”——通过矢量恒等式消去麦克斯韦方程组中的电场或磁场，得到仅含单一电磁场量的二阶偏微分方程。
为确保推导的严谨性，首先明确推导的约束条件与核心基础公式：
介质条件：均匀、各向同性、无耗介质（磁导率μ \muμ、介电常数ε \varepsilonε为常数，与空间位置无关；电导率κ = 0 \kappa =0κ=0，无能量损耗）；
源条件：无源区域（无自由电荷ρ = 0 \rho =0ρ=0，无传导电流J = 0 \mathbf{J}=0J=0）
本构关系：D = ε E D=\varepsilon ED=εE、B = μ H B=\mu HB=μH、J = κ E J=\kappa EJ=κE
矢量恒等式：∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A \nabla \times \left( \nabla \times A \right)=\nabla \left( \nabla \cdot A \right)-{{\nabla }^{2}}A∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A
麦克斯韦方程组（微分形式，无源无耗条件下）：
a. 高斯电场定律：∇ ⋅ D = 0 ⇒ ∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot D=0\Rightarrow \nabla \cdot E=0∇⋅D=0⇒∇⋅E=0（因ε ≠ 0 \varepsilon \ne 0ε=0）；
b. 高斯磁场定律：∇ ⋅ B = 0 ⇒ ∇ ⋅ H = 0 \nabla \cdot B=0\Rightarrow \nabla \cdot H=0∇⋅B=0⇒∇⋅H=0（因μ ≠ 0 \mu \ne 0μ=0）；
c. 法拉第电磁感应定律：∇ × E = − ∂ B / ∂ t \nabla \times E=-\partial B/\partial t∇×E=−∂B/∂t；
d. 安培-麦克斯韦定律：∇ × H = ∂ D / ∂ t \nabla \times H=\partial D/\partial t∇×H=∂D/∂t（无源区域J = 0 J=0J=0）。
1. 电场时域波动方程推导步骤
对法拉第电磁感应定律两边取旋度：
∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( − ∂ B / ∂ t ) ( 2 ) \nabla \times \left( \nabla \times E \right)=\nabla \left( -\partial B/\partial t \right)(2)∇×(∇×E)=∇(−∂B/∂t)(2)由于时间导数与空间导数可交换顺序（电磁场连续可微），右边可改写为：
− ∂ / ∂ t ( ∇ × B ) ( 3 ) -\partial /\partial t\left( \nabla \times B \right)(3)−∂/∂t(∇×B)(3)代入矢量恒等式展开左边，结合高斯电场定律∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot E=0∇⋅E=0：
∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − ∂ / ∂ t ( ∇ × B ) ( 4 ) \nabla \left( \nabla \cdot E \right)-{{\nabla }^{2}}E=-\partial /\partial t\left( \nabla \times B \right)(4)∇(∇⋅E)−∇2E=−∂/∂t(∇×B)(4)因∇ ⋅ E = 0 \nabla \cdot E=0∇⋅E=0，左边简化为：− ∇ 2 E -{{\nabla }^{2}}E−∇2E；
利用本构关系B = μ H B=\mu HB=μH，将右边的∇ × B \nabla \times B∇×B转化为μ ∇ × H \mu \nabla \times Hμ∇×H：
− ∇ 2 E = − μ ⋅ ∂ / ∂ t ( ∇ × H ) ( 5 ) -{{\nabla }^{2}}E=-\mu \cdot \partial /\partial t\left( \nabla \times H \right)(5)−∇2E=−μ⋅∂/∂t(∇×H)(5)两边消去负号，得到：∇ 2 E = μ ⋅ ∂ / ∂ t ( ∇ × H ) {{\nabla }^{2}}E=\mu \cdot \partial /\partial t\left( \nabla \times H \right)∇2E=μ⋅∂/∂t(∇×H)；
代入安培-麦克斯韦定律（无源区域∇ × H = ∂ D / ∂ t \nabla \times H=\partial D/\partial t∇×H=∂D/∂t），再结合D = ε E D=\varepsilon ED=εE：
∇ 2 E = μ ⋅ ∂ / ∂ t ( ε ⋅ ∂ E / ∂ t ) ( 6 ) {{\nabla }^{2}}E=\mu \cdot \partial /\partial t\left( \varepsilon \cdot \partial E/\partial t \right)(6)∇2E=μ⋅∂/∂t(ε⋅∂E/∂t)(6)因μ \muμ、ε \varepsilonε为常数，可提出时间导数外，整理得：∇ 2 E = μ ε ⋅ ∂ 2 E / ∂ t {{\nabla }^{2}}E=\mu \varepsilon \cdot {{\partial }^{2}}E/\partial t∇2E=με⋅∂2E/∂t；
移项后得到标准的电场时域波动方程：
∇ 2 E − μ ε ⋅ ∂ 2 E / ∂ t = 0 ( 7 ) {{\nabla }^{2}}E-\mu \varepsilon \cdot {{\partial }^{2}}E/\partial t=0(7)∇2E−με⋅∂2E/∂t=0(7)
2. 磁场时域波动方程推导步骤
采用与电场方程对称的推导逻辑，以安培-麦克斯韦定律为起点：
对安培-麦克斯韦定律两边取旋度：
∇ × ( ∇ × H ) = ∇ × ( ∂ D / ∂ t ) = ∂ / ∂ t ( ∇ × D ) ( 8 ) \nabla \times \left( \nabla \times H \right)=\nabla \times \left( \partial D/\partial t \right)=\partial /\partial t\left( \nabla \times D \right)(8)∇×(∇×H)=∇×(∂D/∂t)=∂/∂t(∇×D)(8)代入矢量恒等式展开左边，结合高斯磁场定律∇·H=0：
∇ ( ∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H = − ∂ / ∂ t ( ∇ × E ) ( 9 ) \nabla \left( \nabla \cdot H \right)-{{\nabla }^{2}}H=-\partial /\partial t\left( \nabla \times E \right)(9)∇(∇⋅H)−∇2H=−∂/∂t(∇×E)(9)（利用法拉第定律∇ × E = − ∂ B / ∂ t \nabla \times E=-\partial B/\partial t∇×E=−∂B/∂t，进一步转化右边）；
重复上述代入本构关系、整理移项的步骤，最终得到磁场时域波动方程：
∇ 2 H − μ ε ∂ 2 H / ∂ t = 0 ( 10 ) {{\nabla }^{2}}H-\mu \varepsilon {{\partial }^{2}}H/\partial t=0(10)∇2H−με∂2H/∂t=0(10)
总结
在均匀、各向同性、无耗介质中，时域波动方程的标准形式为：
电场时域波动方程：∇ 2 E − μ ε ∂ 2 E / ∂ t 2 = 0 {{\nabla }^{2}}E-\mu \varepsilon {{\partial }^{2}}E/\partial {{t}^{2}}=0∇2E−με∂2E/∂t2=0
磁场时域波动方程：∇ 2 H − μ ε ∂ 2 H / ∂ t 2 = 0 {{\nabla }^{2}}H-\mu \varepsilon {{\partial }^{2}}H/\partial {{t}^{2}}=0∇2H−με∂2H/∂t2=0
其中，∇ 2 {{\nabla }^{2}}∇2为拉普拉斯算子，描述电磁场量在空间上的二阶变化率；∂ 2 / ∂ t 2 {{\partial }^{2}}/\partial {{t}^{2}}∂2/∂t2为二阶时间导数，描述电磁场量在时间上的二阶变化率；μ \muμ为介质磁导率，ε \varepsilonε为介质介电常数，二者共同决定电磁波在介质中的传播速度v = 1 / μ ε v=1/\sqrt{\mu \varepsilon }v=1/με。
时域波动方程是描述电磁场（电场强度E EE、磁场强度H HH）在空间和时间域中波动传播规律的二阶线性矢量偏微分方程。其核心特征是将电磁场量的空间二阶变化率与时间二阶变化率相关联，定量刻画了“场的空间分布”与“场的时间动态”的耦合关系，不仅从理论上预言和证实了电磁波的存在，更为分析电磁波传播提供了核心工具。
