期末考试专项突破：二维随机变量的期望、方差与相关性分析（附高频题型详解）-开发者社区

期末考试专项突破：二维随机变量的期望、方差与相关性分析（附高频题型详解）

适用对象：概率论与数理统计课程期末复习生
核心考点：二维离散/连续型随机变量、边缘密度、协方差、相关系数、积分计算

知识点详解

1. 二维随机变量的基本概念

离散型：(X,Y)(X,Y)(X,Y)取有限或可列无限个值，用联合分布律P(X=xi,Y=yj)=pijP(X=x_i, Y=y_j) = p_{ij}P(X=xi,Y=yj)=pij描述。
连续型：存在非负函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)，使得对任意区域DDD，
P((X,Y)∈D)=∬Df(x,y) dx dy P\big((X,Y)\in D\big) = \iint_D f(x,y)\,dx\,dyP((X,Y)∈D)=∬Df(x,y)dxdy
且满足∬R2f(x,y) dx dy=1\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy = 1∬R2f(x,y)dxdy=1。

2. 期望与方差的计算

期望：
- 离散型：E(X)=∑ixiP(X=xi)E(X) = \sum_i x_i P(X=x_i)E(X)=∑ixiP(X=xi)，其中P(X=xi)=∑jpijP(X=x_i) = \sum_j p_{ij}P(X=xi)=∑jpij
- 连续型：E(X)=∫−∞∞xfX(x) dxE(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dxE(X)=∫−∞∞xfX(x)dx，其中fX(x)=∫−∞∞f(x,y) dyf_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dyfX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy
方差：D(X)=E(X2)−[E(X)]2D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2D(X)=E(X2)−[E(X)]2

⚠️ 注意：计算E(X2)E(X^2)E(X2)时，离散型为∑xi2P(X=xi)\sum x_i^2 P(X=x_i)∑xi2P(X=xi)，连续型为∫x2fX(x) dx\int x^2 f_X(x)\,dx∫x2fX(x)dx

3. 边缘概率密度函数

对于连续型(X,Y)(X,Y)(X,Y)，边缘密度为：
fX(x)=∫−∞∞f(x,y) dy,fY(y)=∫−∞∞f(x,y) dx f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy,\quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dxfX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy,fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx

关键技巧：先画出联合密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)的非零区域（即积分区域），再根据xxx或yyy固定时的范围确定积分上下限。

4. 协方差与相关系数

协方差的两条核心公式：

定义式：
Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))] \text{Cov}(X,Y) = E\big[(X - E(X))(Y - E(Y))\big]Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]
计算式（更常用）：
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) \text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)

重要结论：

若XXX与YYY相互独立，则Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y) = 0Cov(X,Y)=0，即独立 ⇒ 不相关
但不相关 ⇏ 独立！（反例：X∼N(0,1),Y=X2X \sim N(0,1), Y = X^2X∼N(0,1),Y=X2，则Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X,Y)=0Cov(X,Y)=0，但显然不独立）

5. 协方差的性质（常考！）

Cov(X,X)=D(X)\text{Cov}(X,X) = D(X)Cov(X,X)=D(X)
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(Y,X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y)\text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac\,\text{Cov}(X,Y)Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)
Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)\text{Cov}(X_1 + X_2, Y) = \text{Cov}(X_1,Y) + \text{Cov}(X_2,Y)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

6. 积分计算要点

一元定积分：用于求边缘密度、期望、方差
二重积分：用于验证密度函数归一性、计算E(XY)E(XY)E(XY)、概率等
积分区域判断：务必画图！常见区域包括：
- 矩形：0≤x≤1,0≤y≤20 \le x \le 1, 0 \le y \le 20≤x≤1,0≤y≤2
- 三角形：x≥0,y≥0,x+y≤1x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 1x≥0,y≥0,x+y≤1
- 圆形：x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1x2+y2≤1

✅ 技巧：若f(x,y)f(x,y)f(x,y)在某区域外为 0，则积分只需在该区域内进行。

题目描述：

以下为5道典型期末考题，涵盖离散与连续两种类型，融合积分、协方差、相关系数等核心考点。

题目1（离散型）

设二维离散随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律如下：

X\YX\backslash YX\Y	0	1
0	0.2	0.1
1	0.3	0.4

求：
(1)E(X),E(Y)E(X), E(Y)E(X),E(Y)；
(2)D(X),D(Y)D(X), D(Y)D(X),D(Y)；
(3)Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)与ρXY\rho_{XY}ρXY；
(4) 判断XXX与YYY是否独立？

解答：

(1) 期望
先求边缘分布：

P(X=0)=0.2+0.1=0.3P(X=0) = 0.2 + 0.1 = 0.3P(X=0)=0.2+0.1=0.3，P(X=1)=0.7P(X=1) = 0.7P(X=1)=0.7→E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7E(X) = 0×0.3 + 1×0.7 = 0.7E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7
P(Y=0)=0.2+0.3=0.5P(Y=0) = 0.2 + 0.3 = 0.5P(Y=0)=0.2+0.3=0.5，P(Y=1)=0.5P(Y=1) = 0.5P(Y=1)=0.5→E(Y)=0.5E(Y) = 0.5E(Y)=0.5

(2) 方差

E(X2)=02×0.3+12×0.7=0.7E(X^2) = 0^2×0.3 + 1^2×0.7 = 0.7E(X2)=02×0.3+12×0.7=0.7→D(X)=0.7−(0.7)2=0.21D(X) = 0.7 - (0.7)^2 = 0.21D(X)=0.7−(0.7)2=0.21
E(Y2)=0.5E(Y^2) = 0.5E(Y2)=0.5→D(Y)=0.5−0.25=0.25D(Y) = 0.5 - 0.25 = 0.25D(Y)=0.5−0.25=0.25

(3) 协方差与相关系数

E(XY)=0×0×0.2+0×1×0.1+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4E(XY) = 0×0×0.2 + 0×1×0.1 + 1×0×0.3 + 1×1×0.4 = 0.4E(XY)=0×0×0.2+0×1×0.1+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4
Cov(X,Y)=0.4−0.7×0.5=0.4−0.35=0.05\text{Cov}(X,Y) = 0.4 - 0.7×0.5 = 0.4 - 0.35 = 0.05Cov(X,Y)=0.4−0.7×0.5=0.4−0.35=0.05
ρXY=0.050.21⋅0.25≈0.050.458×0.5≈0.218\rho_{XY} = \dfrac{0.05}{\sqrt{0.21} \cdot \sqrt{0.25}} ≈ \dfrac{0.05}{0.458 × 0.5} ≈ 0.218ρXY=0.21⋅0.250.05≈0.458×0.50.05≈0.218

(4) 独立性检验
检查是否对所有i,ji,ji,j有pij=P(X=xi)P(Y=yj)p_{ij} = P(X=x_i)P(Y=y_j)pij=P(X=xi)P(Y=yj)：

P(X=0,Y=0)=0.2P(X=0,Y=0) = 0.2P(X=0,Y=0)=0.2，而P(X=0)P(Y=0)=0.3×0.5=0.15≠0.2P(X=0)P(Y=0) = 0.3×0.5 = 0.15 ≠ 0.2P(X=0)P(Y=0)=0.3×0.5=0.15=0.2
→不独立

题目2（连续型，积分区域为三角形）

设(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合概率密度为：
f(x,y)={2,0<x<y<10,其他 f(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}f(x,y)={2,0,0<x<y<1其他
求：
(1) 边缘密度fX(x),fY(y)f_X(x), f_Y(y)fX(x),fY(y)；
(2)E(X),E(Y)E(X), E(Y)E(X),E(Y)；
(3)Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)

解答：

(1) 边缘密度

对固定xxx，yyy范围是x<y<1x < y < 1x<y<1→
fX(x)=∫x12 dy=2(1−x),0<x<1 f_X(x) = \int_x^1 2\,dy = 2(1 - x),\quad 0 < x < 1fX(x)=∫x12dy=2(1−x),0<x<1
对固定yyy，xxx范围是0<x<y0 < x < y0<x<y→
fY(y)=∫0y2 dx=2y,0<y<1 f_Y(y) = \int_0^y 2\,dx = 2y,\quad 0 < y < 1fY(y)=∫0y2dx=2y,0<y<1

(2) 期望

E(X)=∫01x⋅2(1−x) dx=2∫01(x−x2) dx=2(12−13)=13E(X) = \int_0^1 x \cdot 2(1 - x)\,dx = 2\int_0^1 (x - x^2)\,dx = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}E(X)=∫01x⋅2(1−x)dx=2∫01(x−x2)dx=2(21−31)=31
E(Y)=∫01y⋅2y dy=2∫01y2 dy=23E(Y) = \int_0^1 y \cdot 2y\,dy = 2\int_0^1 y^2\,dy = \frac{2}{3}E(Y)=∫01y⋅2ydy=2∫01y2dy=32

(3) 协方差
先算E(XY)E(XY)E(XY)：
E(XY)=∬0<x<y<1xy⋅2 dx dy=2∫01∫0yxy dx dy=2∫01y[x22]0ydy=2∫01y⋅y22dy=∫01y3dy=14 E(XY) = \iint_{0<x<y<1} xy \cdot 2\,dx\,dy = 2\int_0^1 \int_0^y xy\,dx\,dy = 2\int_0^1 y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y dy = 2\int_0^1 y \cdot \frac{y^2}{2} dy = \int_0^1 y^3 dy = \frac{1}{4}E(XY)=∬0<x<y<1xy⋅2dxdy=2∫01∫0yxydxdy=2∫01y[2x2]0ydy=2∫01y⋅2y2dy=∫01y3dy=41
所以：
Cov(X,Y)=14−13⋅23=14−29=9−836=136 \text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4} - \frac{2}{9} = \frac{9 - 8}{36} = \frac{1}{36}Cov(X,Y)=41−31⋅32=41−92=369−8=361

题目3（判断独立与不相关）

已知X∼U(−1,1)X \sim U(-1,1)X∼U(−1,1)，Y=X2Y = X^2Y=X2。
证明：XXX与YYY不相关，但不独立。

解答：

E(X)=0E(X) = 0E(X)=0（对称区间均匀分布）
E(Y)=E(X2)=∫−11x2⋅12dx=12⋅23=13E(Y) = E(X^2) = \int_{-1}^1 x^2 \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}E(Y)=E(X2)=∫−11x2⋅21dx=21⋅32=31
E(XY)=E(X3)=∫−11x3⋅12dx=0E(XY) = E(X^3) = \int_{-1}^1 x^3 \cdot \frac{1}{2} dx = 0E(XY)=E(X3)=∫−11x3⋅21dx=0（奇函数）
Cov(X,Y)=0−0⋅13=0\text{Cov}(X,Y) = 0 - 0 \cdot \frac{1}{3} = 0Cov(X,Y)=0−0⋅31=0→不相关

但显然，YYY完全由XXX决定，故不独立（例如P(Y<0.25∣X=0.8)=0P(Y<0.25 | X=0.8) = 0P(Y<0.25∣X=0.8)=0，但P(Y<0.25)>0P(Y<0.25) > 0P(Y<0.25)>0）。

题目4（协方差性质应用）

设X,YX, YX,Y满足E(X)=1,E(Y)=2,D(X)=4,D(Y)=9,ρXY=0.5E(X)=1, E(Y)=2, D(X)=4, D(Y)=9, \rho_{XY}=0.5E(X)=1,E(Y)=2,D(X)=4,D(Y)=9,ρXY=0.5。
令Z=2X−Y+3Z = 2X - Y + 3Z=2X−Y+3，求D(Z)D(Z)D(Z)。

解答：

利用方差公式：
D(Z)=D(2X−Y)=4D(X)+D(Y)−4Cov(X,Y) D(Z) = D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4\text{Cov}(X,Y)D(Z)=D(2X−Y)=4D(X)+D(Y)−4Cov(X,Y)
先求Cov(X,Y)=ρXYD(X)D(Y)=0.5⋅4⋅9=0.5⋅6=3\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)} = 0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot 9} = 0.5 \cdot 6 = 3Cov(X,Y)=ρXYD(X)D(Y)=0.5⋅4⋅9=0.5⋅6=3

所以：
D(Z)=4×4+9−4×3=16+9−12=13 D(Z) = 4×4 + 9 - 4×3 = 16 + 9 - 12 = 13D(Z)=4×4+9−4×3=16+9−12=13

题目5（综合题）

设(X,Y)(X,Y)(X,Y)联合密度为：
f(x,y)={1π,x2+y2≤10,其他 f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}f(x,y)={π1,0,x2+y2≤1其他
（即单位圆内均匀分布）
求：Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)

解答：

由于密度关于xxx轴和yyy轴对称，可知：

E(X)=0E(X) = 0E(X)=0,E(Y)=0E(Y) = 0E(Y)=0
E(XY)=∬x2+y2≤1xy⋅1πdxdyE(XY) = \iint_{x^2+y^2 \le 1} xy \cdot \frac{1}{\pi} dx dyE(XY)=∬x2+y2≤1xy⋅π1dxdy

注意到被积函数xyxyxy是关于xxx的奇函数（固定yyy），且积分区域对称，故积分为 0。

因此Cov(X,Y)=0−0=0\text{Cov}(X,Y) = 0 - 0 = 0Cov(X,Y)=0−0=0，即不相关。
（但注意：XXX与YYY不独立！因为知道XXX的值会限制YYY的范围）

总结与鼓励 💪

通过以上5道典型题目，我们系统复习了二维随机变量的核心考点：从离散到连续、从边缘密度到协方差、从积分计算到独立性判断。这些内容几乎覆盖了期末考试中80% 以上的相关大题！

✨记住：
独立一定不相关，但不相关不一定独立！
计算前先画图，积分区域要清晰！
协方差用E(XY)−E(X)E(Y)E(XY) - E(X)E(Y)E(XY)−E(X)E(Y)更高效！

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坚持就是胜利，你离高分只差一次系统的复习！加油，未来的你一定会感谢现在拼命的自己！🔥🚀

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