[数字信号处理-入门] 滤波器设计

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注：本文仅对所述内容做了框架性引导，具体细节可查询其余相关资料or源码

参考文章：各方资料

IIR和FIR差异

FIR是有条件的线性相位:h ( n ) = ± h ( N − 1 − n ) h(n)=\pm h(N-1-n)h(n)=±h(N−1−n)

IIR存在反馈, FIR没有反馈
-> FIR没有稳定性的问题, IIR存在稳定性的条件

FIR的输出y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n)=x(n)*h(n)y(n)=x(n)∗h(n)-> 可以借助DFT/FFT运算

IIR

H a ( s ) → H ( z ) H_a(s) \rightarrow H(z)Ha​(s)→H(z)

• 脉冲响应不变法:
  h a ( t ) → h ( n ) → H ( z ) h_a(t) \rightarrow h(n) \rightarrow H(z)ha​(t)→h(n)→H(z)

  • 优点:Ω → ω = Ω T \Omega \rightarrow \omega=\Omega TΩ→ω=ΩT是线性映射
  • 缺点: 只适用于设计低通/带通滤波器(因为采样需要的是带限信号)
  • 缺点: 多值映射(因为j Ω j\OmegajΩ是无限的, 而w ww是有限的)

• 双线性变换法:

  s ↔ z s \leftrightarrow zs↔z

  • 优点: 单一映射
  • 优点: 适用于任何滤波器
  • 缺点:Ω = 2 T tan ⁡ ω \Omega = \frac{2}{T}\tan \omegaΩ=T2​tanω对Ω \OmegaΩ轴进行压缩, 导致波形有失真

FIR

• 窗函数设计法

  • 加窗必然会展宽

  • 过渡带的宽度正比于α π N \alpha\frac{\pi}{N}αNπ​

    不同窗有不同α \alphaα
    N NN是窗的长度

  • 窗长度越长, 过渡带越短(但卷积运算量提升了)

• 频率采样法
  H ( k ) → I D F T h ( n ) H(k) \xrightarrow{IDFT} h(n)H(k)IDFT​h(n)

• 等波纹逼近法
  (采用了优化设计的思想: 最大误差最小化原则)

指标

W p : 通带的截止频率 W s : 阻带的截止频率 α p : 通带的最大衰减 α s : 阻带的最小衰减 W_p: \text{通带的截止频率} \\ W_s: \text{阻带的截止频率} \\ \alpha_p: \text{通带的最大衰减} \\ \alpha_s: \text{阻带的最小衰减}Wp​:通带的截止频率Ws​:阻带的截止频率αp​:通带的最大衰减αs​:阻带的最小衰减