卷积码编码器与软判决解码技术解析
1. 灾难性编码器分析
在卷积码编码过程中，编码器的特性对编码效果至关重要，其中灾难性编码器的判定是一个关键问题。
假设存在一个矩阵 $G_1’$，若 $K = [a(D) b(D)]^T$ 是 $G_1’$ 的有限重量右逆矩阵，那么存在多项式 $p(D)$ 和 $q(D)$ 以及非负整数 $i$ 和 $j$，使得 $a(D) = p(D)/D^i$ 且 $b(D) = q(D)/D^j$。由于 $G_1’K = I_1$，则有 $(1 + D^3)a(D) + (1 + D + D^2 + D^3)b(D) = 1$，进一步可转化为 $D^j(1 + D^3)p(D) + D^i(1 + D + D^2 + D^3)q(D) = D^{i + j}$。然而，等式左边的多项式能被 $1 + D$ 整除，而右边却不能，所以 $G_1’$ 不存在有限重量右逆矩阵。尽管在之前的例子中找到了 $G_1’$ 的右逆矩阵，但它并非有限重量。
再看编码器 $G_1$，其两个子式分别为 $1 + D + D^2$ 和 $1 + D^2$，它们的最大公约数是 1，这表明 $G_1$ 是非灾难性编码器。同时，$G_1$ 具有有限重量右逆矩阵 $K = \begin{bmatrix} D \ 1 + D \end{bmatrix}$，这进一步证实了 $G_1$ 的非灾难性。
对于 $(4, 2)$ 卷积码 $C_2$，在示例中给出了三个生成矩阵 $G_2$、$G_2’$ 和 $G_2’‘$，它们都是非灾难性编码器。以 $G_2$ 为例，其第一、二列构成的子式为 $1 + D$，第一、三列构成的子式为 $D$，所以所有六个子式的最大公约数必然为 1。
