卷积码与软判决迭代解码技术解析
1. 灾难性编码器与非灾难性编码器
1.1 编码器特性分析
在卷积码的编码过程中，编码器可分为灾难性编码器和非灾难性编码器。以编码器 (G_1’) 为例，假设 (K = [a(D) \ b(D)]^T) 是 (G_1’) 的有限权重右逆，存在多项式 (p(D)) 和 (q(D)) 以及非负整数 (i) 和 (j)，使得 (a(D) = p(D)/D^i) 和 (b(D) = q(D)/D^j)。由 (G_1’K = I_1) 可得 ((1 + D^3)a(D) + (1 + D + D^2 + D^3)b(D) = 1)，即 (D^j(1 + D^3)p(D) + D^i(1 + D + D^2 + D^3)q(D) = D^{i + j})。但等式左边是能被 (1 + D) 整除的多项式，右边不能，所以 (G_1’) 没有有限权重右逆，是灾难性编码器。
而对于编码器 (G_1)，其两个子式分别为 (1 + D + D^2) 和 (1 + D^2)，最大公约数为 1，且有有限权重右逆 (K = \begin{bmatrix} D \ 1 + D \end{bmatrix})，因此 (G_1) 是非灾难性编码器。
1.2 示例分析
对于 (4, 2) 卷积码 (C_2)，有三个生成矩阵 (G_2)、(G_2’) 和 (G_2’‘)。其中 (G_2) 从第一、二列得到的子式是 (1 + D)，从第一、三列得到的子式是 (D)，所有六个子式的最大公约数为 1，所以 (G_2) 是非灾难性编码器。对于 (G_2’) 和 (G_2’‘)，可通过验证其所有子式的最大公约数为 1 来证明它们是非灾难性编码器。 </
