news 2026/5/10 14:44:04

【C++】你的二叉搜索树为什么慢？因为你还没解锁“平衡”的力量--AVL树核心详解

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张小明

前端开发工程师

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【C++】你的二叉搜索树为什么慢？因为你还没解锁“平衡”的力量--AVL树核心详解

上一篇文章中我们介绍了二叉搜索树，我们讲到，在不良的插入顺序下，二叉搜索树会退化为单支树，将会丧失查找的优良性能。所以我们希望通过一种插入规则（又将其称为平衡规则），来降低二叉搜索树的高度，使得二叉搜索树趋近于一个完美二叉树（如下图），从而提高二叉搜索树的性能，今天我们就介绍AVL树。

1. AVL树

1.1. AVL树的概念

像我们上面提到的，当我们插入数据有序或者接近有序时，二叉搜索树就会退化成单支树，此时查找元素的效率相当于从顺序表中查找，效率较低。因此，两位俄罗斯数学家G.M.Adelson-Velski和E.M.Landis 在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一颗AVL树有下面的性质：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树的高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1(1/0/-1)

通过这样的平衡规则，使得二叉搜索树高度平衡，那么此时如果它有n个节点，其高度可保持在O(log N)，搜索时间复杂度为O(logN)。

2. AVL树节点的定义

我们这里实现K-V模型的AVL树，K模型的比较简单，大家可以自己实现：

代码语言：javascript

AI代码解释

template<class K, class V> struct AVLTreeNode { pair<K, V> _kv; AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent; // 右子树-左子树 的高度差 int _bf; // balance factor AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _bf(0) {} // AVL树并没有规定必须要设计平衡因子 // 只是一个实现的选择，方便控制平衡 };

从节点的定义我们可以看出，有普通的二叉搜树不同的是，AVL树中节点的设置添加了节点的parent节点，此处也是为了方便后续功能的实现（接着往下看就明白了）。除此之外，节点也定义了一个控制平衡因子_bf，用来表示当前节点右子树与左子树的高度差。

3. AVL树的插入和旋转

AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

AVL树在插入的过程中，如果插入新节点后导致AVL树中某些节点的平衡因子的绝对值大于等于1时，要进行旋转操作，根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种。接下来我们逐一分析可能出现的情况与解决该问题的旋转方法。

3.1. 左单旋

什么时候需要进行左单旋？当新节点插入在高度较高的右子树的右侧时，我们先看一个比较简单的情况，如下图我们要插入90，此时根节点的平衡因子会变成2，不满足AVL树的规则，所以我们应该进行旋转。

下面这种情况就是，新结点插在较高右子树的右侧，因此需要进行左单旋。

左单旋步骤如下：

  • 让插入节点的父节点，也就是这里的60的左子树变成节点30的右子树，30这颗子树成为60的左子树。
  • 调整改变节点的平衡因子。

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