几何非线性控制：从概念到实践
1. 可控性概念概述
在非线性系统的研究中，可控性是一个核心概念。我们先从一类解析仿射控制系统入手，其形式为：
[x = f(x)+\sum_{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}]
这里，(x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T) 是光滑流形 (M)（状态空间流形）的局部坐标，(f, g_1, \cdots, g_m) 是 (M) 上用局部坐标表示的光滑向量场。在后续讨论中，除非特别说明，我们都在单个坐标邻域内进行，且 (x \in \mathbb{R}^n)。同时，很多结果要求向量场 (f, g_i) 是解析的，而非仅仅光滑，这一假设贯穿始终。其中，向量场 (f) 被称为漂移向量场，向量场 (g_j) 被称为输入向量场。输入 ((u_1, \cdots, u_m)^T) 被限制在 (U \subset \mathbb{R}^m) 内，满足该约束的输入函数 (u_j(\cdot)) 被称为可允许输入函数或控制。
可控性问题，也就是可达性问题，主要是确定在初始时刻从 (x_0) 出发，系统的轨迹能够到达哪些点。可控性的相关研究成果最早出现在 Sussmann 和 Jurdjevic 等人的工作中。
下面给出可控性的定义：
-定义 11.1（可控性）：如果对于任意两点 (x_0, x_1)，都存在一个时间 (T) 和一个定义在 ([0, T]) 上的可允许控制，使得当 (x(0) = x_0) 时，有 (x(T) = x_1)，则称非线性系统 ((11.1)) 是可控的。
我们都知道线性系统理论中的一个结果，对于控制方程 (\dot{x
