UVa 140 Bandwidth

题目分析

问题背景

给定一个无向图(V,E)(V, E)(V,E)，其中VVV是结点集合，EEE是边集合。现要求给出结点的一个排列（ordering\texttt{ordering}ordering），使得这个排列的“带宽”（bandwidth\texttt{bandwidth}bandwidth）最小。具体定义如下：

• 对于排列中的每个结点vvv，其带宽定义为vvv与其所有邻接结点在排列中的位置距离的最大值。
• 整个排列的带宽定义为所有结点带宽的最大值。

例如，题目图示中给出了两种排列方式，带宽分别为666和555，目标是找出所有排列中带宽最小的那一个。

输入格式

输入由多组数据组成，每组数据一行，以#结束。每组数据由若干个记录组成，记录之间用分号分隔。每个记录的格式为：

结点:邻居1邻居2...

结点用单个大写字母A-Z表示，图中结点数不超过888个。

输出格式

对于每组数据，输出一行，内容为：

结点1 结点2 ... 结点n -> 带宽

若有多个排列带宽相同，输出字典序最小的那一个。

解题思路

关键约束

• 结点数≤8\leq 8≤8。
• 带宽定义为排列中任意两个相邻结点之间的最大距离。
• 需要输出字典序最小的最优解。

可行解法

由于结点数最多为888，可以枚举所有可能的排列，计算每个排列的带宽，并记录最小值。结点数888的全排列共有8!=403208! = 403208!=40320种，计算每个排列的带宽是可行的。

算法步骤

1. 读取一行输入，解析出所有结点及其邻接关系。
2. 存储结点列表，并排序（为了后续按字典序生成排列）。
3. 使用next_permutation枚举所有排列。
4. 对于每个排列，遍历所有边，计算相邻结点在排列中的最大距离，即带宽。
5. 记录带宽最小的排列，若带宽相同则保留字典序更小的。
6. 输出结果。

时间复杂度

• 枚举排列：O(n!)O(n!)O(n!)
• 计算每个排列的带宽：O(n2)O(n^2)O(n2)（因为需检查所有结点对）
• 总复杂度：O(n!⋅n2)O(n! \cdot n^2)O(n!⋅n2)，在n≤8n \leq 8n≤8时完全可行。

代码实现

// Bandwidth// UVa ID: 140// Verdict: Accepted// Submission Date: 2016-01-19// UVa Run Time: 0.079s//// 版权所有（C）2016，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;string nodes;map<char,string>neighbours;intgetBandwidth(){intminBandwidth=1;for(inti=0;i<nodes.length()-1;i++)for(intj=i+1;j<nodes.length();j++)if(neighbours[nodes[i]].find(nodes[j])!=string::npos)if(abs(i-j)>minBandwidth)minBandwidth=abs(i-j);returnminBandwidth;}voidgetNeighbours(string record){for(inti=2;i<record.length();i++){neighbours[record[0]]+=record[i];neighbours[record[i]]+=record[0];}}intmain(){string line;while(getline(cin,line),line!="#"){nodes.clear();neighbours.clear();for(inti=0;i<line.length();i++)if(isalpha(line[i])&&nodes.find(line[i])==nodes.npos)nodes+=line[i];while(line.find(';')!=line.npos){getNeighbours(line.substr(0,line.find(';')));line=line.substr(line.find(';')+1);}getNeighbours(line);sort(nodes.begin(),nodes.end());intminBandwidth=7;string minSequences;minSequences.assign(nodes);do{intbandwidth=getBandwidth();if(bandwidth<minBandwidth){minSequences.assign(nodes);minBandwidth=bandwidth;}}while(next_permutation(nodes.begin(),nodes.end()));for(inti=0;i<minSequences.length();i++)cout<<minSequences[i]<<" ";cout<<"-> "<<minBandwidth<<"\n";}return0;}

总结

本题是一个典型的排列枚举 + 模拟计算问题，由于结点数限制很小，可以直接使用全排列暴力求解。注意在实现时要处理好输入解析和字典序比较的细节。

如果你对图论和排列枚举类问题感兴趣，可以进一步学习回溯剪枝和启发式搜索（如模拟退火、遗传算法）在更大规模问题上的应用。