卷积码相关知识解析
1. 卷积码概述
卷积码在 1967 年维特比算法被发现后得到了更广泛的应用。对于一个 $(n, k)$ 卷积码，该算法的复杂度在很大程度上取决于记忆长度 $M$ 和 $k$。因此，该算法通常仅用于 $M$ 和 $k$ 相对较小的情况。此外，卷积码还有其他解码算法，如顺序解码，但每种算法都有其自身的缺点。
2. 规范生成矩阵
2.1 基本术语
- 行度：设 $G = [g_{i, j}(D)]$ 是一个 $k × n$ 多项式矩阵，$G$ 的第 $i$ 行的度定义为该行元素的最大度。
- 外部度：$G$ 的外部度，记为 $\text{extdeg} G$，定义为 $G$ 的 $k$ 行的度之和。
例如，对于 $(2, 1)$ 卷积码 $C_1$ 的生成矩阵 $G_1$ 和 $G_1’$，它们的外部度分别为 2 和 3；同一示例中代码 $C_2$ 的生成矩阵 $G_2$ 的外部度为 $2 + 1 = 3$。
2.2 规范生成矩阵的定义
卷积码 $C$ 的规范生成矩阵是指在所有多项式生成矩阵中，外部度最小的多项式生成矩阵。根据定义，每个卷积码都有一个规范生成矩阵，这个最小的外部度被称为代码 $C$ 的度。
例如，对于 $(2, 1)$ 代码 $C_1$，可以证明 $G_1$ 是规范生成矩阵。因为 $C_1$ 的任何多项式生成矩阵的外部度是其元素的最大度，其他生成矩阵 $G_1’‘$ 可通过 $G_1$ 乘以 $p(D)/q(D)$ 得到（$p(D)$
