光线追踪-2：光线照射到物体表面后，反射的Radiance怎么求

0、前言

上一节我们知道了如何求光源（或自发光）的，这一节，我们来求渲染方程的后半部分。反射分为漫反射和镜面反射，入射光又分直接光照和间接光照。

图一

直接光照：光线从光源照射到物体A表面某个点，然后反射到人眼

间接光照：光线从物体B反射出去，入射到物体A表面某个点，然后反射到人眼

那么渲染方程可以扩展为：

直接光照部分：

间接光照部分

各部分含义：

• ​：光线照射到物体然后反射出去的 Radiance，这个可能会直接反射到眼睛，也可能反射到别的物体上，成为另一个物体表面某个点的间接光照
• ​：从某个方向射来的 Radiance,包含直接光照和间接光照
• ： 直接从光源的入射光
• ：从别的物体反射出的入射光，例：图一 物体B接收到直接光照和间接光照，然后反射出的光线，入射到物体A
• ​：材质如何反射光，也就是 BRDF，包含漫反射和镜面反射
• cos⁡θ：斜着来的光贡献较少（入射光与相交表面的法线夹角）
• 积分：把上方所有入射方向都考虑进去

Tips: 本节内容只考虑单一光源，多光源需要一个求和计算

1、反射 BRDF

反射包含漫反射和镜面反射，同样也要区分

渲染方程可以扩展为

1.1 漫反射

漫反射可以理解为：

光照到粗糙墙面后，向各个方向比较均匀地散开

漫反射反照率（diffuse albedo），常用 ρ 表示，表示材质对入射光进行漫反射的比例,即

ρ = 漫反射能量 / 入射能量， 是一个通常位于 0 到 1之间的参数。

在PBR工作流中：

（1）对于非金属材质

ρBaseColor

例如：

ρ=(0.8,0.2,0.1)

表示红、绿、蓝三个颜色通道的漫反射反射比例不同。

但这只是近似关系，尤其在存在纹理、次表面散射、光谱效应等情况下，不能简单认为 它就是实验上测得的真实反射率。

(2) 对于金属材质

ρ0

理想情况下金属几乎没有传统意义上的漫反射

金属的颜色主要体现在镜面反射的 Fresnel 反射率中，而不是 ρ这个 Lambert 漫反射参数中

漫反射BRDF：即表示入射能量 一部分转化成立漫反射能量， 除表示向这个半球均匀发散

1.2 镜面反射

镜面反射可以理解成：

像镜子、抛光金属或光滑塑料那样，光主要沿一个特定方向反射。

物理渲染通常不用简单的 Phong或Blinn-Phong模型，而使用微表面模型，例如 Cook-Torrance BRDF：

2、求直接光照的Radiance

直接光照：光线从光源 --> 物体表面x点 -- >人眼

2.1 光源为无半径点光源、方向光

因为这两种光源因没有发光面积无法求出Radiance,且只有一个方向， 可以用Irradiance 来间接求出发射

2.2 光源为面光源

面光源是可以理解为很多个点光源组合在一起，且可以求出光源Radiance的，得到,具体见上一篇

(默认真空环境，radiance 不会衰减，实际环境中也会因为空气颗粒、雾气等衰减)

Tips ：这个是对面光源上所有的微元y到物体表面x这个方向的立体角进行积分。 因与光线在物体表面的入射角相关，所以不能把提到积分外。

2.2.1 光线到物体表面x方向的立体角积分 转换为 光源面积的积分

对立体角进行积分比较复杂， 所有我们通常会把上边的公式转化为 对光源表面微元的面积积分

x : 光线招式到的物体表面位置

y：面光源微元的位置

r：x到y 的距离

：光线入射方向与物体表面法线的夹角

：光线从光源射出方向 与光源微元法线 的夹角

：光源微元的面积

解释一下这个转换，

可以求出光源微元的辐射强度

进而求出入射光线在物体表面的辐照度Irradiance

物体表面反射的Radiance

2.2.2Monte Carlo 积分 （多次采样）

积分对于计算机来说还是复杂运算，可以通过蒙特卡洛， 用随机采样来估算积分结果

Monte Carlo 积分的步骤

1、随机采样N个点,

2、每次采样计算的结果除以概率分布函数pdf，得到一个预估值

3、求和N次的预估值，除以N 得到一个

例如：

原积分方程：

Monte Carlo估计为

因为面光源表面微元贡献值一样，采样均匀采样，对于单个面光源微元的采样概率

这个时候就得到直接光照

********* 为啥均匀采样得概率分布函数为？ **********

首先均匀采样得概率分布函数是一个常数，总的概率为1，则

3、求间接光照得Radiance

间接光照：光线从光源 -->物体 --> ... -->物体B --> 物体A表面x点 -- >人眼

间接光照是一个递归运算，公式：

A表面x点的直接光照 + A表面x点的间接光照

为物体A表面x点接收到,来自物体B的间接光照 = 物体B反射出的（通过入射物体B某一点的直接光照+间接光照 求出的反射）

计算光线追踪的间接光照时，单次反射的采样数还有递归深度都可能造成路径数爆炸。为了避免路径数爆炸，实际的优化方向有以下几种：

3.1 Monte Carla 积分（单次采样）

如果是多次采样，每次反射，生成的路径会指数级翻倍，所以我们采样单次采样。从物体A表面的x点随机选择一个入射方向（而不是选择多个方向），取 -，然后发射一条射线，看是否与别的物体有交点。

因为只随机选择一个入射方向，但需要通过积分所有的入射方向，才能算出正确的, 所有需要一个入射方向的概率分布函数, 通过

估算出方向的间接光照。 我们需要找到一个合适的

常见的几种采样方式及对应的概率分布函数：

3.1.1 均匀半球采样

比较好理解，半球内任意方向的概率都是相当的

pdf :

归一化验证 ：

半球的各方向的总概率为1，正确

求间接光照：

优点：

• 实现简单
• 适用于所有材质

缺点：

• 方差极大
• 实际小的方向贡献极小，但均匀半球采样的pdf 给了同等的概率
• 不推荐使用

3.1.2 余弦加权采样

也比较好理解，就是余弦函数 再除以一个常数，使pdf 的积分等于1，特点是pdf 的形状和余弦函数差不多，方向小的方向贡献小，方向大的方向贡献大

pdf :

归一化验证 ：

半球的各方向的总概率为1，正确

求间接光照：

优点：

• 比均匀采样方差小很多
• 适用于漫反射材质
• 公式简洁

缺点：

• 对镜面反射效果差
• 没有考虑 镜面反射 BRDF 的形状

3.1.3 BRDF 重要性采样

可以这么理解，镜面反射中，一束入射光经过镜面反射，反射光会在一个反射方向范围内；同样也可以认为一个反射方向范围内的所有入射光，经过镜面反射，变成一束出射光

GGX 微表面 BRDF 的采样

是微表面法线 h的分布函数

• : 粗糙度参数， 通常
• : 微表面法线，

微表面法线 h的pdf：

入射间接光的 pdf：

将微表面法线h 的pdf,转换成入射间接光的 pdf， 这个变换暂时没搞懂，以后再推导

pdf :

通常的步骤：

1、随机一个微表面法线h,

2、根据, 计算出

3、再求

或者

1、随机生成一个，

2、求微表面法线

3、再求

求间接光照：

( 约掉了、4 、）

优点：

• 镜面反射方差极小
• 求间接光照时，光滑材质效果好
• 物理正确

缺点：

• 粗糙表面效果不如余弦加权
• 实现复杂
• 推导p(w_i)时，没有考虑的真实分布

3.1.4 该怎么选采样算法？

均匀半球采样方差太大， 余弦加权采样适合间接光照的漫反射，BRDF重要性采样适合间接光照的镜面反射。那真实场景中是怎么用的呢？

（1）麻布等只有漫反射的材质，用余弦加权采样

（2）玻璃等只有镜面反射的材质，用BRDF重要性采样

（3）同时拥有漫反射和镜面反射的材质有两种方案

3.1.4.1方案1：随机混合

步骤：

1、根据材质的性质，判断漫反射和镜面反射的比例，例如漫反射0.2， 镜面反射0.8

2、从漫反射和镜面反射概率分布函数中随机选一个生成入射光线

3、根据生成漫反射pdf、镜面反射pdf

4、生成混合pdf = 漫反射pdf * 0.2 + 镜面反射* 0.8

5、

如何判断漫反射和镜面反射的比例？这个以后有时间再补上

3.1.4.2方案2：多重重要性采样 MIS

这个就是计算间接光照时，发两条射线去计算，一个用余弦加权采样，一个用BRDF重要性采样，然后再合起来，具体细节以后有时间再聊

总结：效果上肯定多重重要性采样 更好，但增加了光线路径，效率上变慢。实时光线追踪普遍使用的是

3.2 递归什么时候停止？

实际渲染中：

• 不能无限递归（会栈溢出）
• 不能计算无限长的路径（太慢）

必须在某个地方停止递归。

3.2.1 方案一、设置最大递归深度

这种方式比较简单，但有两个问题

（1）损失能量，以Cornell Box为例，光线在封闭盒子里反复反弹，假设每次反弹损失20%能量

bounce 0: 1.0

bounce 1: 0.8

bounce 2: 0.64

bounce 3: 0.512

bounce 4: 0.410

bounce 5: 0.328

bounce 6: 0.262

...

真实总能量 = 1 / （1 - 0.8） = 5.0

如果递归深度设为3 ，只计算前4项

1 + 0.8 + 0.64 + 0.512 = 2.952

损失了 (5.0 - 2.952) / 5.0 = 41% 的能量！

（2）计算浪费

对于高反射率的材质（如白色墙），后续 bounces 贡献大，需要很深的路径。

但对于低反射率的材质（如黑色布料），2~3 次 bounce 后能量就衰减到几乎为 0。

固定深度的问题：

• 对暗材质：浪费计算（追踪了没用的路径）
• 对亮材质：深度不够（丢失了重要能量）

3.2.2 方案二、俄罗斯轮盘赌 （推荐）

通过一个概率值q来决定是否要继续递归， ( 0< q < 1), 如果一个0到1内的随机数小于q, 就继续，否则就结束递归

俄罗斯轮盘赌提供了一种递归终止的方式，但因为有1- q的概率会终止，所以当递归要继续时，返回的,用来弥补能量损失。

def trace_ray(ray, depth): hit = scene.intersect(ray) if not hit: return background_color L_direct = compute_direct_light(...) # ========================================== # 俄罗斯轮盘赌 # ========================================== if depth >= MIN_DEPTH: # 例如 MIN_DEPTH = 3 # 计算继续概率 q_continue = 0.8 # 或者根据 albedo 动态计算 if random() > q_continue: # 停止递归 # 只返回L_direct , 因为L_indirect = 0 return L_direct else: q_continue = 1.0 # 前几次 bounce 强制继续 # ========================================== # 继续追踪（如果没被杀死） # ========================================== ω_sample, pdf = sample_direction(...) ray_indirect = Ray(hit.position, ω_sample) L_o_next = trace_ray(ray_indirect, depth + 1) L_indirect = (f_r × L_o_next × cos) / pdf # ========================================== # 俄罗斯轮盘赌修正 # ========================================== L_indirect /= q_continue # ← 补偿被杀死的路径 return L_direct + L_indirect

这个q 值怎么选？

可以是一个固定值，也可以根据材质albedo

def get_continue_probability(material, albedo, depth): # 前几次 bounce 强制继续 if depth < 3: return 1.0 # 根据路径贡献 luminance = 0.2126 × albedo.r + 0.7152 × albedo.g + 0.0722 × albedo.b q = min(luminance, 0.95) # 至少有 5% 继续概率（避免完全停止） return max(q, 0.05)

3.2.3 总结

tips : 因为间接光照的反射时仅采样一个随机方向，俄罗斯轮盘赌也会有误差，可以通过增加像素的射线数来使结果趋向期望值