积分二次约束与鲁棒性能分析
1. 积分二次约束（IQC）分析
1.1 背景与假设
在进行系统的鲁棒性分析时，积分二次约束（IQC）是一种重要的工具。我们考虑系统中存在不确定性，用算子 $\Delta$ 来描述这种不确定性，并且假设 $M$ 和 $\Delta$ 是 $L_2[0, \infty)$ 上的有界算子。这里我们假设已经找到了一个满足不确定性的 IQC，即该 IQC 在由 $\Delta$ 定义的关系上是非负的，并且在关系 $R_M$ 上是严格负的。
1.2 相关命题与引理
命题 1
假设 $\Delta$ 由 IQC $\Phi \begin{pmatrix} p \ q \end{pmatrix} \geq 0$ 描述，且满足 $\Phi \begin{pmatrix} Mq \ q \end{pmatrix} \leq -\epsilon |q|^2$ 对每个 $q \in L_2$ 成立。那么存在一个常数 $\mu > 0$，使得 $|p| \leq \mu |(I - M\Delta)p|$ 对每个 $p \in L_2$ 都成立。
为了证明这个命题，我们需要用到关于 $L_2$ 上二次型的引理。
引理 1
设 $\Phi(v) = \langle v, \Pi v \rangle$，其中 $\Pi \in L(L_2)$。那么存在一个仅依赖于 $\Pi$ 的常数 $\mu$，使得对于 $L_2$ 中的任意 $z$ 和 $v$，如果满足 $\Phi(z) \geq 0$ 和 $\Phi(v) \leq - |v|^2$，则有 $\mu |z
