文法定义了一个典型的表达式文法，支持加法和乘法，具有左递归以实现左结合

给定文法 $ P = { E \to E + T \mid T, \quad T \to T * F \mid F, \quad F \to (E) \mid \text{id} } $，我们以句子 $ \text{id}_1 + \text{id}_2 * \text{id}_3 $ 为例，进行最右推导、语法树构建和短语分析。

1. 最右推导过程

最右推导（规范推导）是指在每一步推导中，总是替换最右侧的非终结符。从开始符号 $ E $ 出发：

E⇒E+T(使用 E→E+T)⇒E+T∗F(使用 T→T∗F)⇒E+T∗id3(使用 F→id)⇒E+F∗id3(使用 T→F)⇒E+id2∗id3(使用 F→id)⇒T+id2∗id3(使用 E→T)⇒F+id2∗id3(使用 T→F)⇒id1+id2∗id3(使用 F→id) \begin{align*} E & \Rightarrow E + T \quad \text{(使用 } E \to E + T\text{)} \\ & \Rightarrow E + T * F \quad \text{(使用 } T \to T * F\text{)} \\ & \Rightarrow E + T * \text{id}_3 \quad \text{(使用 } F \to \text{id}\text{)} \\ & \Rightarrow E + F * \text{id}_3 \quad \text{(使用 } T \to F\text{)} \\ & \Rightarrow E + \text{id}_2 * \text{id}_3 \quad \text{(使用 } F \to \text{id}\text{)} \\ & \Rightarrow T + \text{id}_2 * \text{id}_3 \quad \text{(使用 } E \to T\text{)} \\ & \Rightarrow F + \text{id}_2 * \text{id}_3 \quad \text{(使用 } T \to F\text{)} \\ & \Rightarrow \text{id}_1 + \text{id}_2 * \text{id}_3 \quad \text{(使用 } F \to \text{id}\text{)} \end{align*}E​⇒E+T(使用E→E+T)⇒E+T∗F(使用T→T∗F)⇒E+T∗id3​(使用F→id)⇒E+F∗id3​(使用T→F)⇒E+id2​∗id3​(使用F→id)⇒T+id2​∗id3​(使用E→T)⇒F+id2​∗id3​(使用T→F)⇒id1​+id2​∗id3​(使用F→id)​

✅ 最终得到句子：$ \text{id}_1 + \text{id}_2 * \text{id}_3 $

注意：这是最右推导，因此每次都优先展开最右边的非终结符（如先处理 $ T $ 中的 $ F $，再往左处理 $ E $）。

2. 推导的树结构（语法树）

E / | \ E + T /| \ / | \ T F T * F /|\ \ /|\ \ F id2 id3 | id1

更清晰地表示为：

E / | \ E + T | / \ T T * | | | F F id3 | | id1 id2

但实际上，根据推导顺序，应为：

E / | \ E + T | / \ T T * | | | F F F | | | id1 id2 id3

但注意：由于 $ T \to T * F $，所以中间的 $ T $ 应该是递归生成的。正确语法树如下：

E / | \ E + T /|\ /|\ T T * F | | | F F id3 | | id1 id2

而最底层的 $ T \to F \to \text{id}_2 $，所以完整结构是左递归展开。

最终语法树反映了左结合的+和*，且*优先级高于+。

3. 短语分析

基于上述最右推导过程，识别短语与直接短语：

• 短语：在一个句型中，能被某个非终结符逐步推导出的子串称为该非终结符的短语。
• 直接短语（素短语）：仅通过一步推导就能得到的短语（即使用一次产生式替换）。

分析句型 $ \text{id}_1 + \text{id}_2 * \text{id}_3 $ 的各部分：

此外：

• $ \text{id}_1 $ 是相对于 $ T $ 的短语吗？→ 是，因为 $ T \Rightarrow F \Rightarrow \text{id}_1 $
• 直接短语只有那些一步推出的：$ \text{id}_1, \text{id}_2, \text{id}_3 $
• 句柄（handle）是最左直接短语，在最右推导中用于规约的关键部分，此处为 $ \text{id}_3 $（首次规约对象）

总结

• 文法定义了一个典型的表达式文法，支持加法和乘法，具有左递归以实现左结合。
• 最右推导展示了如何从 $ E $ 一步步生成目标句子，强调了运算符优先级（*高于+）。
• 语法树直观体现结构：+的右操作数是一个T（即id2 * id3），说明*先结合。
• 短语分析有助于理解语义计算和语法分析器设计（如 LR 分析器中的规约动作）。