78、卷积码相关知识详解

卷积码相关知识详解

1. 卷积码基础

在卷积码中，定义了一个具有无限行和列的二进制矩阵 $B(G)$：
[
B(G) =
\begin{bmatrix}
B_0 \
B_1 \
B_2 \
\cdots \
B_M \
B_0 \
B_1 \
B_2 \
\cdots \
B_M \
B_0 \
B_1 \
B_2 \
\cdots \
B_M \
\cdots \
\cdots \
\cdots
\end{bmatrix}
]
其中空白处元素都为 0。对于一个最大次数为 $N$ 的 $k$ 元多项式组 $x$，存在 $(N + 1)$ 个 $k \times 1$ 的二进制矩阵 $X_0, X_1, \cdots, X_N$，使得 $x = X_0 + X_1D + \cdots + X_ND^N$。将 $(X_0, X_1, \cdots, X_N)$ 交织形成长度为 $k(N + 1)$ 的二进制向量 $b(x)$。交织后的码字 $c = xG$ 恰好等于 $b(x)B(G)$，并且 $c$ 的重量等于 $b(x)B(G)$ 的汉明重量。

例如，对于 $(2, 1)$ 码 $C_1$，使用编码器 $G_1$，有 $B_0 = [1 1]$，$B_1 = [1 0]$，$B_2 = [1 1]$，则：
[
B(G_1) =
\begin{bmatrix}
1 & 1 \
1 & 0 \