文章目录
- 壹. 重要定理
- 一. 相关概念
- 1. 伴随矩阵
- 2. 初等变换与等价
- 3. 正交矩阵
- 二. 主要定理
- 三. 主要公式
- 贰. 典型例题
- 1. 矩阵运算
- 题型一. 列向量的乘积
- 题型二：矩阵的n次方
- 2. 特殊矩阵
- 题型一：伴随矩阵的求法
- 题型二. 可逆矩阵
- 题型三. 正交矩阵
- 题型四：行最简矩阵
- 3. 初等变换(左乘行变换，右乘列变换)
- **以行为单位进行变换，第二行[0 1 2]的情况：没有第一行+第二行+二倍第三行。**
- 4. 分块矩阵
- 矩阵不可逆的题型：当做三个非齐次线性方程，求基础解析
- 初等列变换，列向量等价
- 5. 矩阵秩的计算
- 6. 矩阵方程：矩阵方程的运算
- 抽象矩阵等式：利用公式A*A=AA*=|A|E
壹. 重要定理
一. 相关概念
1. 伴随矩阵
2. 初等变换与等价
等价：经过有限次初等变换。
初等变换：左乘与右乘
3. 正交矩阵
二. 主要定理
求逆矩阵的工作量少一半
三. 主要公式
贰. 典型例题
1. 矩阵运算
注意：
题型一. 列向量的乘积
设矩阵，运算观察。
或直接对角线元素相加。
题型二：矩阵的n次方
- 方法一： 直接乘
- 方法二：秩=1，可以化成两个向量的乘积。
另外两个向量乘积之后=数，是对角线元素相加。
直接乘。
公式：注意n倍的对于矩阵的每行都乘。
整理等式，计算。n次方的化简。
2. 特殊矩阵
题型一：伴随矩阵的求法
- 方法1：通过代数余子式，注意行列互换
- 方法2：通过行列式变换求逆+求行列式的值。
AB看成整体，C C ∗ = ∣ C ∣ E CC^{*}=|C|ECC∗=∣C∣E。等式左边C ∗ C^{*}C∗，利用( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1。
- 行列式不等于0，则秩=n
- 通过代数余子式来判定伴随矩阵。
2.1. <n-1，代数余子式=0，所以伴随矩阵是0矩阵
2.2. =n-1，
利用定义：伴随+转置的定义写出来+求行列式。
可以得到：A11=A12=A13=a11
题型二. 可逆矩阵
- 伴随矩阵
- 行变换
- 矩阵相乘，提出A+E
- 逆的特性。
凑E+B。
- E的妙用
- 转置的逆，向量相乘的逆
- 利用E
- 行列式的乘积可以左右替换乘积，并放到乘积的行列式中。
题型三. 正交矩阵
结论:
- 正交矩阵的行列式=1
利用正交公式A A T = E AA^T=EAAT=E。先化简然后再观察求解。
都不是正交矩阵。
E的妙用
从定义出发：A ∗ ( A ∗ ) T A^*{(A^*)}^TA∗(A∗)T，利用正交矩阵特性。
题型四：行最简矩阵
3. 初等变换(左乘行变换，右乘列变换)
以行为单位进行变换，第二行[0 1 2]的情况：没有第一行+第二行+二倍第三行。
一次变换也行，-2直接放到行变换中。
两个变换+逆乘。
由伴随+变换得AC的关系，约掉AC，求P。
由秩判断。等价秩相等。
4. 分块矩阵
对于一般的矩阵，拆成A+E(注意：也得是合适的形式，不是所有的矩阵都可以。)
对于秩=1的矩阵，化成列乘行矩阵的式子，以最小公约矩阵为基础（A）（为左），右乘行矩阵（每列对A的变化）。
B. 思路：求伴随可以先通过求逆来求
- 可逆=行列式不等于零
- 根据A A − 1 = E AA^{-1}=EAA−1=E，设矩阵
错，again。接近对，是2xn，不是2 n {2^n}2n。
矩阵不可逆的题型：当做三个非齐次线性方程，求基础解析
注意：A不可逆。
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初等列变换，列向量等价
B，C B − 1 = A CB^{-1}=ACB−1=A，C右乘矩阵进行初等列变换，所以列向量等价。
5. 矩阵秩的计算
一个未知数需要一个条件（秩=2，行列式=0）即可
判断A的秩，由r(A(E+B))=2，E+B=3满秩，所以r(A)=2。
直接初等行变换，进行分类讨论。
关键词解题：B是三阶非零矩阵，则AB=0有非零解，所以R(A) < 3,得行列式=0。 接着求出a，然后判断A的秩。
或利用二阶子式：直接判断
6. 矩阵方程：矩阵方程的运算
就像[ A ∣ E ] − > [ E ∣ A − 1 ] [A|E] -> [E|A^{-1}][A∣E]−>[E∣A−1]。
B，
化成(A - B)X(A + B) = E，因为R(E)=3，所以左式的秩都等于3。所以都可逆。
抽象矩阵等式：利用公式AA=AA=|A|E
注意公式：
