结构随机响应分析与 gPC 方法应用
在结构工程领域，尤其是地震工程中，准确分析结构在地震等不确定荷载作用下的响应至关重要。本文将围绕结构动力学方程、隔震系统以及随机响应分析的 gPC 方法展开详细介绍。
结构动力学方程基础
首先，我们来了解一些基本的结构动力学方程。总位移向量 ${x_T(t)}$ 由主结构（PS）的横向平动自由度和子结构（SS）的自由度组成，其形式为 ${x_T(t)} = {x_P(t), x_L(t), x_S(t)}^T$。这里，下标 $P$ 表示主自由度（除了连接自由度），下标 $L$ 表示与子结构相连的主自由度，下标 $S$ 表示子结构的自由度。此外，$x(t)$ 表示所考虑自由度相对于地面的相对位移。
质量矩阵 $[M_T]$、刚度矩阵 $[K_T]$ 和阻尼矩阵 $[C_T]$ 的详细形式如下：
[
[M_T] =
\begin{bmatrix}
M_P & 0 & 0 \
0 & M_L & 0 \
0 & 0 & M_S
\end{bmatrix},
[K_T] =
\begin{bmatrix}
K_{PP} & K_{PL} & 0 \
K_{LP} & K_{LL} & K_{LS} \
0 & K_{SL} & K_{SS}
\end{bmatrix},
[C_T] =
\begin{bmatrix}
C_{PP} & C_{PL} & 0 \
C_{LP}
