控制中的外微分系统解读
1. 引言
在机器人和控制领域中，大部分数学导向的文献都深受微分几何“向量场”观点的影响。不过近年来，使用外微分系统等其他方法来分析非线性控制系统和非线性隐式系统的趋势逐渐兴起。外微分系统有着悠久的历史，早期理论源于Darboux、Lie、Engel、Pfaff、Carnot和Caratheodory等人对具有不可积线性速度约束的系统（即非完整控制系统）结构的研究，随后Goursat和Cartan的工作也为该领域做出了重要贡献。同时，人们也在努力建立外微分系统与变分法之间的联系。
2. 外微分系统的应用背景
外微分系统最初吸引我们的是其在非完整控制系统路径规划中的应用。例如，在解决带拖车汽车的转向问题（即“带N个拖车的汽车平行停车问题”）时，需要将每对车轮的非完整无滑动滚动约束系统转化为标准形式，即Goursat标准型。类似的例子还有消防车的平行停车问题，后来还推广到了多转向N拖车系统，并且可以将其转化为广义Goursat标准型，便于进行控制。
在非完整运动规划活动开展的同时，非线性控制领域也在致力于解决使用（可能是动态的）状态反馈和坐标变换将非线性控制系统精确线性化的问题。早期的研究给出了使用静态状态反馈精确线性化非线性控制系统的充要条件，满足这些条件的系统可以转化为Brunovsky标准型，该标准型与外微分系统的Goursat标准型非常接近。不过，动态状态反馈线性化问题仍有很多待解决的地方。
3. 外微分系统的数学基础
3.1 多重线性代数
- 向量空间的对偶空间
- 设((V, R))是一个有限维向量空间
