动态系统的单自由度、多自由度响应分析
1 单自由度系统
1.1 复变量法求解稳态响应
对于单自由度系统，在受到谐波激励时，可采用复变量法来确定其稳态响应。由于 $A_a \cos (\omega t)$ 是 $A_a e^{i\omega t}$ 的实部，所以稳态响应就是以下复变量问题解的实部：
$\frac{dw_c}{dt} + aw_c = A_a e^{i\omega t}$ (5.13)
该方程的稳态解（特解）形式为：
$w_c(t) = W_c(i\omega) e^{i\omega t}$ (5.14)
将式(5.14) 代入式(5.13) 并求解，可得：
$W_c(i\omega) = \frac{A_a}{a + i\omega} = \frac{A}{1 + i(\omega/a)}$ (5.15)
将 $W_c(i\omega)$ 表示为：
$W_c(i\omega) = \frac{A}{\sqrt{1 + (\omega/a)^2}} e^{-i\varphi}$ (5.16)
其中，$\varphi = \tan^{-1}(\frac{\omega}{a})$。
复解式(5.14) 可改写为：
$w_c(t) = W(\omega) e^{i(\omega t - \varphi)}$，$W(\omega) = \frac{A}{\sqrt{1 + (\omega/a)^2}}$ (5.17)
原物理问题的稳态响应就是上述复解式(5.17) 的实部，即：
$w(t) = W(\omega) \cos(\omega t - \varphi)$
